1、機械能守恒定律學習脈絡圖江蘇省新沂市第一屮學張統勛機械能守恒定律是高屮階段物理學習的基礎內容z -，內容小“追尋守恒量”以引入能 量概念為目的；“功”和“功率”為功能關系的討論打基礎。一、內容分析木章內容主要包括四個概念（功、功率、動能和勢能）和三個規律（動能定理、機械能 守恒定律、能的轉化和守恒定律）。機械能守恒定律是力學知識的垂點內容2，它是建立 在力的概念、運動學知識和牛頓運動定律基礎上，進一步研究力的空間積累效果和物體運動 狀態的變化之間的關系。木章內容通過對功能關系的討論，完成對能量概念的更深入的認識。 本章既是力學問題的基礎和綜合，也是學習其他物理學知識的重要基礎。二、知識框架廠頂

2、莎中啟動j勻加速啟動暉呵）合力的功g1阿平心功率變化卜一除蟲冬m） r動雜巫化i葦笙卻 外的力做功傲功匹機械;守恒卜叢書:?詁掩能關系）錘麗可51s改力勢腿&性弊能三、必須精通的幾種方法(一) 功(恒力功、變力功)的計算方法1. 常用方法(1) 定義法：=該式僅適用于恒力做功悄況。(2) 動能定理：2. 變力的功的計算方法(1) 平均法：當變力耳位移成止比時，則瞬=用(2) 分割法：當變力的人小恒定、方向不斷變化時，對把力作用點的路徑分割成許多 小段，每一小段上用恒力做功的公式計算，然后再積累。(3) 功率法：直接用廉刊得出功。如機車用恒定功率啟動時，牽引力不斷變化，在時 間才內的功即

3、為pt。(4) 等效法：將恒定力f作用點位移與恒力尸的乘積等效替代變力對物體所做的功。（5）圖像法：在f/圖像中，圖線與才軸所圍“面積”的代數和就表示力尸在這段位 移所做的功，且位于才軸上方的“面積”為正，位于無軸下方的“面積”為負，但此方法只 適用于便于求圖線所圍面積的情況。（6）能量法：在一般情況下，根據力做功后引起物體能量的變化進行計算，即原=45 , 如拋球、推倒箱子、剎年滑行等。（二）功率的計算方法1. 平均功率的計算方法（2）利用臣二丙彌日，其中為物體運動的平均速度。2. 瞬時功率的計算方法瞬時功率只能使用公式求解，其中y是f時刻的瞬時速度。（三）機車啟動問題的分析方法兩種方式以恒

4、宦功率川動以恒左加速度啟動0a段過程分析v<?f=l(?a = 不變?f不變到p額= fv運動性質加速度減小的加速直線運動勻加速直線運動，維持時間/o=的段過程分析 運動性質以hj故勻速直線運動加速度減小的加速運動3c段f=fa = f以仏做勻速直線運動ol oti ta bt opt圖和vt圖（四）動能定理的理解及應用方法1.動能定理公式小等號表明合力做功為物體動能的變化間的三個關系:（1）a值相等：即合外力所做的功與物體動能的變化具冇等量代換關系。可以通過計 算物體動能的變化，求合力的功，進而求得某一力的功。（2）單位相同：國際單位都是焦耳。（3）因果關系：合外力的功是引起物體動能變

5、化的原因。動能定理說明外力對物體所做的總功和動能變化間的一種因來關系和數量關系，不可理 解為功轉變成了物體的動能。2應川動能定理時，要進行受力分析，分析在這個過程中冇哪些力做功，注意區分功 的正負。要注意選取的研究對象和對應過程，合力做的功和動能增量一定是對應同一研究對 象的同一過程。3. 運用動能定理解決問題時，選擇合適的研究過程能使問題得以簡化。當物體的運動 過程包含兒個運動性質不同的了過程時，可以選擇一個、兒個或全部了過程作為研究過程。 當選擇全部子過程作為研究過程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功時，要注意運用 它們的功能特點：重力的功取決于物體的初、末位置，與路徑無關；大小恒定的

6、陽力或 摩擦力的功等于力的人小與路程的乘積。（五）機械能守恒的判斷方法1-利川機械能的定義判斷（直接判斷）:若物體動能、勢能均不變，機械能不變。若 一個物體動能不變、重力勢能變化，或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加 （減?。?，其機械能一定變化。2川做功判斷：若物體或系統只冇重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他 力不做功，機械能守恒。3. 用能最轉化來判斷：若物體系統屮只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形 式的能的轉化，則物體系統機械能守恒。4. 對多個物體組成的系統，除考慮外力是否只冇重力做功外，還要考慮系統內力做功， 如有滑動摩擦力做功時，因有摩擦熱產牛，系統機械

7、能將有損失。四. 注意事項1計算功時，要注意分析受力情況和能量轉化情況，分清是恒力的功還是變力的功,選用合適的方法進行求解。同時應注意公式中1不一定是物體的位移。2求功率應注意的兩個方面（1）易混淆平均功率和瞬時功率，要明確所求功率是“平均功率”還是“瞬時功率” o 若求平均功率則應明確是哪段時間內的平均功率；若求瞬時功率應明確是哪一時刻或位置, 計算瞬時功率時，直接應用公式p二fv,易漏抻了 f與v之間的夾角。（2）要選對公式，明確公式的適用條件（3）對于圖像問題要首先看懂圖像的物理意義，根據圖像求出加速度、位移并明確求 哪個力的功或功率，是合力的功率還是某個力的功率。（4）機車啟動時，在勻

8、加速階段的最人速度并不是機車所能達到的最人速度。3.應用動能泄理解題時需注意的問題（1）動能定理適用于物體做直線運動，也適用于曲線運動；適用于恒力做功，也適用 于變力做功，力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以分段作用。只要求出在作用 過程中各力做功的多少和正負即可。這正是動能定理解題的優越性所在。（2）動能定理是計算物體的位移或速率的簡捷方法，當題目中涉及到力和位移時可優 先考慮動能定理。（3）若物體運動的過程中包含兒個不同過程，應用動能定理吋，可以分段考慮，也可 以把全過程作為一個整體來處理。（4）求摩擦力做功時，應注意ae內二ffzl相對中1相對為相對滑動的兩物體間相對滑 行路徑的

9、總長度。4. 應用機械能守恒定律應該注意（1）必須準確地選擇系統，在此基礎上分析內力和外力的做功情況。（2）必須由守恒條件判斷系統機械能是否守恒。（3）必須明確地選擇過程，確定初、末狀態。（4）寫守恒等式時應注意狀態的同一性。機械能問題的常見題型陜西省寶雞市陳倉區教冇局教研室邢彥君機械能是物理學的重要概念，涉及機械能的問題是高考試題屮的必考問題。這類試題冇力學綜合問題, 也有力電綜介問題；有機械能守恒問題，也有機械能不守恒問題。機械能守恒問題可運用機械能守恒定律 分析求解，機械能不守恒問題，-般運用動能定理或能量守恒定律分析求解。1. 機械能守恒條件問題機械能包括動能、重力勢能、彈性勢能，其小

10、的謖力勢能是物體與地球共冇的。因此，機械能守恒針 對的是物體、彈簧（或發生彈性形變的其它物體）和地球組成的系統，而不是某個單獨的物體。若這個系 統在運動過程中，內部各物體間相互作用的力中，只有重力、彈力做功，這一運動過程中系統的機械能總 量保持不變。這就是機械能守恒的條件，欲運用機械能守恒定律分析求解物理問題，應首先選擇有相互作 用的物體系統，然后分析在運動過程中系統內各物體間的相互作用力。若系統內只有重力、彈力，或雖有 非重力、彈力作用但這些力不做功或所做功的代數和等于零,則系統的運動過程中，機械能總量保持不變。例1.-蹦極運動員身系彈性蹦極繩從水而上方的高臺下落，到最低點時距水而還有數米距

11、離。假定 空氣阻力可忽略，運動員可視為質點，下列說法正確的是a. 運動員到達最低點前重力勢能始終減小b蹦極繩張緊后的下落過程屮，彈性力做負功，彈性勢能增加c.蹦極過程中，運動員.地球和蹦極繩所紐成的系統機械能導恒【）蹦極過程屮，重力勢能的改變與重力勢能零點的選取冇關解析運動員到達最低位置前，一直向下運動，重力一直做正功，重力勢能一直是減小的。a對；蹦 極繩張緊后，隨著運動員的繼續下降，繩伸長，對運動員作用向上的彈性力，此力做負功，繩的彈性勢能 增加。b對；由于空氣阻力可以忽略，蹦極過程中，對于運動員、地球、繩系統來說，只有重力與彈性繩 的彈性力做功，系統的機械能守恒。c對;重力勢能與重力勢能參

12、考平面的選取有關,而重力勢能的變化 量則與此無關。d錯。本題選abc?！军c評】做功不做功，決定與此功對應的能量是否變化，功的正負決定能的增減。重力做正功（或負 功）重力勢能減少（或增加）；彈簧的彈力做正功（或負功）彈簧的彈性勢能減少（或增加）。2. 機械能守恒過程中的動態問題機械能守恒時物體系統機械能總量保持不變。這一過程中，山于系統內部的重力.彈力做功，會發生 重力勢能、動能和彈性勢能在系統內部各物體間的轉化或轉移，并非各種形式的機械能都保持不變。因此, 機械能的守恒，是一種動態的守恒，守恒中有能轉化或轉移，巫力做功對應重力勢能的變化，彈力做功對 應彈性是能的變化，合力做功對應功能的變化。例

13、2.如圖1 （甲）所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平而上，口時刻，將一金屬小球從彈簧正上 方某一高度處由靜卍釋放,小球落到彈贊上樂縮彈費到最低點，然后乂被彈起離開彈簧,上升到一定高度 后再下落，如此反復。通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈贊彈力尸隨時間r變化的圖像 如圖（乙）所示，則sia.亦時刻小球動能最大b. z2時刻小球動能最大c. 才&這段時間內，小球的動能先增加后減少【）.t廠這段時間內，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能解析：山圖象可知，亦時刻，小球剛接觸彈簧，此后，至小球經過平衡位置，彈簧對小球向上的彈丿j 小于向下的重力，這兩個力的合力向下，對小球做正功，

14、小球的動能増加。小球過了平衡位置后，向上的 彈力大于向下的重力，兩者合力方向向上，對小球做負功，小球動能開始減小，因此，小球過平衡位置時 的動能最人。而圖象中的b時刻，小球已落至最低點，動能為零。a、b錯；厶這段時間內，小球由最低 點向上運動到彈簧恢復原長，先是向上的彈力大丁向下的遠力，兩者的合力向上，對小球做正功，小球動 能增加，過平衡位置后，彈簧彈力小于重力，兩者合力方向向下，對小球做負功，小球動能減少。山于只 冇重力及彈簧的彈力做功，因此，小球、地球、彈簧系統的機械能守恒，這一過程中彈簧減少的彈性勢能 轉化成了小球的動能與重力勢能，小球増加的動能等于彈簧減少的彈性勢能與小球增加的重力勢能

15、的差。c 對d錯。本題選c。【點評】對于物體落在豎直彈簧上的運動，平衡位置（加速度為零）是物體速度增加與減小的臨界位 置。3. 機械能守恒的力學綜合問題如果運動中物體系統的機械能守恒，對系統的運動過程可運川機械能導怕定律列出方程，依據解題的 需要對其中的某物體的某個狀態，運用牛頓第二定律在列方程，然后連理求解。例3.如圖2所示，長度為/的輕繩上端固定在0點，下端系-質量為刃的小球（小球的人小可以忽 略）。（1）在水平拉力尸的作用下，輕繩與豎直方向的夾角為小球保持靜止，畫出此時小球的受力圖， 并求力尸的大小。（2）iii圖示位置無初速度釋放小球，求當小球通過最低點時的速度人小及輕繩對小球的拉力。

16、不計 空氣阻力。解析:（1）小球受力示意圖如圖3所示。由共點力平衡條件冇:a= 0,仇皿-蜩=0,解得力廠的大小為：f=mgt»ar6（2）運動中，小球、輕繩、地球系統屮，只冇敢力做功，機械能守恒。對小球從釋放到經過最低點的運動山動能定理冇:解得小球通過最低點、時的速度人小為:o對小球通過最低點時的運動運用牛頓第二定律冇:輕繩對小球的拉力為：l = *®0一2c8國，方向豎直向上。*。解得【點評】機械能守恒定律適用于機械能守恒的運動過程，牛頓第二定律則適用于運動過程中的狀態。4. 機械能不守恒的力學綜合問題若運動中，系統內部的力小有非重力、彈力做功h這些功的代數和不等于零，

17、運動過程屮系統的機械 能肯定不守恒。這類問題，可運用動能定理或能屋守恒定律分析求解。例4.某興趣小組設計了如圖4所示的玩具軌道，其屮“2008”四個等高數字用內壁光滑的薄壁細圓 管彎成，周定在豎直平面內（所有數字均由圓或半圓組成，圓半徑比細管的內徑大得多），底端與水平地 面相切。彈射裝置將一個小物體（可視為質點）以=5m/s的水平初速度山臼點彈出，從方點進入軌道， 依次經過“8002”后從/點水平拋出。小物體與地面m段間的動摩擦因數二0.3,不計其它機械能損失。 已知&方段長l=l. 5m,數字"0”的半徑斤=02nb小物體質量zff=0. 01kg, =10m/s2<

18、>求：(1)小物體從p點拋出后的水平射程;(2)小物體經過數字“(t的最高點時管道對小物體作用力的人小和方向。解析 (1)設小物體運動到q點(或過“0”的最高點)時的速度大小為5對小物體山&運動到q過程應用動能定理得:小物體自門點做平拋運動，設運動時間=力_ c；為i.水平射程為s,則有：2 和ff=¥< o代入數據解以上兒式得：滬0.8m , v =(2)設在數字“0”的最高點時管道對小物體的作用力大小為/，；取豎直向下為正方向，山牛頓第二f+財=曲£定律冇：« ,代入數據解得：/0. 3n ,方向豎直向下?！军c評】小球在 必段的運動機械能不

19、守恒，在切段的運動機械能守恒，但整個運動階段機械能不守 恒。將整個階段視為整體運用動能定理簡化了解題過程。5. 涉及電場的力電綜合問題帯電粒子在電場中運動，山于電場力做功，物體系統的機械能不守恒。這類問題，一般運用動能定律、 能量守恒定律及電場等知識分析求解。例5.如圖5所示，在水平地面上固定一傾角為的光滑絕緣斜而，斜而處于電場強度人小為從方 向沿斜面向下的勻強電場中。勁度系數為&的絕緣輕彈贊-端固定在斜面底端，處丁口然狀態"質量為刃、 帶電最為g（g）的滑塊從跖彈費上端&處由靜止釋放，滑塊運動過程中電量保持不變。設滑塊與彈簧接 觸過程沒有機械能損失，彈簧始終處在彈性

20、限度內重力加速度大小為從（1）求滑塊從釋放到與彈簧上端接觸瞬間所經歷的時間:（2）若滑塊在沿斜血向下運動的整個過程中最大速度大小為rn,求滑塊從釋放到速度大小為兀過程 中彈贊的彈力所做的功必解析：（1）帶屯滑塊從靜止釋放到與彈簧剛接觸的過程屮，做初速度為零的勻加速宜線運動，設加 速度大小為禺由牛頓第二定律及勻變速直線運動位移公式有：q+«k丘名解得:（2）帶電滑塊與彈簧接觸后的運動中，在斜浙方向受重力沿斜面向下的分力噸®®日、沿斜面向下 的電場力'用、沿斜而向上的彈簧彈力三個力的作用。起初前兩個力的合力大于彈簧的彈力，三力的 合力沿斜而向下，物塊加速下滑，

21、下滑屮彈力逐漸増大而其它兩力不變，三力向下的合力越來越小，滑塊 的加速度減小，當合力小到等于零時，加速度為零，滑塊的速度不再増加，達到最大值人。設此時彈簧壓 縮量為x,對滑塊在斜面方向運用共點力平衡條件冇：噸細8十皿一&=°?；瑝K從釋放到速度最大，滑塊沿斜面下滑的距離為仇+0,斜而的彈力不做功，重力的功為噸血匕曲刃，電場力的 功為曲何")，設彈簧的彈力所做的功為"，對滑塊這i運動過程運用動能定理冇：(mgsh 0+皿)(斗= jmy -0【點評】加速度減小的加速直線運動中，加速度為零時，速度最大。6. 涉及磁場的力電綜合問題閉合電路的-部分導體在磁場中做切

22、割磁感線運動時山于電磁感甌導體中出現電流，磁場對載流 導體的安培力將做功，系統的機械能不守恒。這類問題叮運川動能定理或能量守恒定律分析求解。例6如圖6所示，兩足夠長的光滑金屬導軌豎査放置，相距為厶一理想電流表與兩導軌相連，勻 強磁場與導軌平面垂直。一質量為川、有效電阻為/m勺導體棒在距磁場上邊界力處的止釋放。導體棒進入 磁場后，流經電流表的電流逐漸減小，最終穩定為厶整個運動過程中，導體棒與導軌接觸良好，且始終 保持水平，不計導軌的電阻。求：(1)電流穩定后，導體棒運動速度的大小;(2)若從導體棒進入磁場區域到開始勻速運動，下落的距離為h,安培力的功。解析：(1)在進入磁場區域前，導體棒門由落體

23、運動，進入磁場后，由法拉笫電磁感應處律有：s = 8lv t由歐姆定律有： r ,由安培力公式有：用=她。導體剛進入磁場運動時所受向上的安培力小于向下的重力，做加速運動，隨速度的増加安培力増加，導體棒運動的加速度越來越小，當安培力増人到等于重力，加速度為零，速度不再增加，電流保持穩定。此時冇：。解以上兒式得,電流穩定后導體棒的運動速度為：b c 。(2)設從導體棒進入到勻速運動，安培力的功為/；對導體棒從開始下落到勻速運動過程運川動能定理有:+a) + jf = jwz解得:【點評】安培力隨感應電流的變化而變化，在導體中的電流未恒定之前，安培力是變力，它的功只能 依據動能定理混能量守恒定律分析

24、求解c 變力做功的幾種常見求解方法江西省都呂縣第一中學李一新功是能的轉化的量度。功的計算在中學物理中占有重耍的地位。在中學階段，功的計算公式jr=«rcma只適用于恒力做功的悄況，對于一些變力做功的情形，往往是不能直接應用此公式來直接 計算。如何來求解變力所做的功呢？通常冇以下兒種方法。一. 微元法例1如圖1所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，川輕縄系著滑塊繞過光滑的定滑輪，以大小 恒定的拉力尸拉繩，使滑塊從a點起由靜止開始上升。若從a點上升至點和從點上升至c點的過程中 拉力廠做的功分別為倂和滑塊在加兩上點的動能分別為島和eg圖中a宙bg則一定有（ ）b.的< 他 c. eh

25、aexc d. ekb<ekc解析：此題中的兩個過程中，功的多少的比較可以采用微元法。如圖1所示，將m和段分成和同 的無限段 7、7、7，在力上升至點繩子的拉力方向分別成5、5、5，各段所做的功 分別為期耳曲叭f%w、昭，曲絞；在上升至廠點繩子的拉力方向分別成風、因已、a2仏、筋，各段所做的功分別為戸皿8皿、f他cos爲、陽bcm烏 爲、5氐，故陽因尸人小未知，則滑塊由a到c的過程是加速、減速情況難以確定，故只冇a選正確。二. 圖像法例2.用鐵錘將一枚鐵釘釘入木塊屮，設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比，在鐵錘 釘第一次時，能把飲釘釘入木塊內的深度為lcm,問釘第二次時，能釘入

26、的深度為多少？（設鐵錘每次做 功相等）解析：鐵錘每次做功祁是克服鐵釘阻力做功，但鐵釘的陽力與鐵釘進入木塊內的深度成正比，即 r = s 作hl /x圖象，如圖2所示，圖象與坐標軸圍成的面枳即為鐵錘對鐵釘所的功。山于兩次鐵錘做功相等,故有帛洛,訃吧推所以第二次鐵釘釘入木塊的深度為:ax =帀一 = (7-邛h= 041 曲三. 對象轉換法例3.如圖3所示，某人用跨過定滑輪的繩子以大小不變的力f拉著放在水平面的滑塊，沿水平地面 由/點前進距離/至點，滑塊在初、未位置時細繩與水平方向夾和分別為。和0,已知小定滑輪至滑塊 的高度為從 求滑塊由力點運動到$點過程中，繩子的拉力對滑塊所做的功。解析：從滑塊運動來看，滑塊受到的細繩拉力是變力。該力大小不變，而方向時刻變化，不能直接用 公式來計算。此時，可轉化研究對彖，人對繩子做的功等于繩子對滑塊所做的功，而從滑輪左邊來看，人 對細繩的拉力始終為恒力，其位移大小為細繩伸長的長度，因此，繩子的拉力對滑塊所做的功為：