1、第6章正眩穩態分析相量法186學習重點1866正弦量1866.2 復數1886.3 正弦交流電的相量表示1906.3.1問題的引入1906.3.2正弦量的相量式表示1906.3.3 正弦量的相量圖表示1936.3.正弦量的相量表示的應用1936.4 kcl、kvl 相量形式1956.5 電阻、電感和電容元件vcr的相量形式1966.6 正弦交流電路的阻抗、導納及等效1996.6.1阻抗的概念1996.6.2導納的概念2016.7 正弦穩態電路的一般分析方法2036.7.1相量法的原理2036.7.2 相量法的一般分析過程2036.7.3 相量圖法2066.8有功功率、無功功率、視在功率和復功率

2、2076.9正弦穩態電路的功率守恒2106.10正眩穩態電路的最大功率傳輸2146.11仿真實驗216習題六217第6章 正弦穩態分析相量法學習要點（1）正弦量的三要素及相量表示；（2）復阻抗；（3）kcl、kvl的相量形式;（4）有功功率、無功功率、視在功率和復功率。電路的正弦穩態分析是重要的基礎性問題，相量法是分析正眩穩態電路的簡便有效的方法，重點理解 為什么要引入相量法？相量法與正弦量的關系？引入相量法后，還是利用電路的兩大約束，應用電路的基 本分析方法，求解電路的相量響應，然后進行相量反變換求出吋域響應。本章涉及到的主要概念：三要素、 有效值、相量、阻抗、有功功率、無功功率、視在功率、

3、功率因數、復功率和最大功率傳輸等問題。6.1正弦量在經典電路理論中，一般把方向和大小均呈現周期性變化（交變）的電壓、電流等周期函數（信號） 作為基本的分析對象。其中最重要的周期函數就是按正弦規律變化的正弦量。可以采用sine或cos函數描 述正弦量，本書采用cos函數描述正弦量。1.正弦量的表示以正弦電流20）為例，說明正弦量的表示方法和意義。如圖61所示，一段電路小有正弦電流：（/）,在如圖示參考方向下，k0在每一瞬時f的值（瞬時值） 可表示為z（/） = im cos（血 + %）（6-1）（6-1）式，稱為正弦量的三角函數式或瞬時表達式，式中的幅值厶”、角頻率和初相位©稱為正弦

4、 量的三要素。ut） .o o圖61 一段電路中的正弦電流正弦電流z0）是一個交變的電流，正半周時其值為正，表明其實際方向與參考方向相同，負半周時則 相反。正弦量的第二種表達方式是波形圖，也稱為正弦波，其橫軸可以是時間z,單位為s（秒）；也可以是, 單位為枸（弧度）。如圖62是正弦電流z（f）的波形圖。圖6-2正弦電流,（/）的波形圖®i（t）是時間f的函數，有時也簡記為八下面結合波形圖來說明正弦量三要素的意義。/加稱為正弦量的振幅或幅值。顯然，當cos（血+ 0） = 1時，7取得最大值/當cos（血+ 0） = -1 時，迫）取得其最小值-/加。最大值與最小值之差/,”-（-/&

5、quot;,） = 2/加稱為峰峰值。隨時間變化的角度（血+ 0）稱為正弦量的相位或相位角，其時間變化率稱為角頻率，容易求得角頻率 就是單位為rad / s （弧度/秒），它與周期t和頻率/之i'可的關系為69= 2% = 2龍/（6-2）周期t的單位為s （秒），頻率/的單位為乞（1/秒），稱為hz （赫茲，簡稱赫）。©是正弦量在/ = 0時的相位，稱為初相位（角），簡稱初相，初相的單位為枸（弧度）或° （度）。 對一組同頻正眩量，初相代表了每個正弦量達到其最大值的先后關系，稱為相位關系。一般稱初相位為0。 的正眩量為參考（標準）正眩量，所以其它同頻正弦量的初相代

6、表了 “超前”或“滯后”參考正弦量的角 度。由于正弦量是以2龍為周期的周期函數，所以如果不對初相的取值范圍有所限制的話，就可能出現多 種“超前”或“滯后”的歧義說法。一般規定初相的取值范圍為-龍,龍。如果初相值超出取值范圍，可 通過加減2龍求出符合取值范圍的初相值。正弦電壓的表示方法和意義與正弦電流類似，這里不再贅述。2.相位差電路小常用相位差的概念來表示兩個同頻正弦量z間相位關系，相位差就是兩者相位的差，顯然也等 于初相的差，相位差是一個與時間/無關的常數。例如，如以02表示電流ac） = /,”cos（0r + 0）和電壓 u2（t） = um cos（m + （p2）的相位差，則有02=

7、0廠輕（6-3）同初相一樣，一般也規定相位差的取值范圍為-碼龍。知道了相位差以后，就可以結合"超前”和"滯后”等概念來說明兩個同頻正眩量的相位關系。當2 >0 時，稱右超前“2 012，或稱“2滯后02；反之亦然。（1）當（p2= 0時,稱片與“2同相；當二龍，稱a與“2 （彼此）反相；（3）當9= %，稱片與（彼此）正交。顯然，當改變某一正弦量的參考方向時，為保證正弦量的瞬時值不變，其新表達式應取原表達式的反 相，即初相加龍或減龍。在波形圖上更容易理解相位差意義，見例題61。2 2例6-1求正弦量a（t） = imi cos（qt+?r）a和乙=【m2 cos（qt

8、tt）a的相位差。解根據式（63）可求得2 24% =龍一（兀、=兀3 33此值已超出相位差的取值范圍-龍,龍,所以相位差應為仇2 =-2兀+扌龍=-|龍，具體可表述為，z22 2超刖zj 兀,或片滯后z2 兀，結果如圖6-3所示。3.有效值通常交流電流表、交流電壓表的讀數、及常用交流電器所標注的額定值都是有效值。人們常說的家用 照明電壓220v,也是有效值。交流電的有效值是根據電流的熱效應來定義的，以周期電流，(/)為例，假設把一個周期電流，(/)和另 一個直流電流i加到電阻值均為r的兩個相同的電阻上，如果兩者在一個周期為t的時間內所產生的熱能 相等，則這個直流電流i的值就是這個周期電流，(

9、/)的有效值。顯然，可在一個周期內表達這種相等關系, 即ri2(t)dt = tri2因此可求得(6-4)即一個周期電流的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內積分的平均值的平方根，所以有效值也稱 均方根值、或方均根值。當電流zo是正弦量時，可以推導出其有效值與振幅之間的關系。由式(61)和式(6-4),并根據三(6-5)(6-6)角公式產=ij cos2(+ %) = im2 1 +皿2伽+ %)可求得 /=護嚴0.707厶” 據此，正弦電流z(f)也可記為如下形式i =y/21 cos(cot + ©) 上式中，i、0)、也可稱為正弦量的三要素。注意，式(65)只適用于正弦量，對其

10、它的周期函數不成立。電壓有效值的定義與電流完全相同，這里不再贅述。為了對正眩量進行分析計算，首先對復數運算作 簡要復習。6.2復數復數f定義為f = a + jh式中，q和b分別稱為復數f的實部和虛部，而j = yti為虛數單位。此定義式一般稱為復數的代數 形式。若兩個復數的實部和虛部分別相等，定義為兩個復數相等。如圖64所示，復數f可以用復平而上的一個向塑f來表示。圖64復數在復平面上的表示為計算方便，還經常把復數表示成其三角形式、指數形式及極坐標形式。根據圖64,復數f的三角 形式為f = |f|cos + 丿式中|f| = jj+f為復數尸的模，&二arctan?為復數f的輻角，

11、因此有q=|f|cos& , ab = fsin0. 0可以用弧度或度表示。根據歐拉公式=cos& +丿sin&,復數f可表示為指數形式和極坐標形式f = fej0, f = |f|z &用ref表示取復數f的實部，imf表示取復數f的虛部，所以有，ref = tz, lmf = b. 用尸表示復數f的共軌復數，即尸一"或f* =|f|z &。復數的基本運算包括加減和乘除。復數的加減運算定義為其實部和虛部分別相加減，所以一般適合以代數形式進行。例如，設 f =ax +jb、f2=a2 + jb2,則f ±f2 =aa±a2

12、+ j(b ±b2)復數的加減運算也可以在復平血上按向量加減的平行四邊形法則進行，如圖6-5表示了兩個復數相加 的運算f = f +竹。圖65復平而上兩個復數相加的運算顯然，兩個復數相減的運算f = f、- f?可視作f = f、+ (-耳)。復數的乘除運算以指數形式或極坐標形式進行較為簡便。兩個復數相乘定義為它們的模相乘、輻角相 加，即f = f,f2=ff2z002兩個復數相除定義為他們的模相除、輻角相減，即下面講解兒個特殊的復數。ei0=zo是一個模等于1,輻角為&的復數。任意復數f = fz0f乘以"&等于把復數f逆時針 旋轉一個角度&而f的

13、模不變，所以eie = a0稱為旋轉因子。當&=90。，稱為旋轉90。因子，e,90 = cos90°+ysin90°=所以，j = z90°, -y = z-90°, -i = xi80°都是特殊的旋轉因子。63正弦交流電的相量表示6.3.1問題的引入1. 1在14章屬于直流穩態分析，根據叫=厶竺=0,電感視為短路，根據<=c- = 0,電容視為開 dtdt路，因此，不包含電感和電容。第5章屬于直流動態分析，電感和電容的vcr,都不為零，因此列出的是 微積分方程。然而，在交流電路中，電流或電壓都是變化的，此時列出的方程是含有正弦

14、函數的微積分方 程，給電路分析計算帶來困難。例如圖66所示電路，己知激勵比= 200cos（314/ + 5（t）。若用支路電流法求匚、 論、 匚，則電路方程為ll =lc + lrdr(6-7)+ 丄 j icdt = 200cos(314/ + 50°)rir =才乙&此方程是關于正弦量三角函數式的微分方程，所以直接在時域內分析此電路非常繁瑣，為此利用數學 知識，探尋全新的方法相量法。在線性電路屮，對正弦交流電路進行穩態分析計算時，會遇到大量的同一頻率的正弦量相加、相減、 積分、微分等運算，如（6-7）式，如果，此時全部激勵都是同一頻率（frequency）的正弦量，則電

15、路中的 全部電壓與電流的響應與激勵的頻率相等。即只要激勵的頻率已知月.相同，響應的頻率不用再求。正弦交流電的求解就是要關注正弦量的三要素，其中響應的頻率與激勵的頻率相等，因此，只要求解 正弦量的幅值和初相位，下面將根據數學和電路原理探尋正弦量的幅值和初相位的求解方法一一相量法。6.3.2正弦量的相量式表示正弦量除了用三角函數式（瞬時表達式）和波形圖來表示以外，利用歐拉公式還可以表示成復指數的 形式。例如，一個正弦交流電流a（t） = qlcos（qt+0）a,可以表示為復指數函數的實部：a（t）=血/cos（et+0）=伽切二 rev2ze-e/<w（6-8）式（68）中，方括號內是一個

16、復數，符號re表示取復數的實部。其中的""在復平面上，是一個以 角速度g逆時針旋轉的單位矢量；矢量包含了正弦量的最太值和初相位兩要素的矢量，再乘以嚴,即得一個以角速度g逆時針旋轉的矢量，因此旋轉的矢量能完整的表示正弦量的三要素。這個旋 轉的矢量稱為正弦量的相量，用我們將正弦電流z（t）（對應）的相量，記為其與正弦電流z(f)的一一對應關系可表示為 i oi(6-10)要特別強調，式(610)表示的是一個正弦量與其相量之間的一一對應關系，不是相等關系，不能用 等號。顯然，一個正弦塑與其相量的關系也可表示為i(t) = reyl2ie/am(6-11)圖6-7旋轉的矢量與正弦量

17、的關系綜上可得，正弦交流電流i二qlcos(”t+0)a的相量式im = y2iei(p 或 lm=41ia(p(6-12)在電路分析中，復數中的模也可以取為正眩量的有效值，即可以把正弦交流電流的相量形式為i = i尹或i = iz(p(6-i3)注意用有效值代表相量的模時，要想得到如圖6-7所示，對應的物理意義必須將有效值乘以血。6.3.3正弦量的相量圖表示若把復數近1/ 嚴 在復平面上的對應點與原點之間用一帶箭頭的有向線段畫出，為了做圖方便， 將復數坐標逆時針旋轉了 90。例如，當初相位是0。，幅值是血/,即把迥1尹嚴,畫在如圖67中, 有向線段長度是血i、初相位是0。的矢量，且以q角速度

18、逆時針旋轉。如圖67 (a)圖中，當t=0時，該相量與實軸夾角為正弦函數的初相位角0 = 0°,此時，相量在實軸 上的投影等于v2/cos0° o該相量以。角速度隨時間逆時針方向旋轉，當勺時，相量轉到圖(b)屮所示位 置。此時與實軸夾角為(勁+0) = 60"。由圖可以看出，該相量在實軸上的投影等于v27cos60°,即等 于對應的正弦函數在該時刻的瞬時值，以此類推。相量的定義構建了兩個數域z間的變換關系，正弦量的三角函數式和波形圖在時間域，其相量式和相 量圖在復數域。在后續課程中我們會發現，類似的變換方法在科學研究和工程技術中廣泛采用。綜上可得，正弦交

19、流電流")=血沁創+0)人的相量圖，如圖匕8所示。在用復平面上的相量表示正弦函數時，只要確定其初相位時的相量即可，即相當于取-0時的復指數 函數41ie i(p。實際的正弦時間函數只要把該復數乘以嚴，再取其實部就可以得到 i (t) = v2 i cos(691+(p)。掌握三角函數式，相量的復數表達式和相量圖形表示，并理解它們之間的內在轉換關系和意義，是穩 態正弦交流電路中相量計算的基礎。63 正弦量的相量表示的應用對于圖6-9 (a)所示的電路，若已知兩條支路中的電流為z, = v2/j cos(69t+%)i2 = v2/2 cos(et+ %)圖6-9(a)則，總電流z =

20、zj 4- z2=rev2/e7() + reji/r© 嚴 = rej2(ii2)ejm= re2iejm=血/cos(血+ 0)由上式可知，要計算總電流i只耍知道總電流的相量/即可，于是兩個同頻率的正弦電流相加問題， 就轉化成這兩個正弦電流對應的相量的相加問題，即把三角函數的相加轉化為兩個復數的相加運算。以上 是轉換的推導過程，以后的計算直接轉換為相量利用/=/1+72相加即可。我們還可以在相量圖上直觀地來分析兩個正眩量的相量相加的意義。電流l與島的相量厶、厶，如圖 6-9 (b) x (c)所示。(b) i=ar-t(c) in】時當to吋,相量處于初始位置。按兩個相量相加的平

21、行四邊形法則，作厶、厶平行四邊形(或首 尾依次連接)得合成相量如圖6-9 (b)所示。當t二s時，相量/, > /2以角速度隨時間逆時針方向旋轉了血|角度，平行四邊形(或首尾依次連接) 得合成相量7,如圖6-9 (c)所示。分析6-9(b)圖，合成相量7的初相位，應根據圖6-9 (b)求得。由圖6-9 (b)和(c)可見t=0吋和 t等于任意時刻，其合成的相量/的幅值不變，因此只要畫出t=0吋，的相量圖，即6-9 (b)圖就可以求 出三要素中初相位和幅值(或有效值)。綜上所述，分析了正弦函數相量式與三角函數式的關系，正弦函數相量圖與波形圖的關系，簡言之， 正弦量可以用以下四種表達方式：

22、三角函數式，如，,二jicos(69t+0)a ; 波形圖(如圖6-2)； 相量式(如6t2式或6t3式)； 相量圖(如圖6-8) o正弦量的這四種表達方式可以相互轉換，各有特點，對正弦量運算，用相量式更簡便，用相量圖做 輔助分析比較直觀，下面通過例題，進一步說明同頻率正弦量的轉換表達方式等問題°例62寫出下列三角函數式的相量式、并畫岀相量圖人=_ 14.14 cos(628 x 1 o' f + 60°) mau2(t) = 220v2 sin(314/-120°) v解注意，首先要統一用cos或sin函數表示正弦量，而且表達式前的負號耍等效到其初相位中

23、，變 換后還要注意初相位是否超出其取值范圍。據此，兩個正弦量應首先變換為z, (/) = 144 cos(628 xl03/ + 60°-l 80°) =14.14 cos(628x 103r-l 20°) mau2 (/) = 220v2 cos(314/-120°- 90° + 360°) = 2202 cos(314( +150。)v所以，兩者(對應的)相量式為i、=10z-120°mau2 =220z150°v相量圖性*aio郴is國相量圖中的水平參考，可以不用畫出，請讀者自己畫出對應的波形圖。 從己知的三

24、角函數式，可以直觀的找到幅值、角頻率血和初相位三個要素； 從波形圖可以直觀的看到幅值、周期t和初相位三個要素。 從相量式和相量圖中可以直觀的找到幅值(或有效值)、初相位兩個要素；可以認為角頻率q被隱 含在相量式的“ ”屮，因此，寫相量式或畫相量圖時，一定不能丟掉大寫字母上方的“ ”，如果只寫 大寫字母表示有效值，大寫字母上方的加“ ”，表示一個完整的正弦量的相量式。而小寫字母表示隨時域 變化的三角函數式，請大家一定注意寫法的不同，代表的物理意義各不相同。kcl、kvl相量形式由基爾霍夫電流定律(kcl),在任意時刻，對電路中任一節點，流出該節點的所有支路電流的代數 和恒等于零，即z+”3+ +

25、=0 或簡記為k當電流均為同頻正弦量時，可對上式兩邊用相量表示，有 人+厶+人+厶=0或簡記為 工厶=0(6-14)k此即kcl的相量形式，可表述為，任一結點上，同頻正眩電流對應相量的代數和等于零。同樣，由基爾霍夫電壓定律(kvl),當支路電壓均為同頻正弦量吋，有3+力2+力3+ +& =°或簡記為(6-15)k此即kvl相量形式，可表述為，任一回路中，同頻正弦電壓對應相量的代數和等于零。由于振幅相量與有效值相量僅有倍的差別，所以對振幅相量，kcl和kvl的相量形式同樣成立。實際應用中，總是先畫出所謂原電路對應的相量模型，然后根據相量模型直接寫li kcl方程和kvl方程的相

26、量形式。要特別強調的是，kcl、kvl的相量形式并沒有什么新的物理意義，本質上，其所反映的仍是其對應 的正弦量在(時域內)每一時刻滿足kcl或kvl。由于只有相量才對應其正弦塑，所以要特別注意，只有相量才滿足kcl或kvl,其有效值不滿足kcl或kvl。例63在圖611 (a)中，已知電流的參考方向如圖，且電流z1(z) = 3>/2cos(314r)a,i2 (z) = 3v2 cos(314/ + 60°) a,求另一電流 z3(/)o圖6-11例63圖解 (1)將正弦量的三角函數式轉化為相量式相量的正變換，得= 3z0°i2 = 3z60°根據節點a的

27、kcl厶=3zo0 3z6o0 = 3z0° + 3z -120。= 3z - 60° a(2)將正弦量的相量式轉化為三角函數式相量的反變換，得 z3(/) = 3v2cos(314/-60°) 也可在復平面上用圖解法求解厶,厶=厶+(-厶)，如圖611 (b)所示。 也可用最大值表示相量，此時得到的是i3nt 06.5 電阻、電感和電容元件vcr的相量形式電阻、電感和電容這三種基本二端元件都可以視作最簡單的單口。下面講解這三種元件vcr的相量 形式，并對其正弦穩態下的特性做深入分析。1.電阻(a)(b)(c)圖612電阻的時域模型、相最模型和相最圖電阻r的時域模

28、型如圖612 (a)所示，設電流和電壓呈關聯方向，其屮*二q/rcos(血+ 0), 1r=ir乙(pi根據歐姆定律ur =r ir (t)(6-16)可求得可見，其電壓有效值是電流有效值的r倍，電壓與電流同相。(6-18)(6-21)直接對（617式）寫出相量式，可求得電阻的vcr的相量形式為 urrihir式（618）可分解為有效值的關系和輔角的關系，即ur=rir此結果與時域分析結果一致。由式（618）可得，電阻r的相量模型如圖6-12 （b）所示，式（618）可根據此相量模型按歐姆定 律直接寫出。圖6-12 （c）是電阻的相量圖，其簡明地表明了其電壓相雖和電流相量的關系，電阻元件上 電

29、壓和電流同相位。2.電感圖6-13電感的時域模型、相量模型和相量圖 電感l的時域模型如圖613 （a）所示，其中電流和電壓呈關聯方向，設 %（/） = j刃/ cos（曲+ %）,則il=ilz（p.f根據楞次定律電感的vcr叫（/） =厶d il (t)dt可求得ul(t) = - v2 colil sin(2x +(pt) =a)l 近 il cos(血 + %+ 90°)可見，其電壓有效值是電流有效值的皿倍，并電壓超前電流90。 直接對（623式）寫出相量式，可求得電感的vcr的相量形式為 ul = col 厶 z（©+ 90°） = col ilej（pi

30、 -嚴°因為虜=/嚴妙又嚴=j°u l = jeli l式（624）可分解為有效值的關系和相位的關系f ul=coli2=0+90。(6-22)(6-23)(6-24)(6-25)由式（6-25）,定義xl=0）l為感抗，具有電阻的量綱q;與電阻不同，感抗隨頻率改變：當t0時（直流），毗 t0,電感相當于短路；當qtoo時，毗 too,電感相當于開路。圖613 （b）是電感的相量模型，式（6-24）可根據此相量模型并按歐姆定律的形式直接寫出。圖613（c）是電感的相量圖。3.電容圖614電容的時域模型、相最模型和相最圖電容c的時域模型如圖614 (a)所示，其屮電流和電壓呈

31、關聯方向，設根據電容的vcr可求得uc(z)= 2uc cos(必 + 0“),則 uc = u乙札m)= cat(6-26)ic (/) = coc v2 u© cos(血 + 0“ + 90°)可見，其電流有效值是電壓有效值的0c倍，并電流超前電壓90。直接對(626式)寫出相量式，可求得電容的vcr的相量形式為ic = cocu 工他 +90°) = cocuceejj因為=ucz(pu又 e/90，= jic= ja)c uc(6-27)式(627)也可分解為有效值的關系和相位的關系guxuc(6-28)0=化+90。由式(6-28),定義x,= 為容抗，

32、具有電阻的蚩綱；與電感的特性相反，當gt0時，丄too，(dccoc電容相當于開路；當qtoo時，丄 t0，電容相當于短路。coc圖614 (b)是電容的相量模型，式(6-27)可根據此相量模型并按歐姆定律的形式直接寫出。圖614(c)是電容的相量圖。4.電阻、電感和電容的vcr的相量形式總結根據本節的分析，可總結出，電阻、電感和電容的vcr的相量形式為ur=r1r它們都具冇歐姆定律的的形式。5.受控源的vcr的相量形式最后分析受控源的vcr的相量形式。以vccs為例，其控制關系為 i(t) = gu(t)其中控制系數g為常數，當控制電壓譏/)是正弦量時，受控電流/")也是同頻正眩量

33、，因此，有i = gu(6-29)式中j = i g 0加,u =u乙仇式(629)就是vccs的vcr的相量形式，圖615是vccs的相量模型，可見形式上與時域模型完 全相同，只是將電壓、電流換成了對應的相量。比照上述分析方法，我們也可得到其他三種類型的受控源的vcr的相量形式和相量模型，其結果與 上述vccs類似，這里不再贅述。i=gu圖615 vccs的相量模型6.6正弦交流電路的阻抗.導納及等效6.6.1阻抗的概念上一節分析了單一參數的正弦交流電路，引出了感抗、容抗，下面通過分析rlc串聯電路和并聯電 路，進一步介紹阻抗和導納的概念。z(y)圖616 (a)所示單口 n是一個正弦穩態下

34、的無源單口，其端口電壓"(/)和端口電流,(/)對單口而言 呈關聯方向。(b)圖6-16單口的阻抗(6-30)圖6-16 (b)是無源單口 n所對應的相量模型n“，其中的端口電壓和端口電流均以其對應的相量表 示。記端口電壓相量為u =u乙嘰，端口電流相量為i = i乙九,兩者也呈關聯方向，則定義 z斗z為單口的阻抗，也稱為復阻抗或輸入阻抗。顯然對確定的頻率g,阻抗z是一個復常數，并具有電阻的量綱(q )o下面通過實際電路進一步說明，阻抗的計算規則也同電阻的計算規則完全一樣。o(a)(b)圖617 rlc串聯電路圖6-17（a）是rlc串聯電路，設加在其端口的激勵是角頻率為3的正眩電壓

35、（/,那么，在支路上將產 生同一頻率的響應，如圖中/,根據kvl得u 二ur + ul + uc 1=ir +/jcoli jcoc- 1= i(r+jcol + rjcoc式屮，令z = r+jcol + - = r+j(ol一一 ) = r-j(xl-xc) = r+jx,得 jcoccocu = iz上式，與式（6-30）相同，z稱為該串聯電路的復阻抗，它等于端電壓相量與相應電流相量的比值。 復阻抗的極坐標表達式5、7?和x構成直角三角形，稱為阻抗三z2 =r2 +x2復阻抗z在代數形式屮，實部7?稱其為電阻，龐部x稱其為電抗部分（x = xl_x" 合起來稱為 復阻抗。在極坐

36、標形式屮，z是復阻抗的模，輔角稱為阻抗角。兩種形式可以互化。可將阻抗 z = r + jx或z = |z|z0z畫在復平面上，如圖618所示，其|z 角形，所以有(6-31) (6-32)根據復數的計算規則，式（630）可分解為其模的關系和輔角的關系(6-33)-|z| = 7.% a在rlc串聯電路屮，其總阻抗z的特性是由角頻率g和電感l、電容c的值決定的，如杲感抗xl 大于容抗xc，即x0,則阻抗角©>0,這時電路阻抗呈感性，電路中的電壓超前于電流。如果容抗xc 大于感抗xl，即xvo,則阻抗角qv0,這時電路阻抗呈容性，電路中的電壓滯后于電流。如果x=0,即 容抗xc等于

37、感抗x】.，則阻抗角=0,這時電路阻抗呈純電阻性，電路中的電壓與電流同相位。如圖617 （b）是圖（a）的相量圖，因為是串聯電路每個元件上流過相同的電流，所以，設i = /z0°, 圖（b）簡明地表明了相量間的關系（假設©>0）。說明，對圖6-17 （b）出現了電壓三角形，其中的一個直角邊是電阻電壓ur,另一直角邊是電抗電壓 u &uc，斜邊是總電壓u ,對圖6j8的阻抗三角形每個邊同乘電流（串聯電流相同），便得圖6-17 （b） 的電壓三角形。此時的電壓三角形與阻抗三角形是相似三角形。推廣，圖619是兩個阻抗z、z?串聯的電路，i = s 是端口電流的相量，

38、u = 是端口電 壓的相量，/與i?呈關聯方向。由kcl的相量形式可知，串聯電路中電流相量是相同的，所以由kvl的 相量形式有c/ = z1/+z2/=(z1+z2)/其中z,+z2可等效為一個阻抗z ,z = z + z?當有n個阻抗串聯，進一步推廣，則z 二 z + z-, + + z”662導納的概念圖619兩個阻抗的串聯 在相量法中還用到導納的概念。在如圖6j6 (b)所示的關聯方向下，定義v = g + jb = y z(p、(6-34)uyy為單口 n®的導納，也稱為復導納或輸入導納；g為y的電導部分，b為y的電納部分；卩為y的模，久為y的導納角。由阻抗和導納的定義式(6

39、-30)和(634)可見，導納是阻抗的倒數，因此單口也可等效為導納y,如圖616 (c)所示。形式上，導納對應電阻電路中的電導。導納具有電導的量綱(s)。下面通過實際電路將進一步說明，導納的計算規則同電導的計算規則完全一樣。圖6-20 gcl并聯電路圖6-20 (a)是rlc并聯電路的吋域模型，首先將其變成對應的以導納表示的相量模型，(導納是阻 抗的倒數)，如620(b)所示，設加在英端口的激勵是角頻率為0)的正弦電流，如圖中厶，那么，在支路上 將產生同一頻率的響應，設每個元件上的電壓為u ,根據kcl得is = zg+zc+tl二ug +u jcoc + u jsl1=u(g+丿必+r j3

40、l式中，令丄= y =+丄，得zjcol(6-34)z如圖620 (c)是圖(a)的相量圖，因為是并聯電路每個元件上的電壓相同，所以，設u = t/zo°,圖 (c)簡明地表明了相量間的關系。綜上，電路并聯的問題也可以用阻抗來計算，完全可以按個人的習慣，在此注意它們的實質還是歐姆 定律，當然，阻抗是廣義的，它可能只是一個純電阻或是一個純電抗等。例如，當只有一個電感元件時， 此時的阻抗就是感抗，當一個電感和電容元件串聯時，此時的阻抗就是電抗，不管怎樣阻抗對應直流電路 中電阻的特性。t.-a下面再看一個rlc混聯電路的問題。例64已知單口 n血的相量模型如圖621所示，其端口電壓為uc(

41、t) = y/2 10cos314,求單口的阻 抗,及電流a、i、i、i。解可求得單口 nq的阻抗為z = 1 + >2 +10x ；510 +丿 5=1 + 丿 2 + 2 + 丿 4 = 3 +電壓的相量式t/ = 10z0°v總電流進一步，由分流公式可求相量反變換求出z10/0°3 +丿6= 1.5z-63.4°a/. =75/ = 0.67z0°a10 + ；5z, (z) = 0.67/2 cos314/i (f) = lmcos(314/ 63.4j6.7正弦穩態電路的一般分析方法6.7.1相量法的原理在相量和阻抗概念的基礎上，本節具體

42、講解線性非時變電路的正弦穩態分析一一相量法，它是正弦穩 態分析的一般方法。首先，有了相量和阻抗的概念以后，就可以將電路的時域模型變換成其相量模型。在相量模型屮，電 路的拓撲結構不變（相量模型的拓撲結構與原時域模型相同），只是電壓、電流以相量表示，r、l、c元 件分別以r、jcol、丄表示，受控源也以其相量模型表示。那么相量模型下的電路方程，電路的拓撲jc約束kcl、kvl和元件的約束vcr,均可以統一寫成相量形式，例如：a=o乞=0=zi這些電路方程形式上與電阻電路的方程完全相同。電阻電路的各種分析方法，如支路電流法、節點法、 網孔法等，疊加定理、戴維南定理等，均是以kcl、kvl及元件的vc

43、r為基礎推導出來的。既然在電路 的相量模型下，電路方程形式上與電阻電路的方程完全相同，那么根據類比原理，則電阻電路的各種分析 方法均適用于相量模型的分析，這就是相量法。所以可以說，在一定程度上，相量法“只有新概念，沒有 新方法”。6.7.2相量法的一般分析過程從相量法的原理可知，相量法的根本是在相量模型下完成對時域模型的求解，一般應遵循以下步驟建 立電路的相量模型并求解：（1）相量的正變換一一由已知正弦激勵的時域形式，變換成對應的相量形式。也就是將電路的時域 模型變換成其相量模型，電路的拓撲結構不變，其中 r、l、c元件都用阻抗（或導納）表示； 將獨立電源和待求的電壓、電流等都用其相量表示；

44、受控源變換成其相量形式。（2）在相量模型下，比照前四章直流穩態的電路定律、定理和分析方法，解待求電壓和電流的相量 及其它問題。（3）根據題目要求，進行相量的反變換一一得到時域模型的解或進行其它分析。以上步驟，具有一般性。有時，根據已知和所求變量的不同，步驟可以省略或變化。下面將通過例題 做具體說明。例65圖622（a）是一種40w日光燈正常工作（發光）時的電路模型，其中燈管的電阻約為=250 q,鎮流器等效為電阻rl=50q和電感厶=1.6h的串聯，電源電壓為220v 50hz。求電路的電流、鎮流 器的端電壓、燈管的端電壓。rl(b)圖6-22例6-5圖解 電路的相量模型如圖622(b)所示，

45、可求得鎮流器的復阻抗為z/ =rl +jm = 50 + j314xl6 =50 + j502.4 = 505z84°q電路的總復阻抗為z = zlr=50 + j502.4 + 250 = 300 + j502.4 = 585.2z59.2°q電路的電流為鎮流器的端電壓為燈管的端電圧為心綸p“376a|z|585.2ul = z|zj = 0.376x505 = 190vur =/? = 0.38x250 = 94v思考(1)為什么ur+ul豐u2(2)驗證 ur+ul =u例6-6 正弦穩態電路如圖6-23 (a)所示，其中電壓源你二6cos-30。)v，電流源 zs(

46、r) = 3>/2cos(2r-30o)a,求電流 。解法 1 (1)相量的正變換 t/5=6z-30°v, /5=3z-30°a；(2)相量模型如圖6-23(b)所示，由co=2rad/s可計算出的各阻抗的值，也已標記在圖中。下面分 別用不同方法求解。+嗎()o.5f卄10 q(a)(3)用結點法求解。選節點0為參考點，可解得進一步可求得5()(b)圖6-23例6-6圖關于未知節點電壓匕和力2的節點方程為 -jj-js+乞+0j js=jis，u2 = us - jisi = u'u = ms + 2is = 6v2z15° aj以上第（3）步用了

47、節點法求解，當然也可以用其他方法，見如下分析。（-丿-丿m -（-丿）厶= s一（一丿）人+（丿一丿2）厶=-jisi l = j° s + 2i s解法2用網孔法求解。設由左至右，網孔電流相量分別為人、厶、厶，方向均為順時針方向，顯然 i嚴is，因此關于未知網孔電流人、厶的網孔方程為可求得解法3用卷加定理求解 us單獨作用時的分響應 is單獨作用時的分響應 由疊加定理，解法4用戴維寧等效電求解。將節點1和節點2間的0.5h電感移出去，則從端口 12看進去為一含源單口，其開路電壓uoc =°-°2=4 一（一丿）（一人）=1s -j-j2其輸入阻抗z。就是其對應的

48、無源單口的等效阻抗由此可求得z。=-_/ = _jl5q 丿2z°+丿請讀者探討其它的求解方法。說明，14章以直流穩態（即電阻電路）為背景，所闡述的電路定律、定理和分析方法，完全可以推 廣到各類電路的分析。電阻電路不用涉及微積分方程，因此比較簡單。隨著分析的深入第5章開始動態電路的分析，還是利用14章講到的電路定律、定理和分析方法列些 方程，但此時電路中的電壓、電流發生變化，因此出現了微積分方程，對單一 l或c電路，方程僅是一階 微分方程，求解結果可歸納為三要素形式。當電路僅出現兩個動態元件時，二階微分方程的求解就比較繁 瑣，此時在利用前四章講到的電路定律、定理和分析方法的基礎上，用

49、第11章講的運算法較合適。第610章是交流的穩態分析，還是利用前四章講到的電路定律、定理和分析方法列些方程，此時不但 出現了微積分方程，而且還有正弦函數，因此引入相量法。例67圖624是某電路的相量模型，求在什么條件下，變化時/可不變？圖6-24例6-7圖解1-r 口左邊的電路為一含源單口，是其外電路（負載）。即輸出根據諾頓沱理，此含源單口可等效為其諾頓等效電路，并且，當其輸出阻抗z。導納yo = ja)c-一 =0吋，此含源單口就等效為一個理想電流源，可滿足題目要求。因此由 jel1 1 1yo = ja)c二0,可求得，3 =即當3 = 時，7?變化吋/不變。j(ol4lc4lc例68 含

50、有受控源的單口如圖625所示，求其輸入阻抗。ia=gi解法1求含有受控源的無源單口的輸入阻抗，應采用外施電源法。具體到木題，采用加流求壓法更 簡單。假設在端口處施加電流等于7的電流源，則可求得端口電壓為1 + jcoc1 + jcoc1 + jcoc力與j呈關聯方向，因此可求得其輸入阻抗為2 + g + ja)c14- jcoc解法2也可以采用加壓求流法。假設在端ii處施加電壓等于力的電壓源。首先采用節點法求出節點 的電壓耳，則端口電流/=匕二乞。請讀者自行練習。6.7.3相量圖法在前面幾節我們已注意到，相量圖可以簡明地展示各相量之問的關系。在用相量法分析正弦穩態問題 過程中，如果利用相量圖做

51、輔助分析相量圖法，則可以使概念和分析過程更加簡明和清晰。在相量圖法中，首先要確定所謂參考相量(參考相量對應參考正弦量)初相位。由于并聯電路的電壓 相等，所以對并聯電路，一般取并聯電路的電壓相量為參考相量；由于串聯電路的電流相等，所以對串聯 電路，一般取串聯電路的電流相量為參考相量。為使問題簡化，一般的，假定參考相量的初相位為0,英 它的電流、電壓相量的初相位，可根據元件的阻抗確定。下面結合例題來說明具體做法。例69在圖6-26 (a)所示的rc串聯正弦穩態電路中，已知電壓表讀數分別為，¥：40v, v2:30v, 求總電壓“的有效值u。(b)(c)圖6-26例6-9圖解 電路的相量模

52、型如圖6-26 (b)所示。設端口電流為參考相量，即設1 = 1x0則由己知條件和元件的vcr,可知，電阻電壓為ux=ri =40/z0°v,電容電壓為u. =-ji =30zz-90°v, gjc這樣電阻電壓相量和電容電壓相量(模和相位)均已知，相量圖如圖6-26 (c)所示，總電壓u = uuc,根據相量運算的平行四邊形規則，可求得總電壓(7 = 5oz-37°,所以，總電壓"的有效值u等于50v。由本例可見，正弦穩態電路中，正弦量的疊加，不僅與有效值有關，還與相位差有關。本例中，電阻 電壓和電容電壓不同相，所以總電壓不等于70v!例610在圖6-2

53、7 (a)所示的正眩穩態電路中，已知，電容電流有效值乙為100a,電感電流有效 值人為141a,并且端口電流7和端口電壓力同相，求7的有效值。解 設端口電壓為參考相量，u = uz v ,則由已知條件可知，電容電流為ic = 100z900a,電感電流為乙=1t/ = 141z a, -90°< <0 (電感支路呈感r + jcol性)；而端口電流為i = ic + il,并由已知，7與同相，所以如圖6-27 (b)所示，電流八 j、乙構成直角三角形，因此可知，電感電流為=141z-45°a,端口電流為/ = 100z0ca, /的有效值是100a。圖627例6

54、10圖6.8有功功率、無功功率、視在功率和復功率正弦穩態的功率問題較復雜，并具有其特點。1.瞬時功率我們首先回到時域模型，從瞬時功率展開分析。1(0nio a +un3+ u(t)0(a)(b)圖6-28單口 n的端口電壓和端口電流如圖628(a)所示，設單口 n的端口電壓"和端口電流迫)呈關聯方向，設 u(t) = v2(7 cos(血 + 0)i =q/cos(血)并記端口電壓相量u = uz(p，端口電流相量i = /z0° o根據己有知識，單口n所吸收的瞬時功率為=2ui cos（q/ + 0）cos（0f）根據積化和差公式cos qcos 0 =丄cos（6t十0

55、） + cos© 一 0）可求得p=ui cos（2 初+ 0） + （7/ cos©（6-35）進一步將其中的cos（2血+ 0）按兩角和公式展開，可得p=ui cos °1 + cos（269/）j -ulsmcp sin（2m）（6-36）式（6-35）表明，單口 n吸收的瞬時功率卩是一個角頻率為2。的正弦量u/cos（2血+。）和一個 直流量（常量）uicos（f）的疊加，波形如圖6-29所示。一般情況下，舛0時，有|cos|<l ,及 ui>ulcos（pf即正弦量的振幅w大于直流量的絕對值w|cos訓，因此可知，p一般是一個交變函 數，表明

56、單口 n與其外電路之間有能量交換，當p>0時，單口 n在吸收功率；當p（/）vo時，單口 n 在釋放功率。由于p（f）的均值p=uicos少，所以當|<90°時，uicos>0,單口 n是凈吸收功 率的；當| >90°時，wcos0vo,單un是凈釋放功率的。圖6-29單口 n吸收的瞬時功率的波形下面著重分析式（636）。觀察式（6-36）的前半部分l7cos0 l + cos（2血）,由于l + cos（2血）» 0 ,所以，此前半部分均 恒大于等于0 （當| < 90° ）或恒小于等于0 （當| >90°）,即，此前半部分不含交變成分，表明單口 n