1、 流體力學教案流體力學教案(第七章第七章旋轉流體動力學旋轉流體動力學 ) 第7-2旋轉流體的無量綱方程和羅斯貝數 仿照第三章的處理方法，引入特征量或特征尺度把式(7-15)改寫成無量綱形式的方程，并對無量綱方程中所出現的與旋轉有關的特征無量綱數進行分析討論。 以L和U分別為流體運動在旋轉參考系中所代表的長度和速度尺度，其參考系旋轉的等角速度，取其自身值為特征值。密度也取自身值為特征值。對于流體壓力差，可取兩種不同的參考尺度，即 2U或 22L，考慮到討論U/L1的極限情況，定 22L為壓力差的尺度，即以最大有效尺度來度量流體壓力差。 這樣對式(7-15)進行無量綱化，再考慮到式(7-11)和(

2、7-4)關系，并以特征偏向力U作為每項的測量單位，以U除以各項，將得: VEkVkzFrrpRoVVtVUTLRo 2212121(7-16) 式中T為時間尺度，一般取T=L/U；Ro=U/L稱作羅斯貝數； 2/LEk為埃克曼數； gLFr/2為旋轉流體弗勞德數； r為空間距離的無量綱量。 以下分析討論上述出現過的特征數。 1. 羅斯貝數 ULULURo/2(特征慣性力/特征偏向力) (7-17) 它代表了流體運動的加速度尺度跟偏向力尺度之比，是反映或衡量旋轉效應重要性的一個量。當Ro1時，即流動中慣性力項比偏向力項小得多，旋轉作用對流體運動影響甚大。反之，當Ro1時，則旋轉效應不明顯，可忽略

3、不計，跟一般流動情況相近。一般情況下，在自然界和工程技術中的流體運動，以及在實驗室中的流動，均不計地球旋轉效應的影響,僅在大尺度緩慢運動的運動的大氣科學中考慮地球旋轉效應的影響。 2. 埃克曼數ULULEk/2(特征粘性力/特征偏向力) (7-18)并且， ReRoEk (7-19) 它代表了流體運動的特征粘性力和特征偏向力之比，是反映或衡量旋轉流體中粘性的相對重要性。另外，在大氣動力學中，(7-19)式所示的埃克曼數可化為埃克曼層的厚度和大氣厚度之比，因而大氣埃克曼數的大小，可反映出需要考慮粘性作用的粘性層范圍的厚薄。 3. 旋轉流體弗勞德數gLLgLFr22/(旋轉慣性力尺度/重力) (7

4、-20)它與(3-35)式所示的一般流體的弗勞德數，即 gLUFr/ )/(2，相比較可知，旋轉流體弗勞德數反映了旋轉作用和重力作用的重要性。 4. 旋轉流體的特征壓力對于流體壓力差，可取兩種不同的參考尺度，即 2U或 22L。由于流體運動的一般特征是流動和壓力分布是互為因果相互制約的。 對于非旋轉流體，無量綱特征數為歐拉數，即1/2LULPEu則P為特征壓力差，由此得： 2UP(7-21) 若流體靜止，則有靜力學方程可得特征壓力差: gHP(7-22) 對于旋轉流體，其特征壓差值視轉動情況而定。如Ro1時的特征壓差值表達式，則1,1,222RoLRoUP(7-24) 與此相應的，(7-16)

5、式的壓力梯度項為:zFrrRopRo12121)1(RozFrrpRo12121)1(Ro(7-25) 因此，(7-24)式是流體力學和大氣動力學作尺度分析時的一個極其重要的基礎公式。 第7-3 普魯德曼-泰勒定理 前面已指出，導致旋轉流體與一般流體運動動力學的本質差別，是偏向力的作用。為突出這種本質差別，在這里著重討論偏向力項的量值遠較相對運動的慣性力項和粘性力項為大，或者在(7-16)式中有下列關系式，即0Re00RoEkUTRoLRo(7-26) 其中還包含著流動是準定常的 01T。于是，(7-16)式可改寫為: zFrrpRoVk121221(7-27)由于物理方程不但量綱一致，而且其

6、最高量級的項至少有兩項以上。因此，欲使式(7-27)有意義，必須使tzyxRoPzFrrp,*1212(7-28) 式中 tzyxP,*為某一無量綱標量函數。于是，式(7-27)可化為: 02*PVk(7-29) 對上式取旋度，即有: 0)2(Vk(7-30) 根據矢量計算可知： abbabaabba,并考慮到連續性方程，則(7-30)式可改寫成為： 0)(Vk或 0zV (7-31) 顯然，對于z分量也有 0zw對于在平坦底邊界上，有邊界條件:0 z處， 0w(7-32) 因此，由上述兩式可知，在任何高度上恒有 0w 于是式(7-31)可改寫為： 00wzvzu(7-33) 這表明在滿足前述

7、條件下，流動是水平和二維的。這個結論首先由普魯德曼(1916)和泰勒(1917)所證明。 普魯德曼-泰勒定理：不可壓縮或正壓流體，在有勢力作用下的準定常緩慢運動，由于強旋轉效應，其速度將與垂直坐標無關，即流體趨于二維化。該定理還可以從渦度方程證得，此處省略。 第7-4 泰勒流體柱 為了了解什么是泰勒流體柱,應用一個實驗來說明，實驗條件是：有一容器其底為平面并與轉動軸z相垂直，整個容器內盛滿流體均繞z軸以角速度旋轉。在容器平底上有一小截或一小直徑為L的固體柱，它在旋轉流體中以固定相對速度U朝著轉軸橫向移動。具有如圖7.2所示。 圖7.2 旋轉容器中向中心軸移動固體上的泰勒液體 圖7.4 進行泰勒

8、柱實驗時的裝置示意圖 以S表示固體柱的側面積，該園柱體側面在流體中的延伸柱面的面積為Se表示。這樣，容器底部一小截固體園柱體，以及上延伸著一個由Se曲面所圍的流體柱。并稱S+Se曲面之外的流動為外流，Se之內的流動為內流。當整體的旋轉速度增加到使羅斯貝數變得足夠地小，則就滿足普魯德曼-泰勒定理所要求的條件，于是容器內的流動滿足(7-33)式為水平和二維的。由于固體柱側面上的流速應滿足剛壁條件而等于U，因此按定理結論或(7-33)式，流體園柱體的Se曲面上的流體也以同樣速度U移動。而且流體園柱體外也出現跟底部固體園柱體完全相同的繞園柱運動。 圖7.3 對泰勒液柱實驗所攝取的照片 園柱體以上的流體跟著園柱體一起移動，而流體柱以外的流體