1、極值點偏移問題一：極值點偏移（俗稱峰谷偏）問題的定義沈陽市第十一中學數學組：趙擁權對于可導函數在區間（a,b）上只有一個極大（小）值點 , 方程(f(x)=m)的解分別為且< <b.則稱函數 f(x)在區間（a,b）上極值點 偏移；（1）（2）則稱函數 f(x)在區間（a,b）上極值點則稱函數 f(x)在區間（a,b）上極值點偏移；偏移；二：極值點偏移的判定定理對于可導函數在區間（a,b）上只有一個極大（小）值點 ,方程的解分別為且< <b.（1） 若峰偏右）（2） 若偏左）（3） 若偏左）（4） 若偏右）則則則則即函數 f(x)在區間（a,b）上極大值點 右偏；（即即

2、函數 f(x)在區間上（a,b）極小值點 左偏;（即谷即函數 f(x)在區間上（a,b）極大值點 左偏;（即峰即函數 f(x)在區間上（a,b）極小值點 右偏;（即谷x=x=y=f(x)y=mxx= x=拓展：1） 若f ( a +x ) = f (b -x )， 則f ( x )的 圖 象 關 于 直 線x =a +b2對 稱 ； 特 別 地 ， 若f ( a +x ) = f ( a -x )2） 若函數 f(x)滿足（或 f(x)=f(2a-x)），則有下列之一成立：f ( x )的圖象關于直線 x =a 對稱f(x)在遞增，在(a,2a)遞減,且 f(a-x)<（>）f(a

3、+x)(f(x)<(>)f(2a-x)f(x)在(0,a)遞減,在(a,2a)遞增,且 f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)則函數 f(x)在(0,2a)的圖象關于直線 x=a 偏移(偏對稱)(俗稱峰谷偏函數)其中 極大值左 偏（或右偏）也稱峰偏左（或右）極小值偏左（或偏右）也稱谷偏左（或右）；性質：1)f ( x )的 圖 象 關 于 直 線x =a對 稱 若則<=> ,( =0, );2)已知函數是滿足條件的極大值左偏（峰偏左）若,及極值點偏移解題步驟：求函數 f(x)的極值點 ；則則 構 造 函 數 F(x)=f

4、(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+ )-f( ,F(x)=f(x)-f()確定 F(x)單調性1 22結合 F(0)=0（F(- )=0,F(判斷 F(x)符號從而確定 f(x+ ),f( ( f(x+ )與 f(f(x)與 f(答題模式：的大小關系;已知函數 y=f(x)滿足1 求函數 f(x)的極值點 ；2 構造函數 F(x)=f(x+ )-f(, 為函數 y=f(x)的極值點,求證：確定 F(x)單調性判斷 F(x)符號從而確定 f(x+ ),f(的大小關系;假設 F(x)在(0,+ 單調遞增則 F(x)>F(0)=0，從而得到 x>0 時 f

5、(x+ )>f(1.（2016 年全國 I 高考）已知函數的兩個零點，證明： +x <2.2. (2010 年高考天津卷理科 21)（本小題滿分 14 分）有兩個零點. 設 x ，x 是已知函數 f(x)=xe-x（xÎR）.() 求函數 f(x)的單調區間和極值；()已知函數 y=g(x)的圖象與函數 y=f(x)的圖象關于直線 x=1 對稱，證明當 x>1 時， f(x)>g(x)()如果x ¹x ,1 2且f ( x ) = f ( x ), 1 2證明x +x >2 1 2證明：由題意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x

6、)ex -2令 F(x)=f(x)-g(x),即F ( x ) =xe-x+( x -2)ex -2于是F '( x ) =( x -1)(e2 x -2-1)e-x當 x>1 時，2x-2>0,從而e2x-2-1 >0, 又e -x >0, 所以F(x)>0,從而函數 F（x）在1,+)是增函數。又 F(1)=e-1 -e-1=0，所以x>1時，有F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).00)證明：（1）若( x -1)(x -1) =0,由（I）及f(x ) =f(x ), 則x =x =1.與x ¹x 矛盾。 1

7、2 1 2 1 2 1 2（2）若( x -1)(x -1) >0,由（I）及f(x ) =f(x ), 得x =x .與x ¹x 矛盾。 1 2 1 2 1 2 1 2根據（1）（2）得( x -1)(x -1) <0, 不妨設x <1, x >1. 1 2 1 2由（）可知，f(x )2>g(x )2, 則g(x )2=f(2-x )2，所以f(x )2>f(2-x )2, 從而f(x ) > f(2-x ) .因為 x >1 ，所以 2 -x <11 2 2 2，又由（）可知函數 f(x)在區間（-，1）內事增函數，所以 x

8、 > 2 -x ,即 x +x1 2 1 2>2.3. 已知函數 f ( x ) =ln x -ax2+(2 -a ) x （I）討論 f ( x ) 的單調性；（II）設 a >0 ，證明：當 0 <x <1 1 1時， f ( +x ) > f ( -x) ； a a a（III）若函數 y = f ( x) 的圖像與 x 軸交于 A，B 兩點，線段 AB 中點的橫坐標為 x ，證明： f ¢（x ）0解：（I） f ( x )的定義域為 (0, +¥), f¢(x) =1 (2 x +1)(ax -1) -2 ax +(2

9、 -a ) =-x x.（i）若 a £0, 則 f¢(x) >0, 所以 f ( x )在(0, +¥)單調增加.（ii）若a >0, 則由f1¢(x) =0得x = ,a且當1 1 x Î(0, )時, f ¢(x) >0, 當x > 時, fa a¢(x) <0.所以1 1f ( x)在(0, ) 單調增加，在 ( , +¥)a a單調減少.（II）設函數g ( x) = f (1 1+x ) - f ( -x ), a a則g ( x) =ln(1 +ax) -ln(1-ax

10、) -2 ax ,a a 2 a 3 x 2g ¢(x) = + -2 a = . 1 +ax 1 -ax 1 -a 2 x 2當0 <x <1a時, g ¢(x) >0, 而g (0) =0, 所以g ( x) >0.故當0 <x <1 1 1時 ， f ( +x ) > f ( -x ). a a a8 分（III）由（I）可得，當a £0時, 函數 y = f ( x )的圖像與 x 軸至多有一個交點，故a >0，從而f ( x )的最大值為1 1f ( ), 且f ( ) >0. a a111210不妨

11、設A( x ,0), B ( x ,0),0 <x <x , 則0 <x < 1 2 1 2 11a<x .2由（II）得f (2 1 1-x ) = f ( + -x ) > f ( x ) =0. a a a從而2 x +x 1 x > -x , 于是x = 1 2 > .a 2 a由（I）知，f ¢(x ) <0. 04 已 知 函 數(m若 f(x) 有 兩 個 極 值 點且求證:5. 已知函數= (a若 f(x) 有兩個不同零點且其極值點為 求證 :23（已知函數=(a，其圖象與軸交于 A( )B( )兩點且求證：6.

12、已知函數）= (a若 f(x)有兩個不同零點且求證：7. 已 知 函 數=(a若 f(x) 有 兩 個 不 同 零 點且求 證 ：8. 已知函數-1= f(求證:9已知函數= (a若 f(x)有兩個不同零點且求證：10. 已知函數=f(求證:11. 已 知 函 數=(a若 f(x) 有 兩 個 不 同 零 點且求 證 ：12. 已知函數= (a若 f(x)=c 有兩個不同根求證：13. 已知函數令= (ag(x)在(0,3)單調遞增求 a 范圍;滿足證明當 a=2 時,函數 h(x)=f(x)-mx 的圖象與軸交于 A( 數,(k14已知函數若;若對都有 f(x)求 k 范圍;若證明：且 f(

13、;15. 已知函數(aB(且又是 h(x)導函12 f(x)的極值點為 若存在16. 已知函數且(a );求證: ;11 若 f(x)存在兩個極值點 ，證明： ;17. 已知函數與 g(x)=3-在(1,1)處有相同切線；若 y=2(x+n) 與 y=f(x)圖象有兩個交點,求 n 范圍；若18. 已知函數兩個極值點 ，(a證明： ；若 f(x)=g(x)+(a+1)19. 已知函數有兩個不同零點 , 證明： ;,(a ;若 f(x)=lng(x)-a 與 y=m,(m;圖象有兩個交點 A 、B,線段 A 、B 中點為證明：20. 已知函數1 求 a 值；2 令 g(x)=若存在圖象的一條切線為 x 軸；滿足證明:21. 已知函數 F(x)與 f(x)=lnx關于直線 y=x 對稱；若 xf(x)對恒成立,求 a 最大值；設 f(x)(1, )上存在在 (1, )的實根求證：，若在區間22已知函數, (a；1 若函數 f(x)的圖象在 x=0 處的切線方程為 y=2x+b,求 a,b 的值2 若函數 f(x)在 R 上單調遞增