1、長方體和正方體（一）、知識要點在數學競賽中，有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜的立體圖形問題要注意幾點：1. 必須以基本概念和方法為基礎，同時把構成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2. 依賴已經積累的空間觀念，觀察經過割、補后物體的表面積或體積所發生的變化；3. 求一些不規則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。二、精講精練【例題 1】 一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）練習 1： 1. 一個長 5厘米，寬1 厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后（如圖），剩卜部分的表面積和體積各是多少？2. 把一根長2 米的長方體木料鋸成1 米長

2、的兩段，表面積增加了2 平方分米，求這根木料原來的體積。3. 有一個長8 厘米，寬1 厘米，高3 厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？【例題2】有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）練習2： 1. 有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）2. 有一個棱長是4 厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1 厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3. 如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是多少？【例題3】

3、一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積50 平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？練習 3： 1. 把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個長方體的表面積的和減少了46 平方厘米，而長是原來長方體的2 倍。如果拼成的長方體的長是24 厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2. 一根長 80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3. 把 4 塊棱長都是2 分米的正方體粘成一個長方體，它們的表面積最多會減少多少平方分米？3. 一個長方體和一個正方體的棱長之長相等，已知長方體

4、長、寬、高分別是6 分米、【例題4】把 11 塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288 立方厘米，求大長方體的表面積。【思路導航】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、 b、 h 分別表示小長方體的長、寬、高，顯然， a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a ,磚的體積是 a*2/3a*1/4a=1/6a3 。由 1/6a3=288 可知， a=2/3*12=8,h=1/4*12=3 。大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，高是8+3=11厘米，表面積就不難求了。練習4： 1. 一塊小正方體的表面積是6 平方厘米，那么，由1000 個這樣的

5、小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2. 一個長方體的體積是385 立方厘米，且長、寬、高都是質數，求這個長方體的表面積。有 24 個正方體，每個正方體的體積都是1 立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長方體？【例題5】 一個長方體，前面和上面的面積之和是209 平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為為單位的數都是質數。這個長方體的體積和表面積各是多少？【思路導航】長方體的前面和上面的面積是長X寬+長X高 =<x (寬+高)，由于此 長方體的長、寬、高用厘米為單位的數都是質數，所以有 209=11 X 19=11 X (17 + 2),即 長、寬、高分別為11、 17、

6、2 厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。練習5： 1. 有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88 平方厘米，且長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少？2. 一個長方體的長、寬、高是三個連續偶數，體積是96 立方厘米，求它的表面積。4 分米、 25分米，求正方體體積。長方體和正方體（二）一、知識要點在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領一部分的體積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：1. 將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；2. 兩個物體熔化成

7、一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；3. 物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題1】 有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長 40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25 厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現在水面高多少厘米？【思路導航】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲水箱中的體積：40x 32X20=25600 （立方厘米），再除以兩只水箱 的底面積和：4

8、0X32+30X 24=2000 （平方厘米），就能得到后來水面的高度。練習 1 ：1. 有兩個水池，甲水池長8 分米、寬6 分米、水深3 分米，乙水池空著，它長6 分米、寬和高都是4分米。現在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？2. 有一個長方體水箱，從面量長40 厘米、寬30 厘米、深35 厘米，箱中水面高10厘米。 放進一個棱長20 厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？3. 一段鋼材長15 分米，橫截面面積是平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是平方分米的鋼筋，求這根據鋼筋的長。【例題2】 將表面積分別為54 平方厘米、96 平方

9、厘米和150 平方厘米的三個鐵質正方體熔成一個大正方體(不計損耗)，求這個大正方體的體積。【思路導航】因為正方體的六個面都相等，而 54=6X 9=6X (3X 3),所以這個正方體 的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6X (4X4),棱長是4厘米;150=6X (5X5),棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積，這個大正方體 的體積就等于它們的體積和。練習2：1. 有三個正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現將三塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。2. 將表面積分別為216 平方厘米和384 平方厘米的兩個正方體鐵

10、塊熔成一個長方體，13 厘米，寬7 厘米，求它的高。3. 把 8 塊邊長是1 分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體，這個大正方體的表面積是多少平方分米？【例題3】 有一個長方體容器，從里面量長5 分米、寬4 分米、高6 分米，里面注有水，水深3 分米。如果把一塊邊長2 分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導航】鐵塊的體積是2X2X2=8 (立方分米)，把它浸入水中后，它就占了 8立 方分米的空間，因此，水上升的體積也就是 8立方分米，用這個體積除以底面積(5X4) 就能得到水上升的高度了。練習3：1. 有一個小金魚缸，長4分米、寬3 分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升

11、分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？2. 有一個正方體容器，邊長是24 厘米，里面注滿了水。有一根長50 厘米，橫截面是12 平方厘米的長方形的鐵棒，現將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？3. 有一塊邊長是5 厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后，水面下降了厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？【例題4】 有一個長方體容器（如下圖），長 30 厘米、寬20 厘米、高10 厘米，里面的水深 6 厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應該是多少厘米？【思路導航】首先求出水的體積：30X 20X6=3600 （立方厘米）。當容器豎起來以后， 水流動

12、了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個底面積是 20X 10=200平方厘米的長方體。 只要用體積除以底面積就知道現在水的深度了。練習4：1. 有兩個長方體水缸，甲缸長 3 分米， 寬和高都是2 分米； 乙缸長 4 分米、 寬 2 分米，里面的水深分米。現把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？2. 有一塊邊長2 分米的正方體鐵塊，現把它煅造成一根長方體，這長方體的截面是一個長 4 厘米、寬2 厘米的長方形，求它的長。3. 像例題中所說，如果讓長30厘米、 寬 10厘米的面朝下，這時的水深又是多少厘米？【例題5】 長方體不同的三個面的面積分別為10 平方厘米、15 平方厘米和6 平方厘米。這個

13、長方體的體積是多少立方厘米？【思路導航】長方體不同的三個面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因 此，15X10X6=（長X寬x高）x （長x寬x高）,而 15X10X6=900=30X 30。所以，這 個長方體的體積是30 立方厘米。練習5：1. 一個長方體，不同的三個面的面積分別是25 平方厘米、18 平方厘米和8 平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？2. 一個長方體，不同的三個面的面積分別是35 平方厘米、21 平方厘米和15平方厘米，且長、寬、高都是質數，這個長方體的體積是多少立方厘米？3. 一個長方體的體積是48 立方厘米，并且長、寬、高是三個連續的偶數。這個長方體的表面

14、積是多少平方厘米？長方體和正方體（ 三 ）一、知識要點解答有關長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。二、精講精練【例題 1】 一個棱長為6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2 厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？【思路導航】把棱長為6 厘米的正方體鋸成棱長為2 厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36X2X6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后

15、表面積增加432 平方厘米。練習1：1. 把 27塊棱長是1 厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2. 有一個棱長是1 米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8 個小正方體，表面積增加多少平方米？3. 把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4 個同樣的小長方體，沒有涂顏色的面積是60 平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】 有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24 平方厘米，這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？【思路導航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24

16、 + 2=12平方厘米，而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是 12X6=72平方厘米。練習 2：1. 把三個棱長都是2 厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？2. 有一個正方體木塊，長4 分米、寬3 分米、高6 分米，現在把它鋸成兩個長方體，表面積最多增加多少平方分米？3. 有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是8 厘米、寬4 厘米、高2 厘米，現把三塊積木拱成一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？【例題3】 有一個正方體，棱長是3 分米。如果按下圖把它切成棱長是1 分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中，每切一切

17、，就會增加兩個 3X3平方分米的面，你能用這種 思路來計算所求問題嗎？練習3：1. 用棱長是1 厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6 厘米的正方體，需要多少個小正方體？2. 有一個長方體，長10 厘米、寬6 厘米、高4 厘米，如果把它鋸成棱長是1 厘米的小正方體，一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？3. 把 24 個棱長是1 厘米的小正方體擺成一個長方體，這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？【例題4】 一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：（ 1）三個面涂有紅色的有幾個？（ 2）二個面涂有紅色的有幾個？（ 3）

18、一個面涂有紅色的有幾個？（ 4）六個面都沒有涂色的有幾個？【思路導航】 按題中的要求切，切成的小正方體一共有 3X3X3=27個。（ 1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8 個；（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有 1X12=12個；（3） 一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有 1X6=6個；（ 4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27（8 12 6） =1 個。練習4：1. 把一個棱長是5 厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1 立方厘米的小正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？

19、2. 把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24 個，那么，這些小正方體一共有多少個？3. 把 1 立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1 立方分米的小正方體，在這 些小正方體中，六個面都沒有涂色的有多少個？【例題5】 一個長方體的長、寬、高分別是6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三個體積相等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導航】 這個長方體原來的表面積是(6X5 + 6X4+5X4) X 2=148平方厘米， 每切割一刀，增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切 2刀，一共增