1、必修5一元二次不等式及其解法【知識(shí)導(dǎo)圖】【目標(biāo)導(dǎo)航】1.了解一元二次不等式的概念；2掌握一元二次不等式的解集，會(huì)解一元二次不等式；3會(huì)解能化為一元二次不等式的分式不等式；4理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系.5.會(huì)求解方程根的存在性問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題；6會(huì)解含參數(shù)的一元二次不等式.【重難點(diǎn)精講】重點(diǎn)一、一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式(2)形式：ax2bxc>0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc<0(a0)；ax2bxc0(a0)重點(diǎn)二、一元二次不等式的解集的概念及三個(gè)

2、“二次”之間的關(guān)系(1)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.(2)關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc>0(a0)或ax2bxc<0(a0)的解集；若二次函數(shù)為f(x)ax2bxc(a0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負(fù)值時(shí)自變量x的取值的集合(3)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系：設(shè)f(x)ax2bxc(a>0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式b24ac>00<0解不等式f(

3、x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)0的解有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)解畫函數(shù)yf(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0x|x<x1或x>x2x|xRf(x)<0x|x1<x<x2重點(diǎn)三、分式不等式的解法>0與(x1)(x3)>0等價(jià)嗎？0與(2x1)(x2)0等價(jià)嗎？定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法解分式不等式>0f(x)g(x)>0，<0f(x)·g(x)<0.0f(x)·g(x)&g

4、t;0或.0f(x)·g(x)<0或重點(diǎn)四、簡(jiǎn)單的高次不等式的解法(1)由函數(shù)與方程的關(guān)系可知y(x1)(x1)(x2)與x軸相交于(1,0)，(1,0)，(2,0)三點(diǎn)，試考慮當(dāng)x>2,1<x<2，x<1不同情形下，y值的符號(hào)變化情況(2)考查函數(shù)y(x1)2(x3)，當(dāng)x<3，3<x<1，x>1時(shí)，y的取值正負(fù)情形你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？高次不等式：不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上

5、，自上而下，從右向左依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過(guò)，奇次方根穿過(guò))；觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集【典題精練】考點(diǎn)1、一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集.（1）； （2）；（3）； （4）. 【解析】（1）因?yàn)椋栽坏仁降葍r(jià)于，解得，所以原不等式的解集為.（2）原不等式可化為,配方得 ,又,所以,解得，.所以原不等式的解集為.（3）原不等式可化為，因?yàn)楹愠闪ⅲ栽坏仁降慕饧癁?（4）原不等式可化為，因?yàn)楹愠闪ⅲ栽坏仁綗o(wú)解，即原不等式的解集為.考點(diǎn)點(diǎn)睛：解一元二次不等式的一般步驟：第一步，將一元二次不等式化為一端為0的形式

6、(習(xí)慣上二次項(xiàng)系數(shù)大于0)第二步，求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒(méi)有實(shí)根第三步，畫出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標(biāo)在圖中第四步，觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對(duì)比不等式中不等號(hào)的方向，寫出解集考點(diǎn)2、“三個(gè)二次”關(guān)系的應(yīng)用例2已知不等式的解集為或.（1）求；（2）解關(guān)于的不等式 【解析】（1）因?yàn)椴坏仁絘x23x+64的解集為x|x1，或xb，所以1和b是方程ax23x+20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b1；由根與系數(shù)的關(guān)系，得a1，b2；（2）所求不等式ax2（ac+b）x+bc0化為x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0；當(dāng)c2時(shí)，不等式（x2）（xc）0的解集為x|2x

7、c；當(dāng)c2時(shí)，不等式（x2）（xc）0的解集為x|cx2；當(dāng)c2時(shí)，不等式（x2）（xc）0的解集為1.一元二次不等式ax2bxc>0(a0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2注意靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題考點(diǎn)3、一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例3【2020屆上海市崇明區(qū)高三第一次高考模擬】某輛汽車以公里/小時(shí)速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求)時(shí),每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為升. (1)欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)升,求的取值范圍;(2)求該汽車行駛公里的油耗關(guān)于汽車行駛速度的函數(shù),并求的最小值.【解析】（1）

8、由題意,令,化簡(jiǎn)得,解得;又因?yàn)?所以欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)升,的取值范圍是;（2）設(shè)該汽車行駛公里的油耗為;則=,(其中);由,知,所以=時(shí),汽車行駛公里的油耗取得最小值為升.考點(diǎn)4、含參數(shù)的一元二次不等式的解法例4【廣西賀州市2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末】解關(guān)于的不等式.【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，所以原不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，判別式.（1）當(dāng)時(shí)，判別式，原不等式可化為，即，所以原不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，此時(shí)，所以原不等式的解集為.（3）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，此時(shí)，所以原不等式的解集為.（4）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，此時(shí)，所以原不等式的解集為.綜上，a0時(shí)，不等式

9、的解集是（，1）；a0時(shí)，不等式的解集是（，1）；時(shí)，不等式的解集為.時(shí)，不等式的解集是（，1）（，+）；a1時(shí)，不等式的解集是（， ）（1，+）考點(diǎn)點(diǎn)睛：解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于0與小于0進(jìn)行討論；(2)若求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，需對(duì)判別式進(jìn)行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論考點(diǎn)5、分式不等式的解法例5解關(guān)于的不等式 【解析】原不等式等價(jià)于(1)當(dāng)時(shí)，解集為(2)當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，因?yàn)椋越饧癁?3)當(dāng)時(shí)，解集為(4)當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即，解集為(5)當(dāng)時(shí)，解集為綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)

10、，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為考點(diǎn)點(diǎn)睛：1.對(duì)于不等號(hào)一端為0的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零2對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)、通分(一般不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解考點(diǎn)6、簡(jiǎn)單高次不等式解法例6【上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2016-2017年高一上學(xué)期第一次月考】關(guān)于的不等式的解集為_(kāi). 【解析】原不等式等價(jià)于，如下圖所示：由高次不等式“奇穿偶不穿”的原則可知，原不等式的解集為.故答案為：.穿根法求高次不等式的解集：(1)求解過(guò)程概括為：(注意端點(diǎn)值能否取到)(2)“化正”指不等式中未知數(shù)最高項(xiàng)的

11、系數(shù)為正值(3)奇(奇次根)過(guò)，偶(偶次根)返回考點(diǎn)7、不等式恒成立問(wèn)題例7已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】當(dāng)，或.若，則函數(shù)化為，對(duì)任意實(shí)數(shù)不可能恒大于0.若，則恒成立.當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意有綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為考點(diǎn)點(diǎn)睛：1一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)ax2bxc>0(a0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足；(3)ax2bxc<0(a0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足.2含參數(shù)的一元二次不等式恒成立若能夠分離參數(shù)成k<f

12、(x)或k>f(x)形式則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立k<m，kf(x)恒成立km.(2)k>f(x)恒成立k>M，kf(x)恒成立kM.課后訓(xùn)練1（2019年興慶區(qū)校級(jí)月考）不等式6x2x20的解集為_(kāi) 因?yàn)?x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集為.2（2019年北京模擬）設(shè)a<1，則關(guān)于x的不等式a(xa)<0的解集為_(kāi) 因?yàn)閍<1，所以a(xa)·<0(xa)·>0.又a<1，所以>a，所以x>或x<a.3（2019

13、年合肥期中）已知關(guān)于x的不等式ax2bxc<0的解集是，則ax2bxc>0的解集為_(kāi) 由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個(gè)根且a<0，故解得ac，bc.所以不等式ax2bxc>0即為2x25x2<0，解得<x<2，即不等式ax2bxc>0的解集為.4.若集合Ax|12x13，B，則AB等于()Ax|1x<0Bx|0<x1Cx|0x<2 Dx|0x1【答案】BAx|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x15若集合Ax|ax2ax1<0，則實(shí)數(shù)a的取值集合是() Aa|0<a<4 Ba|0a<4Ca|0<a4 Da|0a4【答案】Da0時(shí)符合題意a>0時(shí)，相應(yīng)二次方程中的a24a0，得a|0<a4，綜上，得a|0