1、Liaoning Normal University（2011屆）本科生畢業(yè)論文(設(shè)計)題 目：微分中值定理的應(yīng)用研究學(xué) 院：數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級序號：09數(shù)學(xué)23號 學(xué) 號：20091122060020學(xué)生姓名：李石 指導(dǎo)教師：李勁松 2011年5月目 錄摘 要1Abstract（Key words）1前 言21微分中值定理及其證明31.1羅爾定理31.2拉格朗日中值定理31.3柯西中值定理41.4泰勒公式41.5常用微分中值定理及內(nèi)在聯(lián)系52 微分中值定理的應(yīng)用52.1證明方程根的存在性52.2證明不等式62.3討論函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)的單調(diào)性求極值72.4求極限82.

2、5泰勒公式82.6求近似值92.7用來證明函數(shù)恒為常數(shù)92.8中值點存在性的應(yīng)用102.8.1一個中值點的情形102.8.2 兩個中值點的情形142.8.3 含中值點的積分等式的證明143小結(jié)16參考文獻17致 謝18i微分中值定理的應(yīng)用研究微分中值定理的應(yīng)用研究摘 要：微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理, 它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁. 本文以案例形式介紹了微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，論述了微分中值定理在求極限、證明不等式以及確定根的存在性等幾個方面的應(yīng)用,以加深對微分中值定理的理解。關(guān)鍵詞：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式Abstract（Key words）：T

3、he mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value the

4、orem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula 前 言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，是研究函數(shù)在某個區(qū)間的整體性質(zhì)

5、的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。通過查閱大量資料文獻和網(wǎng)上查閱，我找到了很多相關(guān)資料。本文以案例形式介紹了微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，論述了微分中值定理在求極限、證明不等式以及泰勒公式和中值點存在性等幾個方面的應(yīng)用研究比較細(xì)致和深入。其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，也是在歷年考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一。利用中值定理證明中值點的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路。充分理解微分學(xué)的相關(guān)知識，掌握微分中值定理的內(nèi)容，并會熟練的應(yīng)用。使用微分中值定理證題，方法多種多樣，技巧性強。本文對這一部分的

6、典型例題進行整理歸納總結(jié)，總結(jié)出一套符合初學(xué)者認(rèn)知規(guī)律的解題方法是非常必要的，這也是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。1微分中值定理及其證明為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運算來研究函數(shù)與實際問題，需要一個聯(lián)系局部與整體的工具，這就是微分中值定理.微分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分, 微分中值定理作為微分學(xué)的核心, 是溝通導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值之間的橋梁.羅爾中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分學(xué)的基本定理, 統(tǒng)稱為微分學(xué)的中值定理, 這四個定理作為微分學(xué)的基本定理, 是研究函數(shù)形態(tài)的有力工具.1.1羅爾定理若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（）,則在內(nèi)至少存在一點使得羅爾定理的

7、幾何意義是說：在每一點可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條切線.證明：因為在上連續(xù)，所以有最大值與表示，現(xiàn)分兩種情況來討論：（1）若,則在上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立.（2）若,則因使得最大值與最小值至少有一個在內(nèi)某點處取得，從而是的極值點，由條件在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在點處可導(dǎo)，故由費馬定理推知注：定理中的三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立.先講羅爾定理,并由此推出微分學(xué)的兩個基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.1.2拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點使得 （1） 顯然，特別當(dāng)時為羅爾定理。這表明羅爾定理

8、是拉格朗日的定理的一個特殊情形.證明：做輔助函數(shù)顯然，(=0),且在上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在使，移項既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線,我們在證明中引入輔助函數(shù)，正是曲線與直線.1.3柯西中值定理設(shè)函數(shù)滿足：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（）不同時為零；（）則存在，使得證明：作輔助函數(shù).易見在上滿足羅爾定理條件，故存在，使得因為（否則由上式也為零），所以可把上式改成。注:若有=0，則若則.當(dāng)函數(shù)在這表明在的附近可用一次多項式逼近，現(xiàn)在，我們希望用更高多項式逼近，因為多項式在運

9、算上最方便，且具有很好的性質(zhì).泰勒（1685-1731,英國數(shù)學(xué)家）最早考慮了這個問題.隨著定理的不斷深入，應(yīng)該說泰勒公式才達到了中值定理的最后階段.1.4泰勒公式若在上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上階導(dǎo)數(shù)存在，則其中注意:當(dāng)令:1.5常用微分中值定理及內(nèi)在聯(lián)系中值定理條 件結(jié) 論羅爾中值定理在閉區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)則，使得 柯西中值定理則，使得 則，使得 拉格朗日中值定理，在閉區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，0，則，使得泰勒公式在上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上階導(dǎo)數(shù)關(guān)系柯西和泰勒都是拉格朗日的推廣，拉格朗日是羅爾的推廣 表1-12 微分中值定理的應(yīng)用2.1證明方程根的存在性把要證明的方程轉(zhuǎn)化為的形式.對方程用下述方法：

10、（1） 根的存在定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，.（2） 若函數(shù)的原函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件，則在內(nèi)至少有一個零值點.（3） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)也存在，由費馬定理知即.（4） 若在區(qū)間上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則在內(nèi)至多有一個零值點.若函數(shù)在兩端點的函數(shù)（或極限）值同號，則無零值點，若函數(shù)在兩端點的函數(shù)（或極限）值異號，則有一個零值點.（5） 用泰勒公式證明根的存在性.（6） 反證法.（7） 在證明方程根的存在性的過程中，經(jīng)常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程的存在性所需的條件，然后利用上的方法來證明方程根的存在性.例1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：

11、在內(nèi)方程至少存在一個根. 證明：令顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且根據(jù)羅爾定理，至少存在一個，使至少存在一個根.2.2證明不等式不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和工具。在微分學(xué)中,微分中值定理在證明不等式中起著很大的作用.(1) 拉格朗日定理適用于已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的條件，證明涉及函數(shù)（值）的不等式(2) 泰勒公式適用于已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的條件，證明涉及函數(shù)（值）或低階導(dǎo)函數(shù)（值）的不等式.例2 求證分析：根據(jù)不等式兩邊的代數(shù)式選取不同的,應(yīng)用拉格朗日中值定理得出一個等式后,對這個等式根據(jù)取值范圍的不同進行討論,得到不等式.證明：當(dāng)時，顯然設(shè)對在以1與為端點的閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理，有介于1與之間的，使,即

12、當(dāng)時，但此時注意與均為負(fù)值，所以仍有，即對不等式恒成立.當(dāng)時，所以有.注：學(xué)會把隱藏的條件找出來，即，然后就可以利用定理，這個結(jié)果以后可以作為結(jié)論用.例3 證明當(dāng)時，證法一 分析：要證成立，只要證 成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，證明：設(shè) 由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且，知在上嚴(yán)格遞減，由，即成立，知成立，即成立，所以成立.證法二 證明：要證，只要證 成立 (1)設(shè) ，由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且于是，即 故原式成立.注：證明某些不等式時，可轉(zhuǎn)化為區(qū)間兩端點函數(shù)值大小的比較或化為右邊為0的不等式，轉(zhuǎn)化為區(qū)間內(nèi)任意一點函數(shù)值與端點函數(shù)值或與趨于端點極限值的比較，然后利用單調(diào)性證明.能用單調(diào)性定理

13、證明的不等式，都可用拉格朗日中值定理證明，因為單調(diào)性定理就是拉格朗日中值定理證明的.相同的一道題可以有多種解法.2.3討論函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)的單調(diào)性求極值利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性, 其方法是:若函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 則有:如果在 內(nèi),則在上單調(diào)增加;如果在 內(nèi), 則 在上單調(diào)減少. 另外, 在內(nèi)除有個別點外,仍有 (或) ,則在上仍然是單調(diào)增加(或減少) 的,即連續(xù)函數(shù)在個別點處無導(dǎo)數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性.再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖像上峰值點與各值點的性質(zhì), 便可以很方便地求出函數(shù)的極值。其方法為:確定函數(shù)的定義域,并求出 ,然后求出定義域內(nèi)的所有駐點,并

14、找出 連續(xù)但不存在的所有點,討論所有駐點和不可導(dǎo)點左右兩側(cè)附近 的符號變化情況,從而確定函數(shù)的極值點,并求出相應(yīng)的極大值或極小值.例4 求證時,證明：令因為在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且=當(dāng)時, 所以當(dāng)時,是單調(diào)增加的.故當(dāng) 時,即,從而例5 求的極值.解：函數(shù)的定義域為.而,令,即,解得駐點,且該函數(shù)在定義域內(nèi)沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點.而當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,是函數(shù)的極小值點, 其極小值為.利用函數(shù)的單調(diào)性可證明某些不等式注：在求極值時，若極值的懷疑有導(dǎo)數(shù)不存在的點時，只能用列表法.2.4求極限對于有些求極限的題， 如果使用洛必達法則,則求導(dǎo)數(shù)的計算量很大.微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡

15、單而有效的方法.其方法是對極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù),使用微分中值定理,然后求出極.例6 求,其中.解：對應(yīng)用拉格朗日中值定理,有= 其中2.5泰勒公式泰勒公式事實上就是含有高階導(dǎo)數(shù)的微分中值定理. 它不僅在理論分析中具有很重要的作用,下面的例子說明它的應(yīng)用.例7 求在處的泰勒公式.解 由于=，因此 +2.6求近似值微分中值定理為我們提供了一種計算近似值的方法,只要構(gòu)造出一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),應(yīng)用微分中值定理就可以得出其近似值.例8 求的近似值.解：是函數(shù)在處的值.令,即.由微分中值定理得=.2.7用來證明函數(shù)恒為常數(shù)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 但用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的著眼點在局部范圍. 而在

16、整體上或比較大的范圍運用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)性態(tài), 主要工具還是微分中值定理,它是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究整體性問題的重要工具. 證明函數(shù)恒為常數(shù)這是函數(shù)的整體性質(zhì),在這個應(yīng)用中微分中值定理很實用.例9 設(shè)在上連續(xù), ,且在內(nèi)恒有. 其中為小于1 的常數(shù),試證:為常數(shù)函數(shù).證明：,不妨設(shè),則,而,所以有=, 其中.同理 , , 其中所以 ,其中.又在上連續(xù), 從而有界. 故.即(當(dāng)時同樣成立) , 從而, ， .故在上為常數(shù)函數(shù).2.8中值點存在性的應(yīng)用2.8.1一個中值點的情形2.8.1.1原函數(shù)法在利用微分中值定理證明中值點的存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)所證明的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要

17、的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同.（1）直接法這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項的特點直接得到輔助函數(shù).例10 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論等號左側(cè)顯然是函數(shù)在區(qū)間兩端點函數(shù)值的差與區(qū)間長度之商,于是聯(lián)想到對函數(shù)使用拉格朗日中值定理.證明：令，顯然在上滿足拉格朗日中值定理條件.于是知：在內(nèi)至少存在一點，使 得，而，即得結(jié)論 .例11 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在，使得.分析：將結(jié)論變形為，等式左端的形式很容易聯(lián)想到柯西中值定理，輔助函數(shù)顯然可取為.證明：令，易知，在上滿足柯西中值定理的條件，于是可得存在，使

18、，即 ，亦即.（2） 積分法這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的換成，通過恒等變形將結(jié)論化成的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過觀察得到）求得原函數(shù)，積分常數(shù)取為0. 例12 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.證明：至少存在一點，使.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有根，而 ，即證明函數(shù)在內(nèi)有零點.因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故可考慮利用羅爾定理.通過觀察易發(fā)現(xiàn)，于是輔助函數(shù)可取為.證明：令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知至少存在一點，使，而，故，即.注：例10，例11也可使用這種方法證明.例13設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使.分析

19、：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點，因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故考慮利用羅爾定理，而此函數(shù)的原函數(shù)通過觀察可能感到有點困難.將變形為 ，即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點.而，顯然與的導(dǎo)數(shù)有相同的零點，于是可取原函數(shù)為.證明：令,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知至少存在一點，使，而，故，又，于是.當(dāng)所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)時通常可考慮兩次使用中值定理證明.例14 設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且,，證明:在內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點，可考慮對函數(shù)使用羅爾定理,關(guān)鍵是要找到使得函數(shù)值相等的兩個點.而，易知，而由題設(shè)知顯然在上滿足羅爾定理條件，故必存在點,使得，在上對函數(shù)使用羅爾定理即

20、得結(jié)論.證明：顯然在上滿足羅爾定理的條件，故存在點,使得.因為，由條件易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知在內(nèi)至少存在一點，使.例15 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，.試證：（1）在內(nèi)；（2）至少存在一點，使.分析:（1）類似，或多用反證法證明.（2）仍可考慮使用羅爾定理，關(guān)鍵是尋找輔助函數(shù)，結(jié)論可變形為，即證函數(shù)在內(nèi)有零點.由 .故可取為原函數(shù).證明：（1）假設(shè)存在一點使，顯然在上滿足羅爾定理條件.于是存在，使得，.而在上又滿足羅爾定理條件，于是存在，使得，與題設(shè)條件矛盾.故在內(nèi).（2）令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知至少存在一點，使得，又，故.由(1)知，即得 .2.8.1.

21、2泰勒公式法當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時，通常可考慮使用泰勒公式證明中值點的存在性.例16若函數(shù)在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在內(nèi)至少存在一個點，使.分析：由題設(shè)顯然函數(shù)在上有三階導(dǎo)數(shù)，故考慮利用的泰勒展開式.證明：在處的二階泰勒展開式為：至少存在一個點，使得.因為 ，所以 ，于是得.而，故 .注：此題也可使用三次羅爾定理證明.例17設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設(shè)知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知，至少存

22、在一點，使得.2.8.2 兩個中值點的情形在證明兩個中值點存在性的命題時，通常可考慮使用兩次中值定理.例18函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，試證:存在，使得.分析：結(jié)論中兩點只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一區(qū)間上使用兩次中值定理.同時結(jié)論中的部分可看作函數(shù)與在點處的導(dǎo)數(shù)之商，故聯(lián)想到柯西中值定理.再對使用拉格朗日中值定理，然后尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在，使 即 .2.8.3 含中值點的積分等式的證明這種命題的基本思路是：將題設(shè)中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)，這一函數(shù)通常

23、即可作為輔助函數(shù)，再結(jié)合微分中值定理得到證明.例19 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使.分析：直接證明函數(shù)在內(nèi)至少存在兩個不同的零點比較困難，若令，而，故可證在內(nèi)至少存在兩個不同的零點.證明：設(shè)，則，.又，由積分中值定理知存在，使得.而時，故.在區(qū)間上分別使用羅爾定理知存在，使得，. 即.例20 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證：至少存在一點，使.分析：將結(jié)論變形為,容易看出對函數(shù)，在上使用柯西中值定理即可.證明：設(shè)，顯然，在上滿足柯西中值定理的條件，于是知至少存在一點，使得， 即.注：將題設(shè)中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)是定積分證明題中的常用方法.微分中值定理應(yīng)用非常廣泛(在使用時應(yīng)特別注意驗證定理的條件) ,以上只介紹了幾種常見的應(yīng)用. 通過對微分中值定理的研究,加深了對微分中值定理的理解,有助于更好掌握該定理的解題應(yīng)用.3小結(jié)：微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，而且它也是微分學(xué)的理論核心，有著廣泛的應(yīng)用。本課題是對微分中值定理在證明方程根的存在性、證明不等式、求極