1、第一章 微積分1.3 導數與微分2.3 導數與微分主要教學內容：導數與微分的概念，計算導數與微分的概念，計算高階導數高階導數隱函數的導數與微分隱函數的導數與微分分段函數的導數分段函數的導數經濟學函數的彈性經濟學函數的彈性用微分作近似計算用微分作近似計算二元函數的導數與微分二元函數的導數與微分 2.3 導數與微分導數的概念1.曲線的切線斜率 圓的切線：與圓相交于唯一點的直線 但對于一般曲線, 切線是不能這樣定義的例如下圖中右邊的曲線在P點處的切線,除P點外還交曲線于Q點。 2.3 導數與微分為確切表達切線的含義, 需應用極限的思想請看下圖 2.3 導數與微分 點P(x0,f(x0)= P(x0,

2、y0)是曲線y=f(x)上的給定點, 點Q(x,y)=Q(x,f(x)是曲線上的動點, 可在P的兩側：在右側時xx0；在左側時 x x0 動直線PQ 是曲線的割線 如果動點Q 無限地逼近定點P 時, 動直線PQ 有一個極限位置PT, 即 則稱PT 為曲線在P 點的切線 建立PT 的方程, 只需確定其斜率由于PT 是PQ 的極限,從而PT 的斜率是PQ 斜率的極限, 極限過程是由QP 產生而QP 即xx0 現設PT對于x 軸的傾角(即x 軸正向逆時針旋轉至PT經過的角)為,PT的斜率為k=tan 2.3 導數與微分現在割線PQ 的斜率為則切線PT 的斜率為：由此得切線PT 的方程是： y f(x

3、0) = k(x x0) 2.3 導數與微分2. 導數的定義 定義 設函數y=f(x)在點x0的一個鄰域X內有定義，y0 =f(x0)如果xX x0，我們稱x = xx0 ( 讀作delta )為自變量的改變量自變量的改變量，y = f(x)f(x0)為函數函數的的( (對應對應) )改變量改變量，比值 為函數的差商或平差商或平均變化率均變化率 如果極限 存在，則稱函數y =f(x)在點x0可導可導 ( (或可微或可微) )，該極限稱為函數y=f(x)在x0 點關于自變量x 的導數導數( (或微商或微商) )記作 因x =xx0， x= x0+x，故還有 此時，曲線y =f(x) 在點(x0，

4、f (x0) )的切線方程是注. x 可正可負，依x 大于或小于x0 而定2.3 導數與微分000()yffxxxx 2.3 導數與微分根據定義求已知函數y = f(x) 在給定點x0 的導數的步驟是：1.計算函數在自變量x0 +x 處的函數值 f(x0+x)；2.計算函數的對應改變量y=f(x0+x)f(x0)；3.寫出函數的差商4.計算極限，即導數值 2.3 導數與微分 例2.3.1 求常數函數y = c 的導數 解 因y = y(x+x)y(x)=c c =0， 差商 此處x 可為任意實數，即常數函數y在任意點x 處的導數為0. 2.3 導數與微分例2.3.2 設n是正整數，求冪函數y=

5、xn在點x處的導數解因特別，當n=1時，函數y=x在任意點x處的導數為1 2.3 導數與微分例2.3.32.3.3 求曲線yx3在點(2,8)處的切線方程解在上例中取n =3 可知函數y x3 在點x 處的導數為3x2，于是在點(2，8)處的切線斜率是：y(2)=3 22 =12，故曲線yx3 在(2,8)處的切線方程是: y 8 = 12 (x 2) ，即 12x y 16 = 0 2.3 導數與微分注:(1) 一般情況下，給定函數y=f(x)在某個區間X 內每一點都可導，這樣可求出X 內每一點的導數y(x)，xX于是y(x)成為X 內有意義的一個新函數，它為給定函數y = f(x)的導函數

6、，且常常省略定義中的字樣“在x 點處關于自變量的”，甚至簡稱f(x)的導數 例如: 常數函數y = c 的導數是0，y = x 的導數是1，y =xn 的導數是nxn-1等等，分別記作c= 0，x=1，(xn)=nxn-1等等(2) 關于改變量的記號，應把它與其后面的變量x 或y 看作一個整體，絕不能把x 看成與x 的乘積，為避免誤解，用 (x)2來表示x的平方 2.3 導數與微分例2.3.4 y = sinx的導數是(sinx)=cosx， y =cosx 的導數是(cosx)=sinx 證同理可證， (cosx)= sinx 2.3 導數與微分例2.3.52.3.5y=logax(0a1)

7、的導數是 (logax)= 特別，(lnx)=1x 1lnxa 2.3 導數與微分例2.3.62.3.6 指數函數y=ax(0a1)的導數是 (ax)=axlna 證：(ax)=特別， 2.3 導數與微分2.3.2. 2.3.2. 變化率問題變化率問題 1. 1. 運動速度問題 設一質點沿直線運動，經過的路程s 是時間t 的函數：s=s(t) 時刻t 到t+t 時間段內質點的平均速度為： 該瞬時速度v(t)就是極限： 即質點運動速度是路程s 關于時間t 的導數。 s tts tvt 2.3 導數與微分例2.3.72.3.7 已知自由落體的運動方程為s=gt，其中g 9.8(m/s2)是重力加速

8、度常數，t與s分別以秒(s)和米(m)為單位求：(1)落體在t 到t+t 時間內的平均速度；(2) 落體在t=2，t=0. .1，0. .01，0. .001，0. .0001 這些時間段內的平均速度;(3) 落體在t 及t=2 時刻的瞬時速度解 (1)落體在t 到t+t 時間內的行程是 s = - = ,因此平均速度 = .212g tt212gt2122gt tt 122gttv 2.3 導數與微分(2) 按照(1)所求出的平均速度表達式，我們用下表列出t = 2 開始的各個時間段內的平均速度：t 時刻的瞬時速度： 在t=2 時刻的瞬時速度是： v(2)=2g29. .8=19. .6(m

9、/sm/s) 2.3 導數與微分2. 經濟學函數的邊際（不作為基本要求） 邊際：導數在經濟理論中的別名 設y=f(x)是某個經濟學函數經濟學把自變量在x0處變化一個單位所引起的函數變化稱為函數f(x)在x0 處的邊際變化邊際變化自變量單位的大小可能引起大小不同的誤差比如成本函數C=C(x)，自變量x 是產量，用噸作單位與千克作單位，引起的成本變化就相差很大為減小這種誤差，應取盡可能小的單位但不管取多小的單位，自變量的取值還是非負整數為了運用科學的微積分工具，我們假定成本等經濟學函數的自變量x可取連續的非負實數值 2.3 導數與微分下面仍以成本函數C=C(x)為例 自變量(產量)x0 x0 +

10、x 變化x ( 個單位 ) 函數(成本) C(x0) C(x0+x)變化C=C(x0+x) C(x0) 差商是x 個產量的平均成本，即從x0 到x0 +x 時1 個單位的自變量變化引起函數的平均變化如果x=1，得C(x0)C=C(x0+1)C(x0) 由此可見，C(x0)近似地表示產量從x0 增加1 個單位時的添加成本， 或近似地表示第x0 + 1個單位產量的成但經濟學中常略去“近似”二字，把C(x0)稱為邊際成本， 并解釋為在產量x0 的水平上，再增加1個單位產量所增加的成本定義 設經濟學函數y=f(x)在x0可導，則稱導數f(x0)為函數f(x)在x0 處的邊際值； 若f(x)是可導函數，

11、則導數f(x)稱為f(x)的邊際函數 2.3 導數與微分例2.3.82.3.8 設某產品的總成本函數為C(x)=1100+ ，其中x 為產量數求(1) 生產900 個單位時的總成本與平均成本;(2) 生產900 個單位到1000 個單位時總成本的平均變化率;(3) 生產900 個單位時的邊際成本，并解釋其實際經濟意義解 (1)生產900 個單位時的總成本為C(900) = 1100 + = 1775, 此時的平均成本為21200 x29001200 2.3 導數與微分(2) 生產900 個單位到1000 個單位時總成本的平均變化率為 (3) 生產x 個單位時的邊際成本為 ，因此生產900 個單

12、位時的邊際成本為 . 其經濟意義是：當產量在900的水平上，若生產增加(或減少)1個單位，成本將增加(或減少)1. .5注: 此處C(900)=1. .5，指的是近似于1. .5，即生產第901 個產品的成本近似于1. .5，生產第900 個產品的成本也近似于1. .5 實際上，經計算C(901)C(900)1. .5008,C(900)C(899)1. .4992教材第51頁上 （應該熟記） 基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.

13、3 導數與微分已得基本初等函數導數公式如下：2.3 導數與微分 2.3.32.3.3微分概念微分概念 在學習了導數之后，我們學習與導數相伴的微分概念讓我們回到導數定義的圖，并放大P 點鄰近的圖形:在光滑曲線y=f(x)上點P(x0,f(x0)的鄰近，曲線看起來像直線(就是過P 的切線)，其斜率是導數f(x0)由于一次函數的計算比絕大多數別的函數簡單， 因此我們可以期望在P的鄰近近似地用切線PT 來代替曲線，即用一次函數y=f(x0)+f(x0)(xx0)來代替y=f(x). 設函數y=f(x)可導，其圖象是光滑曲線，取定點P(x0，f(x0)，如下圖 所示2.3 導數與微分2.3 導數與微分0

14、00000000000,()(),()()(),(),limlim()0, limlim()0.xxxxPBxBQyf xxf xBQyPBxBTfxBTfx PBfxxPBuTQBQBTyBQBTTQfxxuuyuyfxxfxxx 自變量的改變量：函數改變量：差商：導數：差數：極限如下：2.3 導數與微分可以忽略不計。誤差為：。主要部分的是稱因更高階的無窮小量是比稱快，的速度比趨于因此的乘積，與為兩個無窮小量即又均為無窮小量，時，故當xxfyuyxxfuxxfyxuxuxuxuxxuuxuuxx)()(,)(.0,00002.3 導數與微分定義：定義：設函數y=f(x)在x0 可導，則x的線

15、性倍數 f(x0)x稱為y =f(x)在x0 對應于自變量改變量x 的微分微分，記作 d y = f(xd y = f(x0 0) ) x .x .注注1 1. 微分依賴于兩個因素： (1)函數的導數f(x0)； (2)是自變量的改變量x 一旦x0 取定，導數f(x0)也就取定，此時微分僅與x 成正比，比例系數即f(x0)2.3 導數與微分 .0lim)(limlim20000 xuxxxfyxdyyxxx：微分的另一特征為：注2.3 導數與微分定理2.3.1 若函數y=f(x)在x0可導,則f(x)在x0 連續000000000000( )( )()()limlim()0,lim ( )()

16、0,lim( )(),( )xxxxxxxxyf xxf xf xfxxxxxf xf xf xf xyf xx證：因函數在 可導即存在，又因故有從而即函數在點 連續。思考：定理的逆命題是否成立？2.3 導數與微分 現在 y ydydy，得計算函數值的近似公式 f f( (x x0 0+ +x x) )f f( (x x0 0)+)+f f( (x x0 0) ) x x 例例2.3.92.3.9 求函數y=x 在x 處對應于自變量改變量x 的微分 解 因x= 1 ，故微分為 dy=y(x) x=1 x=x 另一方面， y= x ， dy = dx 由此得 dx = dx = x x 這表明自

17、變量的微分等于自變量的改變量2.3 導數與微分 于是又可把微分dy=f(x x0 0 )x 寫成dy=f(x x0 0 )dx 注意dx =x 是自變量x 的改變量，恒不為0，又可得到 綜上所述，對每一函數y = f(x)，有導數(可導)與有微分(可微)是同一件事， 求導數與求微分的運算規律就完全統一在下述公式中： dy=fdy=f( (x x) )dx.dx.,)(0fydxdfdxdyxdxdyxf有：或對任意可導的點2.3 導數與微分從前面得到的導數公式有如下微分公式： 1sincos,cossin,ln, ,1, log,ln1ln,xxxxnnadxxdx dxxdxdaa a dx

18、dee dxdxnxdxdxdxxadxdxx 等等。2.3 導數與微分 函數y=f(x)在點x0 導數為 函數y=f(x)的微分為： dy=f(x)dx 00|lim)()(lim)()(lim)(0000000 xxxxxxdxdyxyxxxfxfxxfxxfxy2.3 導數與微分 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.3 導數與微分已得基本初等函數導數公式如下：2.3.4 導數與微分的計算1.1.導數與微分的四則運算導數與微分的四則運算 設u=u(x),v=v(x)為可導

19、函數，c為常數，則 公式1.(uv)=u v,d(uv)= dudv. 證 u(x)+v(x) ).()()()(lim)()(lim)()()()(lim000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxxxxuxxx2.3 導數與微分公式公式2 2.(uv) .(uv) =u=u v+uvv+uv , d(uv)=vdu+udv, d(uv)=vdu+udv證：.)()()()()()()()()(lim)(lim)(lim)()(lim)()()()()()()()(lim)()()()(lim)()(000000udvvdudxuvvudxuvuvdxvxuxvxuxxvxxvxu

20、xxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxxxx2.3 導數與微分 公式3. (cu) =cu, d(cu)=cdu證： .)()(,0)(cdudxcudxcucudcucucuuccu2.3 導數與微分 )0()(,).(422vvudvvduvudvuvvuvu公式)()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)(lim)(00000 xvxxvxxuxvxxvxuxxuxvxvxxuxxvxxvxvxuxuxxvxvxuxvxxuxxv

21、xxvxuxxvxvxxuxxvxuxxvxxuxvuvuxxxxx證：2.3 導數與微分 .)()(,)()()()()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim2222000000vudvvduvdxuvdxvudxvuvvudxvuvudxvxvxuxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxxxxx2.3 導數與微分.cscsin1sincoscos)sin(sinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot,seccos1cos)sin(sincosco

22、scos)(cossincos)(sin)cossin()(tan22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導數與微分例12 求y=tanx,y=cotx的導數。.cotcscsincossin)(cos10sin)(sin1sin1)sin1()(csc,tanseccossincos)sin(10cos)(cos1cos1)cos1()(sec222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導數與微分例13 求y=secx,y=cscx的導數.481541245322,1252.48154361694128)94)(41 (

23、)32(4)32)(41 ()32()41 (323243232322322323232xxxxxxyxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy故解二：因解一：2.3 導數與微分例14 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的導數.)sin1cos(ln1)sin()cos(ln1)sin()sin(ln)(ln)sin()sin(lndydxxxxxdxxxxxdxdxxdxxxxxddxxxdxxxxxd解2.3 導數與微分例15 求函數y=(x+sinx)lnx的微分。2.2.復合函數的導數與微分復合函數的導數與微分定理定理2.3.22.3.2（鏈鎖法則）（鏈鎖法則） 設z=f(y

24、),y=g(x)分別在點y0=g(x0)與 x0可導，則復合函數z=f( g(x)在x0可導，且求導。才表示整個函數對的求導，而表示對變量注：證明略或xxgfxgxgfxgyfxgfdxdydydzdxdzxxyyxx000)()()().()()()(|0002.3 導數與微分 鏈鎖法則的幾點說明鏈鎖法則的幾點說明1.略去法則中的x=x0與y=y0,法則成為公式2.計算復合函數值的過程為： 而復合函數求導的過程為：dxdydydzdxdzzyx. xyzyydzdz dydzddxdy dxddx是兩個導數與相乘。2.3 導數與微分.5cos55cosy,sin,5xudxdududyuyx

25、u于是則解令2.3 導數與微分例16 求y=sin5x的導數.tancossin)sin(1yln,cosu:xxxxudxdududyuyx，于是則令解2.3 導數與微分例17 求y=lncosx的導數.1.,lnu,1lnlnlnmmxmuuxmxmxxxmexmxmedxdududyyeyxmeeym則令解：因2.3 導數與微分例18 求冪函數y=xm的導數,m為任意實數.注3.鏈鎖法則可以推廣到多層次中間變量的復合函數.注4.在熟練掌握鏈鎖法則以后，為簡便寫法，中間變量v,u,z等可不必寫出，只要心中有數即可。注5.鏈鎖法則的微分形式為：.)()()()()(dxxgxgfxdgxgf

26、xgdf2.3 導數與微分 )1ln(2xxy例19 求 的導數.1112211111)1()1(211)1(111)1(11y2222212122222xxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導數與微分例2.3.19 求函數 的微分.xey2sin.2sincossin2sinsin2sin2222sinsinsin2sinxdxexdxxexxdexdedyxxxx解：2.3 導數與微分基本初等函數的導數與微分公式基本初等函數的導數與微分公式 例2.3.20求 的微分21arcsinxy.12)1(21|1)1()1(21111(11dy2212221222)2xdxxdxxxxdxx

27、xdx解：2.3 導數與微分 .112)(11)4(3)()(11)(3y.arctan322525244xxxxxxxeexeexeexexy解：的導數求例2.3 導數與微分導數的導數導數的導數二階導數二階導數 定義：若函數y=f(x)的導數y=f(x)可導，則稱y= f(x)的導數：( y)=f(x)為y=f(x)的二階導數，記作：y= f(x). 遞推地，若函數y=f(x)的n-1階導數存在且可導，則函數y=f(x)的n階導數為： 統稱為函數y=f(x)的高階導數。. )() 1()(nnyy2.3 導數與微分 ).2sin(sin.cossin.cos.sin.cossin.cossi

28、n.cosy.sin1)n()24()14()4()14()6()5()4()3( nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxnxykkkk通式為：解：顯然有階導數的：求例2.3 導數與微分).2(cosycos.sinycos.siny.cos.sinycos.siny.cos2(n)24(1)(4k)4(1)-(4k)4(3) nxxyxxyxxyxxyxnxykk通式為：解：顯然有階導數的：求例2.3 導數與微分隱函數的導數與微分隱函數的導數與微分 定義：由方程F(x,y)=0,其中x為自變量，y為因變量，確定的函數y=f(x)稱之為隱函數。 例如： 有的可以從方程中解出y，表示為顯函

29、數y=f(x)，有的不能。等等。橢圓的方程：圓的方程：. 0; 1;)()(2222222xyebyaxrbyaxy2.3 導數與微分隱函數求導的方法隱函數求導的方法 方法1.在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函數：y=y(x),于是方程可看成關于x的恒等式F(x,y(x)=0.其兩端對x求導，即可求出隱函數的導數。 .10)()() 1 ()() 1 (xy11yyyyyyyyexeyyexeexexxeyxey從而求導，得解：將方程兩邊對的導數。所確定的隱函數：求由方程例2.3 導數與微分方法2：對方程兩邊求微分，再導出導數。.01|1)0(, 1)0(10.1,)1 (,)(0)(1

30、).0(,11101eexeeyyxeyxxeedxdyydxexedydyxedxeexddxexedddyyxeyyxyyyyyyyyyyyyy于是可得時，由方程當可得從而：解：對方程兩邊求微分并求所確定隱函數的導數求方程例2.3 導數與微分例2.3.26 一飛機在離地面1200m 的高空以速率150(m s)向探照燈L 沿水平直線飛行(見右圖)探照燈強光照在機身試問：當飛機在地面上的正投影A 離探照燈600m 時，為使燈光不離開機身， 探照燈應以怎樣的速度逆時針旋轉?2.3 導數與微分解 記時間變量為t ，探照燈光線的仰角(由地平線逆時針轉向光線的角)為=(t) ，飛機在地面上的正投影A

31、 離探照燈L 的距離LA 為x= x(t) ，它們都是t 的函數按題意, 首先建立變量與x 的聯系方程： tan = 1200 x-1 , 對此方程兩邊求微分：.|,150600 xdtdvdtdx現在要求已知2.3 導數與微分代入，得及對應的，現將51)6001200(11)tan1 (cos150600,cos12001200sec)1200(tan212222221dtdxxdtdxxdtddxxdxdd2.3 導數與微分例2.3.27 求曲線 x2+ xy +y2 = 4 在點(2, 2)處的切線方程 . 解過點(2, 2)的切線由其斜率確定. 為此先求該方程確定的函數y = y( x)在x = 2 處的導數. 對方程x2+ xy +y2 = 4的兩邊求微分得： 2x d x + x d y+ y dx + 2 y d y = 0 ( x +2 y) dy = ( y+2