1、第二講直線與圓的位置關系 對應學生用書p35 近兩年高考中，主要考查圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內接四邊形的判定與性質等題目難度不大， 以容易題為主 對于與圓有關的比例線段問題通常要考慮利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、相似三角形的判定和性質等；弦切角是溝通圓內已知和未知的橋梁，它在解決圓內有關等角問題中可以大顯身手；證明四點共圓也是常見的考查題型，常見的證明方法有：到某定點的距離都相等；如果某兩點在一條線段的同側時，可證明這兩點對該線段的張角相等；證明凸四邊形的內對角互補(或外角等于它的內對角) 等1( 湖南高考 ) 如圖，已知ab，bc是o的兩條弦，aobc，

2、ab3，bc22，則o的半徑等于 _解析：設ao，bc的交點為d，由已知可得d為bc的中點，則在直角三角形abd中，adab2bd21，設圓的半徑為r，延長ao交圓o于點e，由圓的相交弦定理可知bdcdadde，即 (2)22r1，解得r32. 答案：322.( 新課標全國卷) 如圖，p是o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與o相交于點b，c，pc2pa，d為pc的中點，ad的延長線交o于點e. 證明：(1)beec；(2)adde2pb2. 證明： (1) 連接ab，ac. 由題設知papd，故padpda. 因為pdadacdca，精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

3、- - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -padbadpab，dcapab，所以dacbad，從而beec. 因此beec. (2) 由切割線定理得pa2pbpc. 因為papddc，所以dc2pb，bdpb. 由相交弦定理得addebddc，所以adde2pb2. 3( 新課標全國卷) 如圖，cd為abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd于點d，e，f分別為弦ab與弦ac上的點，且bcaedcaf，b，e，f，c四點共圓(1) 證明：ca是abc外接圓的直徑；(2) 若dbbeea，求過b，e，f，c四點的圓的面積與abc外接圓面積的比

4、值. 解： (1) 證明：因為cd為abc外接圓的切線，所以dcba，由題設知bcfadcea，故cdbaef，所以dbcefa. 因為b，e，f，c四點共圓，所以cfedbc，故efacfe90.所以cba 90，因此ca是abc外接圓的直徑(2) 連接ce，因為cbe90，所以 過b，e，f，c四點的圓的直徑為ce. 由bdbe，有cedc. 又bc2dbba2db2，所以ca24db2bc26db2. 而dc2dbda3db2，故過b，e，f，c四點的圓的面積與abc外接圓面積的比值為12. 對應學生用書p35 圓內接四邊形的判定與性質圓內接四邊形是中學教學的主要研究問題之一，近幾年各地

5、的高考選做題中常涉及圓內接四邊形的判定和性質精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - 例 1 已知四邊形abcd為平行四邊形，過點a和點b的圓與ad、bc分別交于e、f. 求證：c、d、e、f四點共圓 證明 連接ef，因為四邊形abcd為平行四邊形，所以bc180.因為四邊形abfe內接于圓，所以baef180.所以aefc. 所以c、d、e、f四點共圓 例 2 如圖，abcd是o的內接四邊形，延長bc到e，已知bcdecd32，那么bod等于 ( ) a120b136c144 d150

6、 解析 由圓內接四邊形性質知adce，而bcdecd3 2，且bcdecd180，ecd72.又由圓周角定理知bod2a144. 答案 c 直線與圓相切直線與圓有三種位置關系，即相交、相切、 相離；其中直線與圓相切的位置關系非常重要，結合此知識點所設計的有關切線的判定與性質、弦切角的性質等問題是高考選做題熱點之一，解題時要特別注意 例 3 如圖，o是 rtabc的外接圓，abc90，點p是圓外一點，pa切o于點a，且papb. (1) 求證：pb是o的切線；(2) 已知pa3，bc1，求o的半徑 解 (1) 證明：如圖，連接ob. oaob，oaboba. papb，pabpba. oabpa

7、bobapba，即paopbo. 又pa是o的切線，pao90.pbo90. obpb. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -又ob是o半徑，pb是o的切線(2) 連接op，交ab于點d. 如圖papb，點p在線段ab的垂直平分線上oaob，點o在線段ab的垂直平分線上op垂直平分線段ab. paopda90.又apoopa，apodpa. apdppopa. ap2podp. 又od12bc12，po(pood) ap2. 即po212po (3)2，解得po2. 在 rtapo中

8、，oapo2pa21，即o的半徑為1. 與圓有關的比例線段圓的切線、 割線、相交弦可以構成許多相似三角形，結合相似三角形的性質，又可以得到一些比例式、 乘積式， 在解題中， 多聯系這些知識，能夠計算或證明角、線段的有關結論 例 4 如圖，a，b是兩圓的交點，ac是小圓的直徑，d和e分別是ca和cb的延長線與大圓的交點，已知ac 4，be 10，且bcad，求de的長 解 設cbadx，則由割線定理得：cacdcbce，即 4(4 x) x(x10) ，化簡得x26x160，解得x2 或x 8( 舍去 ) ，即cd6，ce12. 連接ab，因為ca為小圓的直徑，所以cba90，即abe90，則由

9、圓的內接四邊形對角互補，得d90，則cd2de2ce2，所以 62de2122，所以de63. 例 5 abc中，abac，以ab為直徑作圓，交bc于d，o是圓心，dm是o的切線交ac于m( 如圖 ) 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -求證：dc2accm. 證明 連接ad、od. ab是直徑，adbc. oaod，badoda. 又abac，adbc，badcad. 則cadoda，odac. dm是o切線，oddm. 則dmac，dc2accm. 對應學生用書p43 ( 時間：

10、 90 分鐘，滿分： 120 分 ) 一、選擇題 ( 本大題共10 小題， 每小題 5 分，滿分 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1圓內接四邊形的4 個角中，如果沒有直角，那么一定有( ) a2 個銳角和2 個鈍角b 1 個銳角和 3 個鈍角c1 個鈍角和3 個銳角d都是銳角或都是鈍角解析： 由于圓內接四邊形的對角互補，圓內接四邊形的4 個角中若沒有直角，則必有2個銳角和2 個鈍角答案： a 2. 如圖，在o中，弦ab長等于半徑，e為ba延長線上一點，dae80，則acd的度數是 ( ) a60 b50c45 d30解析：bcddae80，在 rtabc中，b90

11、，ab12ac，acb30. acd803050.答案： b 3如圖所示，在半徑為2 cm 的o內有長為23 cm 的弦ab. 則此弦所對的圓心角aob為( ) a60 b90精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -c120 d150解析：作ocab于c，則bc3，在 rtboc中 cos bboob32. b30.boc60 . aob120.答案： c 4. 如圖，已知o的半徑為5，兩弦ab、cd相交于ab的中點e，且ab 8，ceed49，則圓心到弦cd的距離為 ( ) a.214

12、3b.289c.273d.809解析：過o作ohcd，連接od，則dh12cd，由相交弦定理知，aebecede. 設ce4x，則de9x，44 4x9x，解得x23，ohod2dh25213322143. 答案： a 5. 如圖，pa切o于a，pbc是o的割線，且pbbc，pa32，那么bc的長為 ( ) a.3 b 23 c3 d 33 解析：根據切割線定理pa2pbpc，所以 (32)2 2pb2.所以pb3bc. 答案： c 6兩個同心圓的半徑分別為3 cm 和 6 cm，作大圓的弦mn63 cm，則mn與小圓的位置關系是 ( ) a相切b相交c相離d不確定精品學習資料 可選擇p d

13、f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -解析：作oamn于a. 連接om. 則ma12mn33. 在 rtoma中，oaom2am23(cm) mn與小圓相切答案： a 7. 如圖，pab，pdc是o的割線，連接ad，bc，若pdpb1 4，ad 2，則bc的長是 ( ) a4 b 5 c6 d 8 解析：由四邊形abcd為o的內接四邊形可得padc，pdab. padpcb. pdpbadcb14. 又ad2，bc8. 答案： d 8已知o的兩條弦ab，cd交于點p，若pa8 cm，pb18 cm，則cd的長的最

14、小值為( ) a25 cm b 24 cm c20 cm d 12 cm 解析：設cda cm，cd被p分成的兩段中一段長x cm，另一段長為(ax) cm. 則x(ax) 818，即 818(xax2)214a2. 所以a2576 242，即a24.當且僅當xax，即x12a12 時等號成立所以cd的長的最小值為24 cm. 答案： b 9如圖， 點c在以ab為直徑的半圓上，連接ac、bc，ab10，tan bac34，則陰影部分的面積為( ) a.252b.25224 c24 d.25224 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁

15、，共 11 頁 - - - - - - - - -解析：ab為直徑，acb90，tan bac34，sin bac35. 又 sin bacbcab，ab10，bc3510 6. ac43bc4368，s陰影s半圓sabc1252128625224. 答案： b 10在 rtabc中，acb90，以a為圓心、ac為半徑的圓交ab于f，交ba的延長線于e，cdab于d，給出四個等式：bc2bfba；cd2adab；cd2dfde；bfbebdba. 其中能夠成立的有( ) a0 個b 2 個c3 個d4 個解析：不正確，由相交弦定理知正確，又由bc2bebf，bc2bdba，得bebfbdba，

16、故正確答案： b 二、填空題 ( 本大題共4 個小題， 每小題 5 分，滿分 20 分把正確答案填寫在題中的橫線上 ) 11四邊形abcd內接于o，若bod120，ob1，則bad_，bcd_，bcd的長 _. 解析：bad12bod60，bcd180bad120，由圓的半徑ob1，bod23，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -bcd的長為23. 答案： 601202312(陜西高考 ) 如圖，在圓o中，直徑ab與弦cd垂直，垂足為e，efdb，垂足為f，若ab6，ae1，則dfd

17、b_. 解析：由相交弦定理可知ed2aeeb15 5，又易知ebd與fed相似，得dfdbed25. 答案： 5 13. 如 圖，o為abc的內切圓，ac，bc，ab分別與o切于點d，e，f，c90，ad3，o的半徑為2，則bc_. 解析：如圖所示，分別連接od，oe，of. oeod，cdce，oebc，odac，四邊形oecd是正方形設bfx，則bex. adaf3，cdce2，(2 x)2 25(x3)2，解得x10，bc12. 答案： 12 14如圖，ab為o的直徑，cb切o于b，cd切o于d，交ab的延長線于e，若ea1，ed2，則bc_. 解析：ce為o的切線，d為切點，ed2ea

18、eb. 又ea1，ed2，得eb 4，又cb、cd均為o的切線，cdcb. 在 rtebc中，設bcx，則ecx 2. 由勾股定理得eb2bc2ec2. 42x2(x2)2，得x3，bc3. 答案： 3 三、解答題 ( 本大題共4 個小題， 滿分 50 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 ) 15(本小 題滿分 12 分) 如圖，設ab為o的任一條不與直線l垂直的直徑，p是o與l的公共點，acl，bdl，垂 足分別為c，d，且pcpd，求證： (1)l是o的切線；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 -

19、- - - - - - - -(2)pb平分abd. 證明： (1) 連接op，因為acl，bdl，所以acbd. 又oaob，pcpd，所以opbd，從而opl. 因為p在o上，所以l是o的切線(2) 連接ap，因為l是o的切線，所以bpdbap. 又bpdpbd90，bappba90，所以pbapbd，即pb平分abd. 16(本小題滿分12 分)(2012 遼寧高考) 如圖，o和o相交于a，b兩點，過a作兩圓的切線分別交兩圓于c，d兩點，連結db并延長交o于點e. 證明： (1)acbdadab；(2)acae. 證明： (1) 由ac與o相切于a，得cabadb，同理acbdab，所以acbdab. 從而acadabbd，即acbdadab. (2) 由ad與o相切于a，得aedbad，又adebda，得eadabd.從而aeabadbd，即aebdadab. 結合 (1) 的結論，acae. 17.( 本小題滿分12 分 ) 如圖，ab為圓o的直徑，cd為垂直于ab的一條弦，垂足為e，弦bm與cd交于點f. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -