1、41、 定義若剛體運動時，所有質(zhì)元都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運 動且圓心在該直線上，則稱剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動，該直線稱作轉(zhuǎn)軸.2、特點左1剛體中始終保持不動的直線就是轉(zhuǎn)軸。33、平動的自由度：3個自由度：決定物體的空間位置所需要的獨立坐標(biāo)個數(shù).是描述體運動自由程度的物理量. 創(chuàng)疵 獨立坐標(biāo)：描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù).刖體的走軸轉(zhuǎn)動C較簡單丿剛體：在任何情況下形狀、大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對象。 質(zhì)元：把剛體分成的許多可以看成質(zhì)點的微小部分。一.刖體的平動（最簡車丿剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質(zhì)元的位移、速度和加速度卻相同。因此，常用“剛體的質(zhì)心”來研究剛體的平動

2、：I1.定義：在運動中，剛體上任意一條直線在各個時刻的位置都保持平行.2、特點:剛體上任意兩點的連線在平動中是平行且相等的!52剛體上軸以外的質(zhì)元繞軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動平面與軸垂直且為圓周，圓心 在鈾上。3和轉(zhuǎn)軸相平行的線上各質(zhì)元的運動情況完全一樣。63、定軸轉(zhuǎn)動剛體的自由度：1個(剛體的角坐標(biāo))如圖示：建立系，乃軸與轉(zhuǎn)軸重合，O點任 意選取，截取剛體一個剖面O汨平面，此位置只要確 定，剛體的位置就確定了，除O點外，再選一個A點，此圖形的位置可由矢量來確定，而矢量的大小是不變的，方向只需由 矢量與X軸的夾角來確定，此角稱為：繞定軸轉(zhuǎn) 動剛體的角坐標(biāo).1.1角的正負(fù)規(guī)定：定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動的方向和Z軸成右

3、手螺旋時,角為正，否則角為負(fù)。4、定軸轉(zhuǎn)動剛體運動的描述1運動學(xué)方程10 = 0(),即：角坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律.2描述剛體整體運動的物理量角董，色搖：角位移，角速度，角加速 度.角位移定軸轉(zhuǎn)動剛體在AZ時間內(nèi)角坐標(biāo)的增量。任意質(zhì)元的角位移49是相同的是一整體運動的量.面對z軸觀察：逆時針轉(zhuǎn)動，&();反之，AOvO。角速度：在&這一過程中，.& de ( (o(t) = lim= = 0 a* Z dt即：瞬時角速度等于角坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)。面對力軸觀察逆時針轉(zhuǎn)動時：血0；反之，qvO。8角加速度處即：瞬時角加速度等于角速度對時間的導(dǎo)數(shù).加速轉(zhuǎn)動，與少同號；00,反之，

4、0v(K73線量：描述定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一質(zhì)元運動的物理量：線位移，線速度,線加速度。如圖示：A質(zhì)無的線速度不同于B質(zhì)元的線速度, 以剛體上質(zhì)元A為例：線位移：drA=dsrdrAds _ de一 _=一T=rAr -rAa)x dt dt八曲A即:線加速度:An力學(xué)Ad) =+2V)-dXZ)線速度：Z1角量：描述剛體整體運動的物理量；角量 充分描述了剛體的定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)線量：描述剛體任一質(zhì)元運動的物理量， 由角量可得線量物理量單位量絹物理量單位量綱角位移rad1線位移mM角速度rad/sT1線速度 /m/sMT角加速度rad/sT2線加速度m/s-2MT2由定軸轉(zhuǎn)動剛體角量和線量關(guān)系可知:9三

5、、角遠(yuǎn)度矣量1、角速度矢量定義厲方向規(guī)定 右手螺旋法則：四指的方向和轉(zhuǎn)動方向一致，大母指的指向就是厲的方向，沿轉(zhuǎn)軸，如圖示:G G）必須滿足平行四邊形法則：方=厲+0因此：剛體上任意質(zhì)元的線速度14西、創(chuàng)體平面運動（創(chuàng)體的平面平行運動丿1、定義：剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面與一因定平面平行。2、平面運動的特點剛體上垂直于固定平面的任意直線上各點具有完全相同的運動狀況.3、自由度：3個。因為：由平面運動的特點，可用與固定平面平行的剛體的任一剖面 （截面）來研究，此截面位遙一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了.通常選擇 此平面內(nèi)剛體上某點的位置坐標(biāo)（心,丿）和繞過該點軸旋轉(zhuǎn)的角度來 描述剛體的位置

6、。4、平面運動的描述運動學(xué)方程：1&=如）x = xB(t) y= yB( (O& = &(/)B點是任意選取的，稱作基點.即：反映任意選定基點的運動,0（t）反映剛體繞過基點軸的轉(zhuǎn)動.注意：平動位移和基點的選取有關(guān)，而轉(zhuǎn)動位移與基點選取無關(guān)。16而A點相對于基點B的速度矢量： 歹=方 X 戶 （方為剛體繞過基點軸的角速度）因此，vA= vB+dxrf即： 平面運動剛體上任一點的速度公式， 任一點的速度等于隨基點B的平動速度與繞過基點B軸轉(zhuǎn)動的速度的矢董和。注：平動速度與基點的選取有關(guān)，轉(zhuǎn)動的角速度與基點的選取無關(guān)。此即為純滾動的條件。D點常稱為瞬心（瞬時轉(zhuǎn)動中心）Jr

7、J平面運動剛體上任一點的速度如圖：以B點為基點，建立如圖示的坐標(biāo)系，則:圓柱體作無滑滾動的條件：滾動圓柱體邊緣上各 點與支承面接觸的瞬時，與支承面無相對滑動，稱圓 柱體作無滑滾動。如右圖：以中心C點為基點，則：vD=vc+a）xrD/ _ /= vci+ 帀（疋）x（朋）= vci = （vc= 0例:注:厲與基點選取無關(guān);瞬心不一定在剛體上，可以在剛體之外的某一點7.2剛體的動屋和施心運動定理dm:心i i心在剛體上是一固定點，F(xiàn)分布的不變質(zhì)點系，質(zhì)心7：的計算，同質(zhì)點系的質(zhì)心的計算方法完全一#E尋找瞬心的方法：過P點與VpVp垂直的線與過Q點與 垂直的線的交點就是瞬心C點.（若與v vQ

8、Q平行，不一定有 瞬心，如平動）JxpdV不要和定軸轉(zhuǎn)動混淆，D點只是瞬時中心，雖然該時刻的速度為 零，但加速度不為零，不是不動的軸線； rdmc_f20例1:求半徑為a的均質(zhì)半圓球的質(zhì)心.解：常用的方法是對稱法，質(zhì)點在對稱面， 對稱軸，對稱中心等上。如圖建立坐標(biāo)系1則C在刁軸上，取質(zhì)量元為如圖示的薄圓板，厚度為d乃，由于z z=acosO=acosO則:JzpdV J z兀(a sin ff)2dz (a cos 0)兀(a sin 0) d(a cos 0)總結(jié)：質(zhì)心的求法1、對稱法；2、分割法；3、 負(fù)質(zhì)量法（如圖所示）二.創(chuàng)體的動?xùn)伺c質(zhì)心運動走理剛體的動量：P = Mvc_dv_質(zhì)心運

9、動定理： 件=M產(chǎn)=Mac午dt注意：YE為外力的矢量和而不是合外力.I3a819剛體平動時，剛體上任意一點的運動狀況都是相同的，故可以選擇質(zhì)心的運動來描述剛體的運動狀態(tài)，所以，剛體 平動時的動力學(xué)方程就是質(zhì)心運動定理。2122 7.3剛體定鈾轉(zhuǎn)動的角動最轉(zhuǎn)動慣屋一、創(chuàng)體對一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量1、轉(zhuǎn)動慣量定義：餐=工加”其中：斥表示質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的距離.I說明：轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).2、轉(zhuǎn)動慣量的計算：力學(xué)例題：質(zhì)量為m長為1的均質(zhì)桿,其B端放在桌上，A端用手支 住，使桿成水平.突然釋放A端，在此瞬時，求：(1 )桿質(zhì)心的加速度；(2)桿B端所受的力.；取桿為隔離體受力分析及建立堅

10、標(biāo)如圖1). *衲垂直于堆面向亀依堀股心運動定 JS有， 何叫柱了方向投彫后, 比一叱刖”(1)依據(jù)轉(zhuǎn)動定理有、(2)依據(jù)總色與銭儉關(guān)冬有:BwNaffld(4由 u 0 .v聯(lián)立上述(1 ) 2 ).(w一力221質(zhì)量不連續(xù)分布情況：食=工加刀I2質(zhì)量連續(xù)分布的情況：=Jr2dm= Jr2pdV3、平行軸定理若兩軸平行，距離為，其中一軸過質(zhì)心，剛體對它的轉(zhuǎn)動慣量為厶， 則剛體對一軸轉(zhuǎn)動慣量為：/ = /（.+ind2證明：如右圖示，剛體的二軸分別為 N 和 N，軸， =藝b；+兀J +（為+丿J I=工（可+）+2七工加上+2兒工加；+G；+歹；反IIIi=人 +md4、垂直軸定理（僅適用于

11、厚度無窮小的薄板，厚度k0）即：無窮小厚度的薄板對一與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量, 等于薄板對板面內(nèi)另兩互相垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量之和證明：如圖所示，有：lz=為加” =丫6；+y）IIix=工叫6;+襯）=工加腫 存=弓叫G；+z；）=牙叫時因此，= Ix+/y_ 注意二宜軸定理適用條件：X、y、刁軸過辰 狗午磺野內(nèi).耳紅理體對各平行軸的不同轉(zhuǎn)動慣量中,262 27 7一一7 7+/ /例1均質(zhì)桿長A質(zhì)量為加，求對過桿一端點的轉(zhuǎn)動慣量解：由平行軸定理:例2求一質(zhì)童為加、半徑為尺、密度均勻的薄板圓盤, 與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量人解法一：利用積分法求轉(zhuǎn)動慣量(利用對稱性)Ix= J j2dm = J

12、R sin2Rcos& b d(Rsin&)it=27? crj2sin2Ocos OdOPSincoS = l2解法二：由垂直軸定理:它對過圓心且的兩質(zhì)點m,中間以一輕連桿紐成剛體，繞Z軸轉(zhuǎn)動為例:二.刖體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程-對軸的角動量走理剛體對轉(zhuǎn)軸（假定為無軸）的角動量:2應(yīng)用質(zhì)點系對Z軸的角動量定理，可得定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理:其中為外力對無軸的力矩；A為剛體的角加速度在Z；軸上的投影，可正可負(fù).力刖體對軸上一點的角動量% % X X v vB BAk-k-=cokx r2coseg + (a+ r2sina)k = -ajt- rr r cosajajxcorco

13、rcoscdcd +/+/ (a(a + + r r: :sina)ka)k +r+r2 2c cAar;cosa-m(acosa-m(a+r, sina)R.zfjr.f 巳知)求解上述方程組得，警 5“o 心川)IL( ( tmt) g ( mt+mB)ai J 1.39X10 k ) JP0+】 w=靜求解魁厶 N(Mi-E JgKm +_rn, ) R0GCI.SXIO1( kg-m* )I33下面我們來研究定軸轉(zhuǎn)動剛體在外力F作用下轉(zhuǎn)動 體所做的功。如右圖所示，建立直角坐標(biāo)系gxjz, Z軸垂直紙面 向外，設(shè)剛體上任一點P,初始時位于力軸上，經(jīng)如 時間繞Z軸逆時針轉(zhuǎn)動至如圖中實線所示

14、位置， 下面我 們來求力戶所作的功：將戸分解為：F=FHFTdA = FdiF = FTdr = FTrd01VA&所以A = j FTrd0 = J MTdOIH (1一力矩的功情況下，F(xiàn)對剛36殳由質(zhì)點系動能定理知：工4外+工金=工乞+工他學(xué)應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動剛體：丫A外+ Y人內(nèi)=弓如尹；-L如吃而 =（），v vi i = =r riDiD因此，藝人外加刀誠這就是定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理，即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動動能的 增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和.其中JI I/為定軸轉(zhuǎn)動剛體的動2z能，為卜為外力矩對剛體所作的功的代數(shù)和。注意：剛體內(nèi)一切內(nèi)力做功之和等于零，無論剛體作何運動，

15、都成立.A = J Frrd0 = j MTd0上式中M表示力戸對Z軸的力矩，該式表明：當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動時，力所做的功等于該力對轉(zhuǎn)軸的力矩對角坐標(biāo)的積分.該式也稱作力矩做的功.走柚轉(zhuǎn)動創(chuàng)體的動能走理三、創(chuàng)體的重力費能剛體的重力勢能：剛體與地球共有的重力勢能，等于各質(zhì)元重力勢能 之和：、工g = Mgyci丿由上式知：剛體重力勢能決定于剛體重心矩勢能零點的高度，與剛 體的方位無關(guān)，與剛體運動形式無關(guān)。例1：均質(zhì)桿的質(zhì)量為2,長為/ , 一端為光滑的 支點，最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，求：(1 )桿在鉛重位置時，下端點的線速度V V；(21桿在此位置時，桿對支點的作用力.圻法一，(1)利.用

16、刖體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理(或，機(jī)核能于叵定律) 下援過程中僅有盍力微功A = msh= mg f Z ! w/* a? = 4 wv 2 2 36桿在鉛重位壬時下堪點的線速度方向向左，大小汰利用質(zhì)心運動定埋:分童形式為:一mg=朋 o 命=w = mrco在豎直位亙桿受的外力矩為竽，無軸加速度爐=0 :a “ =：0=O.Nr= 0聲二也 a?=w(y y + g) =v=5寸支點的作用力 2，方向豎直向下。37解法二（1）利用對z軸的角動量定理（或:轉(zhuǎn)動定理）: f加gcos勿眉:L 網(wǎng)2iv= + ml1/（2）同解法一建立如圖的坐標(biāo)系o_xyz、z垂直直面向里:yNn.-mgl = - m

17、l22 639（3）例1拓展：求桿在下擺過程中任一位置處，質(zhì)點對桿的作用力N。JW:設(shè)質(zhì)點對桿的作用力分解丸比和/如圖所示:由質(zhì)心運動定理失 m由定軸動的動力學(xué)方程 即角動魚定理）mg cos令=7/7= A tnl232 day d 1,dt 3.f 善co$W=g-cos3gcos1 21d e42I衛(wèi)-mg cos a化毎=沁I21拐 _L夕_3gU2/_I 3gcos夕3gNrmRcos a2214嘰=sin g sin =5mgsin廳21 mgcos a442- - - =N = m(g cos殲a )=例2:子彈沿水平面運動，擊中并嵌入一根靜止在光滑水平面上的 棒的端點，之后共同

18、運動.已知子彈的速度與棒垂直，子彈的質(zhì)量，速 度，棒的質(zhì)量，長度分別為：“，環(huán)叫=99巾上。求：棒和子彈繞垂直 于平面的軸的角速度CO,cC坯Vc6溝匕43%2 +4%）/Vix解祛一、。點是慣性系中的因定點，設(shè) OA = a 系統(tǒng)對。點的初始角動量為:又尸】+尸 2 = mJ2 （ +佗）mi碰后系統(tǒng)對點的角動量為：Oi +血Jx；v； +初斤+112加 2/ +加 2廠;由系統(tǒng)對點的角動童守恒知：刃（0 +2）=加“心+彳Q+厶又系統(tǒng)的動審守恒:聯(lián)立得:_6巾片（m2+4凸）1解法二 建立F - xyN系，對過質(zhì)心占旳云 軸的角動量守恒:血卩；尸1 + w2vjr2=燉耳2&+1；V =又v； = VT- V； ,r先十購！由尹軸按影量得）聯(lián)立得:4448逹立坐標(biāo)系。一卯、是一慣性系，系統(tǒng)對過 O 點的軸Z的角動童守I自01蔭對過:。點2軸的角動量九：拠V/1談后對過O點z軸的角幻嵐為, E X巧=0,耳與巧平行甌X 巧|x= 0v.L；一 _茨心只在 y 軸上運動尬02rc = V皿=vdtj或肴時0點的角動審守也:鱒法is、由干桿和子弾不受力的作用，碰后共同的騎心匕