1、高中數學選修精品教學資料第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用導數在研究函數中的應用3.3.2函數的極值與導數函數的極值與導數a 級級基礎鞏固基礎鞏固一、選擇題一、選擇題1可導可導“函數函數 yf(x)在一點的導數值為在一點的導數值為 0”是是“函數函數 yf(x)在在這點取得極值這點取得極值”的的()a充分不必要條件充分不必要條件b必要不充分條件必要不充分條件c充要條件充要條件d既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析： 對于對于 f(x)x3, ,f(x)3x2, ,f(0)0, ,不能推出不能推出 f(x)在在 x0處取極值處取極值, ,反反之成立之成立答案：答案：b2已

2、知可導函數已知可導函數 f(x),xr,且僅在且僅在 x1 處處,f(x)存在極小值存在極小值,則則()a當當 x(,1)時時,f(x)0；當；當 x(1,)時時,f(x)0b當當 x(,1)時時,f(x)0；當；當 x(1,)時時,f(x)0c當當 x(,1)時時,f(x)0；當；當 x(1,)時時,f(x)0d當當 x(,1)時時,f(x)0；當；當 x(1,)時時,f(x)0解析：解析：因為因為 f(x)在在 x1 處存在極小值處存在極小值, ,所以所以 x1 時時, ,f(x)0, ,x1 時時, ,f(x)0.答案：答案：c3函數函數 yx33x29x(2x2)有有()a極大值極大值

3、 5,極小值極小值27b極大值極大值 5,極小值極小值11c極大值極大值 5,無極小值無極小值d極小值極小值27,無極大值無極大值解析：解析：由由 y3x26x90, ,得得 x1 或或 x3, ,當當 x1 或或 x3 時時, ,y0；當；當1x3 時時, ,y0.故當故當 x1 時時, ,函數有極大值函數有極大值 5；x 取不到取不到 3, ,故無極小值故無極小值答案：答案：c4已知已知 f(x)x3ax2(a6)x1 有極大值和極小值有極大值和極小值,則則 a 的取的取值范圍為值范圍為()a1a2b3a6ca1 或或 a2da3 或或 a6解析解析： f(x)3x22ax(a6), ,因

4、為因為 f(x)既有極大值又有極小值既有極大值又有極小值, ,那么那么(2a)243(a6)0, ,解得解得 a6 或或 a3.答案：答案：d5設設 ar,若函數若函數 yexax,xr 有大于零的極值點有大于零的極值點,則則()aa1ba1ca1eda1e解析：解析：yexa0, ,exa, ,因為因為 x0, ,所以所以 ex1, ,即即a1, ,所以所以 a1.答案：答案：a二、填空題二、填空題6函數函數 f(x)x36xa 的極大值為的極大值為_,極小值為極小值為_解析：解析：f(x)x26令令 f(x)0, ,得得 x 2或或 x 2, ,所以所以 f(x)極大值極大值f( 2)a4

5、 2, ,f(x)極小值極小值f( 2)a4 2.答案：答案：a4 2,a4 2.7已已知函數知函數 yx3ax2bx27 在在 x1 處取極大值處取極大值,在在 x3處取極小值處取極小值,則則 a_,b_解析：解析：y3x22axb, ,根據題意知根據題意知, ,1 和和 3 是方程是方程 3x22axb0 的兩根的兩根, ,由根與系數的關系可求得由根與系數的關系可求得 a3, ,b9.經檢驗經檢驗, ,符符合題意合題意答案：答案：398已知函數已知函數 f(x)ax3bx2cx,其導函數其導函數 yf(x)的圖象經過點的圖象經過點(1,0),(2,0),如圖所示如圖所示則下列說法中不正確的

6、是則下列說法中不正確的是_當當 x32時時,函數取得極小值；函數取得極小值；f(x)有兩個極值點；有兩個極值點；當當 x2 時時,函數取得極小值；函數取得極小值；當當 x1 時時,函數取得極大值函數取得極大值解析解析： 由圖象可知當由圖象可知當 x(, ,1)時時, ,f(x)0； 當當 x(1, ,2)時時, ,f(x)0, ,所以所以 f(x)有兩個極值點有兩個極值點 1 和和 2, ,且且當當 x2 時時, ,函數取得函數取得極小值極小值, ,當當 x1 時時, ,函數取得極大值故只有函數取得極大值故只有不正確不正確答案：答案：三、解答題三、解答題9已知已知 f(x)13x312x22x

7、,求求 f(x)的極大值與極小值的極大值與極小值解：解：由已知得由已知得 f(x)的定義域為的定義域為 r.f(x)x2x2(x1)(x2)令令 f(x)0, ,得得 x1 或或 x2.當當 x 變化時變化時, ,f(x)與與 f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(,1)1(1,2)2(2,)f(x)00f(x)極大極大值值極小極小值值因此因此, ,當當 x1 時時, ,f(x)取得極大值取得極大值, ,且極大值為且極大值為 f(1)13(1)312(1)22(1)76；當當 x2 時時, ,f(x)取得極小值取得極小值, ,且極小值為且極小值為 f(2)1323122222103.

8、從而從而 f(x)的極大值為的極大值為76, ,極小值為極小值為103.10已知函數已知函數 f(x)x3ax2bxa2在在 x1 處取極值處取極值 10,求求 f(2)的值的值解：解：f(x)3x22axb.由題意得由題意得f（1）10，f（1）0，即即a2ab110，2ab30，解得解得a4，b11或或a3，b3.當當 a4, ,b11 時時, ,令令 f(x)0, ,得得 x11, ,x2113.當當 x 變化時變化時, ,f(x), ,f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x，113113(113,1)1(1,)f(x)00f(x)極大值極大值極小極小值值顯然函數顯然函數 f(x

9、)在在 x1 處取極小值處取極小值, ,符合題意符合題意, ,此時此時 f(2)18.當當 a3, ,b3 時時, ,f(x)3x26x33(x1)20, ,所以所以 f(x)在在 x1 處沒有極值處沒有極值, ,不合題意不合題意綜上可知綜上可知 f(2)18.b 級級能力提升能力提升1等差數列等差數列an中的中的 a1,a4 031是函數是函數 f(x)13x34x26x1 的極的極值點值點,則則 log2a2 016的值為的值為()a2b3c4d5解析：解析：因為因為 f(x)x28x6, ,且且 a1, ,a4 031是函數是函數 f(x)13x34x26x1 的極值點的極值點, ,所所

10、以以 a1, ,a4 031是方是方程程 x28x60 的兩個實數根的兩個實數根, ,則則 a1a4 0318.而而an為等差數列為等差數列, ,所所以以 a1a4 0312a2 016, ,即即 a2 0164, ,從而從而 log2a2 016log242.故選故選 a.答案：答案：a2若函數若函數 f(x)x33ax23(a2)x1 有極大值和極小值有極大值和極小值,則實則實數數 a 的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：函數函數 f(x)為三次函數為三次函數, ,其導函數其導函數 f(x)3x26ax3(a2)為二次函數為二次函數, ,要使函數要使函數 f(x)既有極大值又有極小值既有

11、極大值又有極小值, ,需需 f(x)0 有兩個有兩個不等的實數根不等的實數根, ,所以所以(6a)2433(a2)0, ,解得解得 a2.答案：答案：(,1)(2,)3設設 a 為實數為實數,函數函數 f(x)x3x2xa.(1)求求 f(x)的極值；的極值；(2)當當 a 在什么范圍內取值時在什么范圍內取值時,曲曲線線 yf(x)與與 x 軸僅軸僅有一個交點？有一個交點？解：解：(1)f(x)3x22x1.令令 f(x)0, ,則則 x13或或 x1.當當 x 變化時變化時, ,f(x), ,f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x，131313，11(1,)f(x)00f(x)極大值極大值極小值極小值所以所以 f(x)的極大值是的極大值是 f13 527a, ,極小值是極小值是 f(1)a1.(2)函數函數 f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1, ,由此可知由此可知, ,x 取足夠大的正數時取足夠大的正數時, ,有有 f(x)0, ,x 取足夠小的負數時取足夠小的負數時, ,有有 f(x)0, ,所以曲線所以曲線 yf(x)與與 x 軸至少有一個定點軸至少有一個定點由由(1)知知 f(x)最大值最大值