1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題八幾何運(yùn)算型綜合問(wèn)題按住 ctrl 鍵 點(diǎn)擊查看更多中考數(shù)學(xué)資源【考點(diǎn)透視】幾何運(yùn)算型綜合問(wèn)題，是以運(yùn)算為主線的綜合各種幾何學(xué)問(wèn)的問(wèn)題. 在近年全國(guó)各地中考試卷中占有相當(dāng)?shù)闹亓? 這類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是包含學(xué)問(wèn)點(diǎn)多、掩蓋面廣、規(guī)律關(guān)系復(fù)雜、解法敏捷 . 考查方式偏重于考查考生分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的才能，要求同學(xué)嫻熟把握三角形、四邊形、三角函數(shù)、圓等幾何學(xué)問(wèn)，較嫻熟地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、方程思想、 分類爭(zhēng)論思想、 數(shù)形結(jié)合思想等常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想.解題時(shí)必需在充分利用幾何圖形 的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在復(fù)雜的“背景” 下辨認(rèn)

2、、分解基本圖形， 或通過(guò)添加幫助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，并善于聯(lián)想所學(xué)學(xué)問(wèn)，突破思維障礙，合理運(yùn)用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決.值得留意的是近年中考幾何綜合運(yùn)算的出現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、 探究型、 開(kāi)放型、 運(yùn)動(dòng)型、情境型等，背景鮮活，具有有用性和制造性，在考查考生運(yùn)算才能的同時(shí)，考查考生的閱讀懂得才能、 動(dòng)手操作才能、 抽象思維才能、 建模才能力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)運(yùn)用到實(shí)際生活中去.【典型例題】例 1. 在生活中需要測(cè)量一些球（如足球、籃球）的直徑，某學(xué)校爭(zhēng)論性學(xué)習(xí)小組，通 過(guò)試驗(yàn)發(fā)覺(jué)下面的測(cè)量方法：如圖11-1 ，將球放在水平的桌面上，在陽(yáng)光的斜射下，得到球的影子 ab，設(shè)光線 ad、cb

3、分別與球相切于點(diǎn)e、f，就 e、f 即為球的直徑如測(cè)得ab的長(zhǎng)為 41.5cm， abc=37° . 請(qǐng)你運(yùn)算出球的直徑（精確到1cm）分析：此題實(shí)際上是解直角梯形abfe中的問(wèn)題，作 agcb于 g，在 rt abg中，求出ag即可解：作 ag cb于 g， ad、cb分別與圓相切于e、f， effg， efea，四邊形agfe是矩形， ag=ef在 rt abg中， ab=41.5 ， abg=37°， ag=ab· sin abg=41.5× sin37 ° 25.球的直徑約為25cm.圖 11-1說(shuō)明： 將幾何運(yùn)算題與爭(zhēng)論性學(xué)習(xí)問(wèn)題和方

4、案設(shè)計(jì)問(wèn)題有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，是近年中考題的又一熱點(diǎn)這類題一般難度不太大，關(guān)鍵是考查建模才能.例 2在邊長(zhǎng)為2 的菱形 abcd中， b=45°， ae 為 bc 邊上的高，將abe沿 ae 所在直線翻折得 abe，那么 ab e 與四邊形aecd重疊部分的面積是.學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：解答此題第一要依據(jù)題意，畫(huà)出圖形（如圖11-2 ）然后依據(jù)對(duì)稱性和相關(guān)幾何學(xué)問(wèn)進(jìn)行求解解：在 rt abe中， b=45°， ab=2， ae=be= 2， sabe=1由翻折知：ab e abe， eb=eb=2 b c=bb bc=22 2，四邊形abcd是菱形， cf ba b fc= b

5、 ab=90°, b cf= b=45°圖 11 2 cf=2 bc2221 s b fc=cf22 =32 2 s 陰=s ab e scfb =22 2說(shuō)明： 圖形折疊問(wèn)題的本質(zhì)是全等變換,也是近年中考題中的一個(gè)亮點(diǎn)這類問(wèn)題的解決方法是要抓住因折疊而形成的等線段和等角，這些相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 常用代數(shù)方程求解例 3如圖11 3，在矩形abcd中， ab=12cm， bc=6cm，點(diǎn) p 沿 ab 邊從點(diǎn) a 開(kāi)頭向點(diǎn)b以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn)q沿 da邊從點(diǎn) d 開(kāi)頭向點(diǎn) a 以 1cm/s 的速度移動(dòng) . 假如 p、q同時(shí)動(dòng)身，用 ts表示移動(dòng)的時(shí)間（0

6、 t 6），那么：當(dāng) t 為何值時(shí)，qap為等腰直角三角形？求四邊形qapc的面積；提出一個(gè)與運(yùn)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；當(dāng) t 為何值時(shí)，以點(diǎn)q、a、p 為頂點(diǎn)的三角形與abc相像？dcqa bp圖 11-3分析：中應(yīng)由 qap為等腰直角三角形這一結(jié)論，需補(bǔ)充條件 aq=ap，由 aq=6 t ， ap=2t，可求出 t 的值；中四邊形 qapc是一個(gè)不規(guī)圖形，其面積可由矩形面積減去 dqc與 pbc 的面積求出；中由于題目中未給出三角形的相像對(duì)應(yīng)方式，因此須分類爭(zhēng)論 .解： ap=2t ， dq=t， qa=6 t ，當(dāng) qa=ap，即 6 t=2t ， t=2 （ s）時(shí)， qap為等腰直角三角

7、形； s= 1 ·12·t=6t,s= 1 ·6·1 2 2t=36 6t,s=12· 66t （ 36 6t ） dqc22 pbc2四邊形 qapc=36（ cm），由運(yùn)算結(jié)果可見(jiàn)：在p、q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形qapc的面積始終保持不變； qap= abc=90°，當(dāng)qaabap6t時(shí)， qap abc，bc122t ，6解之得 t=1.2 （ s）；當(dāng) qabcap6t時(shí)， paq abc，ab62t ，12解之得 t=3 （ s ）. 故當(dāng) t=1.2s或 3s 時(shí)，以點(diǎn)q、a、p 為頂點(diǎn)的三角形與abc相像 .說(shuō)明： 本

8、例是動(dòng)態(tài)幾何題， 同時(shí)也是一道探究題 要求同學(xué)具有肯定的發(fā)覺(jué)、 歸納和表達(dá)才能， 這就要求我們通過(guò)運(yùn)算分析，抓其本質(zhì)，揭示出變中不變的規(guī)律其結(jié)論也可提出： “ p、q兩點(diǎn)到對(duì)角線 ac的距離之和保持不變” ，四邊形 qapc的面積也可由 qac與 cap的面積求出， ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載中考察了分類爭(zhēng)論的數(shù)學(xué)思想，結(jié)論具有肯定的開(kāi)放性.例 4.當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站何處觀看最抱負(fù)？如圖 11 4，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)p 距離場(chǎng)面a 米，最低處點(diǎn)q距離場(chǎng)面b 米，觀看者的 眼睛點(diǎn) e 距離地面m米當(dāng)過(guò)點(diǎn) p、q、e 三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)e 的水平線相切于點(diǎn)e 時(shí)，視角 peq最大，站在此處

9、觀看最抱負(fù)(1) 設(shè)點(diǎn) e 到墻壁的距離為x ，求 a、b、m、 x 的關(guān)系式；2 當(dāng) a=2.5 ， b=2， m=1.6 時(shí)，求： 1 和墻壁的距離為x 米；2 視角 peq的度數(shù)（精確到1 度）解： 1 水平直線he切 o于點(diǎn) e.2 he=qh·hp又 he=x， qh=bm， ph=am，2 x =（ am）（ bm） .2 1 當(dāng) a=2.5 ， b=2， m=1.6 時(shí)，由 1 中所得：2x =（ 2.5 1.6 ）（ 2 1.6 ） x=0.6點(diǎn) e 與墻壁距離x 的值為 0.6 米. 2 作 od pr于 d，就 poq=2pod， poq=2peq，圖 114 p

10、eq= pod.在 rt pod中， tan pod= pd5od12 peq=23°說(shuō)明： 將幾何運(yùn)算題富于一個(gè)實(shí)際情境是中考中的一個(gè)新視點(diǎn)， 符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神， 在今后的中考命題將會(huì)有很強(qiáng)的生命力， 解這類題時(shí)， 要能從實(shí)際中抽象出純數(shù)學(xué)問(wèn)題， 然后利用相關(guān)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題 . 復(fù)習(xí)中應(yīng)留意對(duì)常規(guī)題進(jìn)行演化，有對(duì)針性訓(xùn)練 .例 5. 如圖 11-5, 方形 abcd的 ab邊為直徑， 在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為 o，df切半圓于點(diǎn) e，交 ab 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f， bf=4dc求： 1cos f 的值； 2be 的長(zhǎng)eaobf圖 11-5分析： 1 要求 cos f 的值，就要把

11、f“放”到直角三角形中，由于 df是半圓切線，只要連結(jié) of 即可，然后利用相像三角形與切割線定理，求出 of、 ef；2 利用勾股定理和相像三角形即可求得解： 1 連結(jié) oe. df 切半圓于 e， oef=90°，在正方形 abcd中， ab=ad， daf=90°， oef= daf.又 f 為公共角，oef daf. efafoeoedaab1 . 即 af=2ef.2211efab+bf=× 12+4=10. 在 rt oef中， cos f=8422fo105 df 切半圓o 于 e， ef =fb· fa=bf· 2ef， ef=

12、2bf=8， af=2ef=16. ab=af bf=12，fo=.學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 連結(jié) ae， df切半圓于e， eaf= bef. f= f， bef eaf. beeaef8af161 . 設(shè) be=kk 0 ，就 ae=2k， ab 為半圓 o的直徑，2222222 aeb=90° .在 rt aeb中， ae+be=ab ，（ 2k） +k =12 , 12be=k=5 .5說(shuō)明：在相像形、圓等問(wèn)題中滲透三角形函數(shù)學(xué)問(wèn)、方程學(xué)問(wèn)，環(huán)繞有關(guān)相像比、面積之比來(lái)命題是近年中考題命題又一新特點(diǎn)解這類題要善于把三角函數(shù)的值與線段比相互轉(zhuǎn)化，并能設(shè)參數(shù)來(lái)表示有關(guān)線段，運(yùn)用勾股定

13、理或相像三角形的有關(guān)比例式來(lái)解決例 6已知：如圖11-6 與 o2 相交于 a、b 兩點(diǎn)， o1 在 o2 上， o2 的弦 bc 切 o1 與 b，延長(zhǎng) bo1 、ca交于點(diǎn) p， pb與 o1 交于點(diǎn) d求證： ac是 o1 的切線；假如 pd=1， o1 的半徑為2，求 bc的長(zhǎng)o1o2圖 11-6分析：由于ac與 o1 有共公點(diǎn)a，只要證ac ao1 即可欲證 ad o1c，借公共弦這一“橋梁”證 aco1= pad，依據(jù)圖形借助切割線及其推論或三角形相像，通過(guò)線段比來(lái)解決.解：連結(jié)ao1， bc是 o1 的切線， o1bc=90° , 四邊形 ao1bc是 o2 的內(nèi)接四邊

14、形， o1bc+ o1ac=180° . o1ac=90°， ac是 o1 的切線連結(jié) ab, pc切 o1 于點(diǎn) a, pad= abp, 又 aco1= abo1 , pad= aco1 ado1c2 pc是 o1 的切線， pb 是 o1 的割線， pa=pd·pb pd=1， pb=5， pa=5 ac、bc分別切 o1 于 a、b o1b bc， o1a pc pbc=pao1=90°bcpbbc5又 p= p pbc pao1,即bc=25ao1pa25說(shuō)明： 解幾何運(yùn)算綜合題要善于把復(fù)雜的幾何圖形“分解” 為如干個(gè)基本圖形，并綜合這些基本圖

15、形的性質(zhì)及圖形中元素的內(nèi)在聯(lián)系去摸索，就能快速找到解題途徑如此題如把原圖分解為以下兩個(gè)圖形，就的解題思路一目了然圖圖例 7. 有一長(zhǎng)方形的餐廳，長(zhǎng)10m，寬 7m，現(xiàn)只擺放兩套同樣大小的圓桌和椅子，一套圓桌和 椅子占據(jù)的地面部分可看成半徑為1.5m 的圓形（如圖11 7 1 所示） . 在保證通道最狹窄處的寬度不小于0.5m 的前提下，問(wèn)此餐廳內(nèi)能否擺下三套或四套同樣大小的圓桌和椅子呢？請(qǐng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載在擺放三套或四套的兩種方案中選取一種，在右下方14× 20 方格紙內(nèi)畫(huà)出設(shè)計(jì)示意圖.（提示： 畫(huà)出的圓應(yīng)符合比例要求；為了保證示意圖的清楚，請(qǐng)你在有把握后才將設(shè)計(jì)方案正式畫(huà)在方格紙上

16、）圖 1171圖 117 2分析：這是一道方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，圖11-7-2中每一正方形小格寬度均表示0.5m，餐廳內(nèi)能否擺下三套或四套同樣大小的圓桌和椅子，就看能否在圖11-7-2中畫(huà)出三個(gè)或四個(gè)半徑為三格寬 的圓， 并使圓與圓之間、圓與方格紙外邊框之間的間距不少于一格，我們可以按畫(huà)三個(gè)圓、畫(huà)四個(gè)圓分別運(yùn)算.解：此餐廳內(nèi)能擺下三套和四套同樣大小的圓桌和椅子. 擺放三套與四套的設(shè)計(jì)方案參考圖11 7 3、圖 117 4，只要滿意如下條件：每個(gè)圓的半徑為1.5cm ；每個(gè)圓的圓心到方格紙外邊框的距離不小于2cm；任意兩圓的圓心距不小于3.5cm.圖 117 3圖 117 4說(shuō)明：對(duì)于一道運(yùn)用幾何運(yùn)算進(jìn)

17、行探究的綜合型問(wèn)題，要留意相關(guān)的條件, 可以先假設(shè)結(jié)論成立，然后通過(guò)運(yùn)算求相應(yīng)的值，再作存在性的判定. 該試題是在考生簡(jiǎn)單想象的情境中考查學(xué) 生用數(shù)學(xué)的才能，源于生活， 打破常規(guī)， 重視同學(xué)探究問(wèn)題的才能的培育和動(dòng)手操作意識(shí)的形 成，這是今后中考試題的一個(gè)方向.如圖 11-8 ，在 abc中, 已知 bc=6, 求 ab 和 ac的長(zhǎng) . 結(jié)果保留根號(hào)【習(xí)題 11】0c=60 ,sina=0.8,ab c圖 118學(xué)習(xí)必備歡迎下載如圖 11-9 ，掛著“慶祝鳳凰廣場(chǎng)竣工”條幅的氫氣球升在廣場(chǎng)上空，已知?dú)馇虻闹睆綖?m， 在地面 a 點(diǎn)測(cè)得氣球中心o的仰角 oad=60°，測(cè)得氣球的視

18、角bac=2°（ ab、 ac為 o的切線， b、c 為切點(diǎn)）就氣球中心o 離地面的高度od為（）；（精確到1m，參考數(shù)據(jù)sin1 ° =0.0178 ， =1.732 ）a 94mb95mc 99md105m圖 11 93. 如圖 11-10,rt abc中， ac=5， bc=12， acb=90°，ap 是 ab邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)a、b 不重合）， q是 bc邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)b、c 不重合） .c如圖，當(dāng)pqac，且 q為 bc的中點(diǎn)時(shí)，求線段cp的長(zhǎng)；當(dāng) pq與 ac不平行時(shí)， cpq可能為直角三角形嗎？如有pqb圖 1110可能，懇求出線段cq長(zhǎng)的取值范疇

19、；如不行能，請(qǐng)說(shuō)明理由. . 如圖 11 11，將矩形 abcd（ ab ad）沿 bd折疊后，點(diǎn)c 落在點(diǎn) e 處，且 be 交 ad于點(diǎn) f.如 ab=4， bc=8，求 df的長(zhǎng)；e如 da平分 edb，求ab的值 .bcafdb圖 11 11c已知：如圖11-12 ， abc內(nèi)接于 o1，以 ac為直徑的 o2 交 bc于 d，ae 切 o1 于點(diǎn) a，交 o2 于點(diǎn) e. 連 ad、ce，如 ac=7， ad=3求： bc的長(zhǎng)； ce的長(zhǎng) .5, tan b5 .2bae· o2·o1dc圖 1112學(xué)習(xí)必備歡迎下載6. 已知：如圖11 13，在半徑為4 的 o中

20、， ab、cd是兩條直徑， m為 ob的中點(diǎn)， cm的延長(zhǎng)e線交 o于點(diǎn) e，且 em mc，連結(jié) de， de= 15 .求 em的長(zhǎng)；求sin eob的值 .damboc7. 如圖 11 14，如圖， bd 是 o 的直徑， e 是 o 上的一點(diǎn)，直線ae 交 bd 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)a ，bc ae 于 c，且 cbe dbe ；（ 1）求證： ac 是 o 的切線；（ 2）如 o 的半徑為2， ae 42 ，求 de 的長(zhǎng)；圖 11148. 如圖 11-15 ，正三角形abc的邊長(zhǎng)為63 cm, o的半徑為rcm，當(dāng)圓心o從點(diǎn) a 動(dòng)身，沿著線路 ab bcca運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)a 時(shí)， o隨著點(diǎn)

21、 o的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng) .如 r=3 cm, 求 o首次與 bc邊相切時(shí)， ao的長(zhǎng)；在 o移動(dòng)過(guò)程中， 從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，相切有幾種不同的情形？寫(xiě)出不憐憫形下r 的取值范疇及相應(yīng)的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)；設(shè) o在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，在abc內(nèi)部， o未經(jīng)過(guò)的部分面積為s，在 s 0 時(shí)，求關(guān)于r 的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量r 的取值范疇 .aoobc圖 11-159. 如圖 11-16, 已知 a、 b 都經(jīng)過(guò)點(diǎn)c， bc是 a 的切線， b 交 ab 于點(diǎn) d，連結(jié) cd并延長(zhǎng)交 a 于點(diǎn) e，連結(jié) ae.(1) 求證 :ae ab;cadbe學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 求證 : dedc2addb ;(3) 假

22、如 dedc8 ,ae=3, 求 bc的長(zhǎng) .圖 11 16答案部分：【習(xí)題 11】過(guò)b 點(diǎn) 作 abc 的 高bd, 就 在rt bcd 中 ， cd= 1 bc=3,bd= 323 , 在rt abd中,ab=bd33153 ,ad=ab 2bd 293, 從而，93ac=ad+cd=3+sin a0.844400說(shuō)明：遇到60 、sina 應(yīng)聯(lián)想到解直角三角形，為了保證60 、sina 的便利使用，應(yīng)考慮由b點(diǎn)向 ac作高；此題主要應(yīng)用了銳角三角函數(shù)和勾股定理 c3. 在 rt abc中， ac=5， bc=12， acb=90°， ab=13， q 為 bc 的中點(diǎn)， cq=

23、qb又. pq ac，ap=pb.即 p 是 ab的中點(diǎn) . 在 rt abc中，cp= ab213 . 當(dāng) pq與 ac不平行時(shí)，2只有當(dāng) cpq=90°時(shí)， cpq才可能為直角三角形，以cq為直徑作半圓d，當(dāng)半圓d 與 ab相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為m，連結(jié) dm，就 dmab，且 ac=am=5， mb=ab am=135=8. 設(shè) cd=x，就22222210dm=x，db=12x ，在 rt dmb中， db=dm+mb，即（12 x ） =x +8 ，解得 x=. 320.cq=2x=320即當(dāng) cq=3，點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)m位置時(shí)， cpq為直角三角形. 當(dāng)20 cq 12 時(shí)，

24、半圓d3與直線 ab 有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p 運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，cpq為直角三角形. 當(dāng) 0 cq 20 時(shí)，半圓 d 與直線 ab相離，即點(diǎn) p 在 ab 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 均在半圓d 外，0° cpq 90°，3此時(shí) cpq不行能為直角三角形. 綜上可知，當(dāng)20 cq 12 時(shí)， cpq可能為直角三角形.34. 在矩形abcd中， ad bc， dbc= bda，而 dbc= dbe， dbe=bda，因此 bf=df，222設(shè) bf=df=x，就 af=ef=8x ，在 rt afb中， 4 +8 x =x ，解得 x=5，即 df的長(zhǎng)為 5；如da 平分edb，就b

25、dc= bde=2 adb，而 bdc+ adb=90°，adb=30°，ab =bcab =tan30 ° =3 .ad35.1ac是 o2 的直徑， adc=90°，由 ac=7， ad=35, 得學(xué)習(xí)必備歡迎下載dc=ac2ad 22 ，在 rt adb中， tanb= adbd5 , 235bd=526,bc=bd+dc=；82 ac是 o2 的直徑，aec=90°，又 ae 切 o1 于點(diǎn) a， eac=abc,因此 rt aecce rt bda, adac，在 rt adb中， ab=abad 2bd 29 ， ce= acad7

26、5 .ab36. dc為 o的直徑，dec=90°， ec=dc 2de 28215 27. oa=ob=，4m為 ob的中點(diǎn)， am=6，bm=2.設(shè) em=x，就 cm=7 x，由 am·mb=em·mc得，6·2=x·（7 x） , 解得 x1=3， x2=4. 但 em mc， em=4.1 由 知 ， eo=em， 作ef ob 于f ， 就of=mf=ob=1， 在rt eof 中 ，4ef=oe 2of 2421215, sin efeob=oe15 .47. （ 1）證明： 連結(jié) oe，在 oeb中， oe=o，b oeb= obe 而 cbe=dbe= obe oeb= cbe， oe bc 又 bcae ， oeac點(diǎn) e 在 o上， ac 是 o的切線.（ 2） ac 切 o于 e ，ae 2adab ，而 ae42, db2ob4, ，代入上式得：42 2ad ad4 ， 解得 ad4 或 ad8 （舍去） .由于 ae 22adab ，aa ， ade aeb dead1ebae2 .設(shè) de=x,就在 rt deb中， be2x ， x2 x 216解得x433de.8. 設(shè) o首次與 bc相