1、一、有效集與最優投資組合一、有效集與最優投資組合二、馬科維茨模型二、馬科維茨模型三、完全資產組合三、完全資產組合四、允許賣空下的資產組合理論四、允許賣空下的資產組合理論略略 通過本章的學習，應該能夠達到 掌握可行集、有效集與最優投資組合； 運用馬科維茨模型計算有效投資組合； 重點掌握最優風險資產組合、完全資產組合； 掌握單指數模型。 現代投資理論的產生以現代投資理論的產生以1952年年3月月Harry.M.Markowitz發發表的表的投資組合選擇投資組合選擇為標志為標志 1962年，年，Willian Sharpe對資產組合模型進行簡化，提出對資產組合模型進行簡化，提出了資本資產定價模型（了

2、資本資產定價模型（Capital asset pricing model， CAPM） 1976年，年，Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的套利定價模的套利定價模型（型（Arbitrage pricing theory，APT） 上述的幾個理論均假設市場是有效的。人們對市場能夠上述的幾個理論均假設市場是有效的。人們對市場能夠地按照定價理論的問題也發生了興趣，地按照定價理論的問題也發生了興趣，1965年，年，Eugene Fama在其博士論文中提出了有效市場假說（在其博士論文中提出了有效市場假說（Efficient market hypothesis，EMH）一、馬科維茨理論假

3、設一、馬科維茨理論假設二、可行集二、可行集三、有效集三、有效集四、最優資產組合的選擇四、最優資產組合的選擇 一、一、馬柯維茨理論假設馬柯維茨理論假設 第一，單一期間假設第一，單一期間假設，即投資者持有資產的期間是確定的，在期間開始持，即投資者持有資產的期間是確定的，在期間開始持有證券，并在結束時售出。多期投資只是對單期投資的重復。有證券，并在結束時售出。多期投資只是對單期投資的重復。 第二，終點財富的預期效用最大化第二，終點財富的預期效用最大化，投資者的效用函數只是預期風險和收，投資者的效用函數只是預期風險和收益的函數。益的函數。 第三，市場是完全的第三，市場是完全的，即市場不存在交易費用和稅

4、收，不存在進入或者退，即市場不存在交易費用和稅收，不存在進入或者退出市場的限制，所有的市場參與者都是價格的接受者，市場信息是有效的。出市場的限制，所有的市場參與者都是價格的接受者，市場信息是有效的。 第四、投資者為理性的個體第四、投資者為理性的個體，服從不滿足和風險厭惡假設；在給定預期風，服從不滿足和風險厭惡假設；在給定預期風險后，投資者偏好更高的預期收益，另一方面，在給定預期收益后，投資者偏險后，投資者偏好更高的預期收益，另一方面，在給定預期收益后，投資者偏好更低的風險。好更低的風險。 第五，投資者用預期收益的第五，投資者用預期收益的期望值期望值來描述一項投資；用預期收益的來描述一項投資；用

5、預期收益的波動性波動性（方差）（方差）來估計投資的風險。來估計投資的風險。 第六，資產具有無限可分性。第六，資產具有無限可分性。 二、可行集二、可行集 可行集指的是由可行集指的是由N種證券所形成的所有組合的集合，它包括了現實種證券所形成的所有組合的集合，它包括了現實生活中所有可能的組合。也就是說，所有可能的組合將位于可行集的邊生活中所有可能的組合。也就是說，所有可能的組合將位于可行集的邊界上或內部。界上或內部。 （一）兩項資產組合可行集（一）兩項資產組合可行集 兩項資產組合的收益與風險如下： 其中：122122222121222112RwwwwRwRwpp2112 1.假設：假設： 12 1，

6、兩種資產完全正相關，兩種資產完全正相關，W2=1-W1 ，則有，則有 其中： 當W1=1時，則有p=1 ，Rp=R1 當W2=1時，則有p=2，Rp=R2 因此，當1212 1 1時，兩項資產組合的可行集為連接（R1，1 ）和（R2，2）兩點的直線。2121222221212211121RwwwwRwRwpp）（21111）（wwp1111212121 112212121221212221212()(1)()/()()(1)()/()(1 ()/()pppppppwwwwrwrw rrrrrrrr 則 從而故命題成立，證畢。規則規則1：完全正相關的兩種資產構成的可行集是一條直線。：完全正相關的

7、兩種資產構成的可行集是一條直線。證明過程如下：證明過程如下： 2.假設：假設： 12 -1，兩種資產完全負相關，兩種資產完全負相關，W2=1-W1 ，則有，則有 其中： 當 時，則有p=0 2121222221212211121RwwwwRwRwpp）（21111）（wwp2121w221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr，得到代入將，即可以得到時，有，當pppppwfwwwwwR假設21211212121112121)()1 (2112112111212221212,()(1)()ppppwwwwrrrrrr 同理可證當時，則命題成立，證畢。規則規則2：完全負

8、相關的兩種資產構成的可行集是兩條直線，：完全負相關的兩種資產構成的可行集是兩條直線， 其截距相同，斜率異號。其截距相同，斜率異號。11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 當1時尤其當 時這是一條二次曲線，事實上，當1時，可行集都是二次曲線。規則規則3： 當當-1 121時，曲線為介于直線與折線之間時，曲線為介于直線與折線之間 一條平滑曲線。一條平滑曲線。3. 假設：假設：-1 120。根據無風險資產的定義，我們有和都等于0。我們可以算出 該組合的預期收益率（Rc） 為： 該組合的標準差（ c

9、）為：niffppiicrXRXRXR1ppninjijjicXXX11 由上式可得： ， ，代入得： 由于Rp、rf和p已知，上式是線性函數，其中 為單位風險報單位風險報酬（酬（Reward-to-Variability）。）。由于Xp、Xf0，因此上式所表示的只是一個線段， 其中：A點表示無風險資產，B點表 示風險資產，由這兩種資產構成的投資組合的預 期收益率和風 險一定落在A、B這個線段上，因 此AB連線可以連線可以 稱為資本配置線。稱為資本配置線。pcpXpcfX1cpfpfcrRrRpfprR 請看例題分析【例6-2】詳見P103圖6-6 資本配置線 四、四、無風險資產無風險資產與與

10、風險資產組合風險資產組合的投資組合的投資組合 （一）投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形（一）投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形 假設風險資產組合B是由風險證券C和D組成的。根據前面的分析可得，B一定位于經過C、D兩點的向上凸出的弧線上，如圖6-7所示。則資本配置線的結論同樣適用于由無 風險資產和風險資產組合構成的投 資組合的情形。在圖6-7中，這種投 資組合的預期收益率和標準差一定 落在A、B線段上。圖6-7 資本配置線 （二）無風險資產對馬科維茨有效集的影響二）無風險資產對馬科維茨有效集的影響 在圖6-8中，弧線CD代表馬科維茨有效集，A點表示無風險資產。我們可以在馬科維茨有效集

11、中找到一點T，使AT直線與弧線CD相切于T點。T點所代表的組合稱為切點處投資組合。 因為沒有任何一種風險資產或風險資 產組合與無風險資產構成的投資組合可以 位于AT線段的左上方。AT線段的斜率最 大，因此T點代表的組合被稱為最優風險最優風險 組合（組合（Optimal Risky Portfolio）。引入無 風險資產后，新的有效集由AT線段和TD 弧線構成。 圖6-8 最優風險資產組合 從圖6-8可以看出，實際上是使無風險資產（A點）與 風險資產組合的連線斜率（即 ）最大的風險資產組合，其中 和 分別代表風險資產組合的預期收益率和標準差， 表示無風險利率。我們的目標是求 11frR 11f，

12、XXrRMaxBA 其中限制性條件包括： 這是標準的求極值問題。通過將目標函數對XA求偏導并另偏導等于0，我們就可以求出最優風險組合的權重解如下： 假設市場上有A、B兩種證券，其預期收益率分別為8%和13%，標準差分別為12%和20%。A、B兩種證券的相關系數為0.3。市場無風險利率為5%。求某投資者決定用這兩只證券組成最優風險組合的收益率、風險和有效邊界表達式。 請看例題分析【例6-3A】 假設市場上有三種資產構成，其中一個是專門投資于長期債券的債券基金D，一個是專門投資于股權證券的股票基金E。它們的預期收益率分別為10%和15%，標準差分別為18%和24%。A、B兩種證券的相關系數為0.5

13、。無風險利率為5%，請運用投資組合理論為該投資者設計一個風險資產組合。 請看例題分析【例6-3B】 （三）無風險資產對投資組合選擇的影響三）無風險資產對投資組合選擇的影響 對于不同的投資者而言，無風險資產的引入對他們的投資組合選擇有不同的影響。 圖6-9 無風險資產對投資組合選擇的影響（a） （b） 投資組合（包括無風險資產和最優風險組合）的預期收益率和標準差分別是： 投資者效用函數： 其中：y表示投資者分配給最優風險組合的投資比例， A表示風險厭惡系數。 投資者的目標是通過選擇最優的資產配置比例y來使他的投資效用最大化：即 使得投資者效用最大化，就是將U對y的求偏導數，并令其等于0，得到：

14、，即為最優完全資產組合比例。221PPARU212211yRyryRPfP21215 . 01AyRyryUMaxfy211*ArRyf 繼續前面的例子，投資者面臨的最優風險組合的預期收益率和標準差分別為11%和14.2%。如果該投資者的風險厭惡系數A=4，求該投資者的最優完全資產組合。 請看例題分析【例6-4A】 市場上有三種資產，長期債券基金D，股票基金E和無風險的國庫券。E(rd)=8%，E(re)=13%，Rf=5%；d=12%，e=20%，=0.3；Wd=0.4，We=0.6。假設投資者風險厭惡程度為A=4，試計算并給出該投資者最佳資產配置決策。 請看例題分析【例6-4B】圖6-10

15、 最優全部資產組合確定 假設市場上有三種資產構成，其中一個是專門投資于長期債券的債券基金D，一個是專門投資于股權證券的股票基金E。它們的預期收益率分別為10%和15%，標準差分別為18%和24%。A、B兩種證券的相關系數為0.5。還有一種投資于年收益率為5%的無風險國庫券。已知一個投資者的風險厭惡系數為A2，請運用投資組合理論為該投資者設計一個投資組合。 請看例題分析【例6-5】 五、分離定理五、分離定理 無論投資者的偏好如何，直線上的點就是最優投資組合，形象地，該直線將無差異曲線與風險資產組合的有效邊界分離了。分離定理分離定理（Separation theoremSeparation the

16、orem）：投資者對風險的規避程度與該投資者風險資）：投資者對風險的規避程度與該投資者風險資產組合的最優構成是無關的。產組合的最優構成是無關的。由分離定理，資產組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資產選擇決策（Asset allocation decision）和資本配置決策（Capital allocation decision）。基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優的風險組合。 所有的投資者，無論他們的風險規避程度如何不同，都會將切點組合（風險組合）與無風險資產混合起來作為自己的最優風險組合。因此，無需先確知投資者偏好，就可以確定風險資產最優組合。風險厭惡較低的投資者可以多投

17、資風險基金，少投資無風險證券。反之亦反。一、允許借入無風險資產的投資組合一、允許借入無風險資產的投資組合二、無風險借款對有效集的影響二、無風險借款對有效集的影響三、無風險借款對投資組合選擇的影響三、無風險借款對投資組合選擇的影響四、無風險借款利率不相等情況下投資組合 1無風險借款并投資于一種風險資產的情形無風險借款并投資于一種風險資產的情形 為了考察無風險借款對有效集的影響，我們首先分析投資者進行無風險借款并投資于一種風險資產的情形。 引入無風險借款后，有效集也將發生重大變化。在圖6-13中，弧線CD仍代表馬科維茨有效集，T點仍表示CD弧線與過A點直線的相切點。在允許無風險借款的情形下，投資者

18、可以通過無風險借款并投資于最優風險資產組合T使有效集由TD弧線變成AT線段向右邊的延長線。 對于不同的投資者而言允許無風險借款對他們的投資組合選擇的影響也不同。 對于厭惡風險程度較輕，從而其選擇的投資組合位于DT弧線上的投資者而言，由于代表其原來最大滿足程度的無差異曲線I1與AT直線相交，因此不再符合效用最大化的條件。因此該投資者將選擇其無差異曲線與AT直線切點所代表的投資組合。如圖6-14（a）所示。對于該投資者而言，他將進行無風險借款并投資于風險資產。 對于較厭惡風險從而其選擇的投資組合位于CT弧線上的投資者而言，其投資組合的選擇將不受影響。因為只有CT弧線上的組合才能獲得最大的滿足程度，如圖6-14（b）所示。對于該投資者而言，他只會用自有資產投資于風險資產，而不會進行無風險借款。 綜上所述，在允許無風險借貸的情況下，有效集變成綜上所述，在允許無風險借貸的情況下，有效集變成一條直線，該直線經過無風險資產一條直線，該直線經過無風險資產A點并與馬科維茨有效集點并與馬科維茨有效集相切。相切。 圖6-15 具有無風險借出和無借入情況下的資產組合選擇圖6-16 無風險借貸利率不相等條件下的CML：三段曲線