1、1 本章討論把一個(gè)n元二次齊次多項(xiàng)式化為僅含有完全平方項(xiàng)的和的形式，并研究有關(guān)的性質(zhì)。 第1頁/共16頁2第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念定義一、二次型及其矩陣稱為一個(gè)(n元)二次型.的的二二次次齊齊次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式個(gè)個(gè)變變量量含含有有nxxxn,21),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 本書只討論實(shí)二次型，即系數(shù)全是實(shí)數(shù)的二次型。 第2頁/共16頁3),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 由

2、由于于ijjixxxx ，具具有有對對稱稱性性，若若令令ijjiaa ，ji ，則則 ijjijiijjiijxxaxxaxxa 2，ji ， 于是上述二次型可以寫成如下求和形式 第3頁/共16頁4nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxxaxaxxa22322322221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa ,11 ninjjiijxxa),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 ),(21nxxxf 第4頁/共16頁5 ninjjiijnxxaxxxf1

3、121),(記,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX則上述二次型可以用矩陣形式表示為 ,),(21AXXxxxfTn A稱為二次型 的矩陣。 ),(21nxxxf第5頁/共16頁6A的秩稱為該二次型的秩。,),(21AXXxxxfTn A稱為二次型 的矩陣。 ),(21nxxxfA是一個(gè)實(shí)對稱矩陣。 事實(shí)上，由一個(gè)實(shí)對稱矩陣也可構(gòu)造唯一的實(shí)二次型，也就是說，實(shí)二次型與實(shí)對稱矩陣是互相唯一確定的，所以，研究二次型的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究A所具有的性質(zhì)。 第6頁/共16頁7例1設(shè)二次型 3131212322213216422),(xxxxxxxxxxxxf 求二

4、次型的矩陣A和二次型的秩。解, A211 1 223 3 1 132311212A 710410311,100410311 所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。第7頁/共16頁8例2求二次型 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 的矩陣A和二次型的秩，解其其中中321,aaa不不全全為為零零。 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 2321321),( aaaxxx,),(),(321321321321 xxxaaaaaaxxx所以二次型 f 的矩陣為),(321321aaaaaaA ,232313322212312121 aaaaaaaaaaaaaaa.1)(r

5、 A第8頁/共16頁9二、線性變換二、線性變換dcybxyax 222 cossinsincosyxyyxx選選擇擇適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡?，消消去去交交叉叉項(xiàng)項(xiàng), ,可可使使上上面面的的方方程程化化為為 ,22dybxa 上上述述yx ,由由yx ,的的線線性性表表達(dá)達(dá)式式給給出出，通通常常稱稱為為線線性性變變換換。一一般般有有下下面面的的定定義義。 在平面解析幾何中，為了確定二次方程 所表示的曲線的性態(tài)，通常利用轉(zhuǎn)軸公式： 第9頁/共16頁10定義關(guān)系式 nnnnnnnnnnxcycycxycycycxycycycx22112222121212121111稱稱為為由由變變量量nxxx,21到到nyy

6、y,21的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換。 記,21 nxxxX,212222111211 nnnnnncccccccccC,21 nyyyY則上述線性變換可以寫成矩陣形式：.CYX 第10頁/共16頁11,22112222121212121111 nnnnnnnnnnxcycycxycycycxycycycx.CYX C 稱為該線性變換的矩陣。 若若0 C，則則此此線線性性變變換換稱稱為為可可逆逆線線性性變變換換。 如果C 為正交矩陣，則此線性變換稱為正交變換。 cossinsincosyxyyxx容易驗(yàn)證，轉(zhuǎn)軸公式是一個(gè)正交變換。第11頁/共16頁12三、矩陣的合同關(guān)系三、矩陣的合同關(guān)系將將可

7、可逆逆線線性性變變換換CYX ， 代代入入二二次次型型AXXxxxfTn ),(21，得得 AXXT)()(CYACYT YACCYTT)( ,ACCBT 其中其中,BYYT 由由于于A是是實(shí)實(shí)對對稱稱陣陣，則則ACCBT 也也是是實(shí)實(shí)對對稱稱陣陣，于于是是BYYT是是一一個(gè)個(gè)以以nyyy,21為為變變量量的的實(shí)實(shí)二二次次型型。 由于C是可逆矩陣，所以A和B秩相等,從而兩個(gè)二次型的秩相等。 第12頁/共16頁13設(shè)設(shè)BA,是是兩兩個(gè)個(gè)n階階矩矩陣陣，如如果果存存在在n階階可可逆逆矩矩陣陣C，使使得得 ACCBT ，則則稱稱A與與B合合同同, ,記記為為 A B. . 定義 與矩陣的相似關(guān)系類似，矩陣之間的合同關(guān)系也具有以下性質(zhì)。 (1)反身性：(2)對稱性：(3)傳遞性：對對任任何何方方陣陣A，總總有有 ； A A若若 ，則則有有 ； A BB A若若 , ,且且 , ,則則有有 . . A BB CA C證明只證(3)，其余留作練習(xí)。,11ACCBT ,22BCCCT 2112)( CACCC