1、第八章 空間解析幾何答案 第八章 空間解析幾何答案 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 8.1向量及其線性運(yùn)算 1.填空題 （1）點(diǎn)(1,1,1)關(guān)于xoy面對稱的點(diǎn)為（(1,1, 1)），關(guān)于yoz面對稱的點(diǎn)為（( 1,1,1)），關(guān)于xoz面對稱的點(diǎn)為（(1, 1,1)）. （2）點(diǎn)(2, 1,2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為（(2,1, 2)），關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（( 2, 1, 2)），關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)為（( 2,1,2)），關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（( 2,1, 2)）. 2. 已知兩點(diǎn)m1(1,1,1)和m2(2,2,1)，計(jì)算向量12的模、方向余弦和方向角. 解：由于12 (1,1,0)，故|1

2、2| 2，方向余弦為cos 2 2 ，cos 2 2 ，cos 0，方向角為 4， 4， 2. 3. 在yoz平面上，求與a(1,1,1)、b(2,1,2)、c(3,3,3)等距離的點(diǎn). 解：設(shè)該點(diǎn)為(0,y,z)，則 1 (y 1)2 (z 1)2 4 (y 1)2 (z 2)2 9 (y 3)2 (z 3)2， 即 1 (z 1)2 4 (z 2)2 z 3 4 (y 1)2 (z 2)2 9 (y 3)2 (z 3) 2 ，解得 ，則該點(diǎn) y 3為(0,3,3). 4. 求平行于向量a 2i 3j 4k的單位向量的分解式. 解：所求的向量有兩個(gè)，一個(gè)與a同向，一個(gè)與a反向. 由于 |a|

3、 22 32 ( 4)2 29，所以ea 129 (2i 3j 4k). 5.設(shè)m i 2j 2k，n 2i j k，求向量a 4m n在各坐標(biāo)軸上的投影及分向量. 解：由于a 4m n 4(i 2j 2k) (2i j k) 6i 9j 7k， 所以在x軸上的投影為ax 6，分向量為axi 6i，y軸上的投影為 ay 9，分向量為ayj 9j，z軸上的投影為az 7，分向量為azk 7k. 6. 在yoz平面上，求與a(1,2,1)、b(2,1,0)和c(1, 1,1)等距離的點(diǎn). 第八章 空間解析幾何答案 解：設(shè)所求的點(diǎn)為p(0,y,z)，由|am| |bm| |cm|可得 12 (y 2

4、)2 (z 1)2 22 (y 1)2 z 21 z 1 (y 1) (z 1) ，解之得y 22 (y 1)2 2222 2，z 0故所求的點(diǎn)為(0,12 ,0). 7. 已知點(diǎn)b(1, 2,6)且向量在x軸、y軸和z軸上的投影分別為 4,4,1，求點(diǎn)a的坐標(biāo). 解：設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為(x,y,z)，由題意可知(1 x, 2 y,6 z) ( 4,4,1)，則x 5,y 6,z 5，即點(diǎn)a的坐標(biāo)為(5, 6,5). 8.試用向量法證明：三角形各邊依次以同比分之，則三個(gè)分點(diǎn)所成的三角 形必與原三角形有相同的重心. 證明：若a(x1,y1,z1)、b(x2,y2,z2)、c(x3,y3,z3)是一個(gè)

5、 fgh的三個(gè) 頂 點(diǎn) ， 設(shè) 三 角 形 的 重 心 為 e ，則 e 13(a b c) 1 3 (x1 x2 x3,y1 y2 y3,z1 z2 z3) 設(shè) abc的同比m n 之分點(diǎn)分別為f、g、h，分點(diǎn)的坐標(biāo)為 f( nx1 mx2n m,ny1 my2nz1 mz2 n m,n m ) g( nx2 mx3n m,ny2 my3n m,nz2 mz3 n m ) h( nx3 mx1ny3 my1nzn m,n m,3 mz1 n m ) 則三角形 fgh的重心為 1 3(f g h) (nx1 mx2nx2 mx3nx3 mx1n m n m n m ,ny1 my2ny2 my

6、3ny3 my1nz1 mz2nz2 mz3nz3n m n m n m,n m n m mz1 n m) 1 3 (x1 x2 x3,y1 y2 y3,z1 z2 z3). 所以三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心. 8.2 數(shù)量積 向量積 1.若|a| 3,|b| 4,(a,b) 3 ，求c 3a 2b的模. 解：|c|2 (3a 2b) (3a 2b) 3a 3a 2b 3a 3a 2b 2b 2b 9|a|2 12a b 4|b|2 9 32 12 3 4 cos 3 4 42 73 所以|c| 73. 2.已知|a b| |a b|，證明：a b 0. 第八章 空間解析幾何答

7、案 證明：由|a b| |a b|，可得|a b|2 |a b|2，可知 (a b) (a b) (a b) (a b) ，綻開可得 |a|2 |b|2 2a b |a|2 |b|2 2a b，即4a b 0，故a b 0. 3.已知|a| 10,|b| 18,|a b| 20，求|a b|. 解：由于 400 |a b|2 (a b) (a b) |a|2 |b|2 2a b 100 324 2a b 所以2a b 24，|a b| (a b) (a b) a|2 |b|2 2a b 324 24 87. 4.已知a (1,2,4)，b (3, 3,3)，求a與b的夾角及a在b上的投影. 解

8、：a b 1 3 2 ( 3) 4 3 9， cos 9 7 4 16 9 9 9 7 ， arccos 7 . 由于 a b |b|prj9 ba，所以prjba 33 . 5.已知a,b,c為單位向量，且滿意a b c 0，計(jì)算a b b c c a. 解：由于(a b c) (a b c) 0，所以 |a|2 |b|2 |c|2 2a b 2b c 2c a 0， 而|a|2 |b|2 |c|2 1，所以a b b c c a 32 . 6.求與a i 2j k,b 2i j 3k都垂直的單位向量. 解： ijkc a b 12 1 21 1 5j 3k 21 3 1 3 i 12 3

9、j 1221 k 7i而|c| ( 7)2 52 ( 3)2 ，所以ec 1( 7,5, 3). 7.設(shè) a 5b, 6a 18b, 8(a b)，試證a、b、d三 點(diǎn)共線. 證明：只需證明/. 由于 2a 10b 2(a 5b) 2，所以/. 8.已知a (1, 2,3)，b (2,m,0)，c (9, 3,9) （1）確定m的值，使得a b與c平行. 第八章 空間解析幾何答案 （2）確定m的值，使得a b與c垂直. 解：（1）要使a b與c平行，只需(a b) c 0，由于 a b (3,m 2,3)，而 j(a b) c m 2 (9m 9,0,9 9m)， 3所以當(dāng)m 1時(shí)a b與c平

10、行. （2）要使a b與c垂直，只需(a b) c 0，由于a b ( 1, m 2,3)，而(a b) c ( 1, m 2,3) (9, 3,9) 9 3m 6 27 3m 24，所以當(dāng)m 8時(shí)，a b與c垂直. 8.3 曲面及其方程 1.填空題 （1）將xoz坐標(biāo)面上的拋物線z2 4x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（z2 y2 4x），繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 為（z2 4x2 y2 ）. （2）以點(diǎn)(2, 3,2)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為 （(x 2)2 (y 3)2 (z 2)2 17）. （3）將xoy坐標(biāo)面的圓x2 y2 4繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成

11、的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程為（x2 y2 z2 4）. 2.求與點(diǎn)a(1,2,1)與點(diǎn)b(1,0,2)之比為1:2的動點(diǎn)的軌跡，并注明它是什么曲面. 解：設(shè)動點(diǎn)為p(x,y,z)，由于|pa|:|pb| 1:2，所以 2(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 1)2 (y 0)2 (z 2)2，解 之 ， 可 得 3x2 3y2 3z2 6x 16y 4z 19 0 ，即 (x 1)2 (y 82203)2 (z 3)2 9，所以所求的動點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn) (1,83,23)為心，半徑為23 的球面. 3.求與點(diǎn)(2,1,3)和點(diǎn)(4,2,4)等距離的動點(diǎn)的軌跡. 解：設(shè)動點(diǎn)為p(x,y,z)，由

12、題意知 (x 2)2 (y 1)2 (z 3)2 (x 4)2 (y 2)2 (z 4)2， 第八章 空間解析幾何答案 整理得2x y z 11 0. 4. 寫出下列曲面的名稱，并畫出相應(yīng)的圖形. （1）16x2 9y2 9z2 25. 解：該曲面為單葉雙曲面. （2）16x2 9y2 9z2 25. 解：該曲面為雙葉雙曲面. ） x2 y2（3z2 4 25 1. 解：該曲面為旋轉(zhuǎn)橢球面. （4）x2 y2 9x. 解：該曲面為雙曲柱面. （5）y2 z2 9x. 解：該曲面為橢圓拋物面. （6）4(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 0. 解：該曲面為橢圓錐面. 8.4 空間曲線及其方

13、程 1. 填空題 （1）二元一次方程組 y 2x 1 4x 3 在平面解析幾何中表示的圖形是（兩相 y交直線的交點(diǎn)(2,5)）；它在空間解析幾何中表示的圖形是（兩平面的交線，平行于z軸且過點(diǎn)(2,5,0)）. （2）旋轉(zhuǎn)拋物面z x2 y2(0 z 2)在xoy面上的投影為 （ z x2 y2 z 2 ），在xoz面上的投影為（x2 z 2），在yoz面上的投 影為（y2 z 2）. 2.求球面x2 y2 z2 4與平面x z 1的交線在xoy面上的投影方程. 解：將z 1 x代入x2 y2 z2 4，得x2 y2 (1 x)2 4，因此投影方程為 z 0 2x2 2x y2 3 . 3.分別

14、求母線平行于x軸、y軸及z軸且通過曲線 x2 2y2 z2 4 x2 y2 2z2 0 的柱面方程. 第八章 空間解析幾何答案 解：在 x2 2y2 z2 422 x2 y2 2z2 0中消去x得3y z 4，即為母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程. 在 x2 2y2 z2 4 y3x2 2 x2 y2 2z2 0 中消去得5z 4，即為母線平行于y軸且通過曲線的柱面方程. 在 222 x 2y z 422 2z 0 中消去z得x 5y 8，即為母線平行于z軸且 x y2 22 通過曲線的柱面方程. 4.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程： （1） (x 1)2 y2 z2 4x 1 . y 解

15、：將y x 1代入(x 1)2 y2 z2 4得2(x 1)2 z2 4，即 (x 1)2z2(2)2 4 1. 令x 1 2cos ，z 2sin ，所求的參數(shù)方程為 x 1 2cos y 2cos . z 2sin （2） x2 y2 z2 9 x2 z2 4 . 解：做變換 x 2cos sin ，將其帶入方程x2 y2 z2 92 z 2，即得y 5. 所 x 2以參數(shù)方程為 cos y 5（0 2 ）. z 2sin x 25.求螺旋線 cos y 2sin 在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程. z 3 解：螺旋線在xoy面上的投影為 x 2cos y 2sin ，直角坐標(biāo)方程為

16、 x2 y2 4. z 0 z 0螺旋線在yoz面上的投影為 y 2sin z 3 ，直角坐標(biāo)方程為 z y 2sin 3. x 0 x 0 第八章 空間解析幾何答案 螺旋線在zox面上的投影為 x 2cos z z 3 ，直角坐標(biāo)方程為 x 2cos 3. y 0 y 06.畫出下列方程所表示的曲線： （1） x2 y2 4z2 16 z 1 . 22 （2） x z y x2 (y 2)2 1 . x2z2 （3） 4 16 1. y 48.5 平面及其方程 1. 填空題 （1）一平面過點(diǎn)(1,1, 4)且平行于向量a (2,1, 1) 和b (1,0,1)，平面的點(diǎn)法式方程為（(x 1)

17、 3(y 1) (z 4) 0）,平面的一般方程為（x 3y z 2 0）,平面的截距式方程（ xyz2 2 1）,平面的3 2 一個(gè)單位法向量為（ 11 (1, 3,1)）. （2）設(shè)直線l的方程為 a1x b1y c1z d1 0 a2 x b2y c，當(dāng)（d1 d2 0） 2z d2 0時(shí)，直線l過原點(diǎn)；當(dāng)（a1 a2 0）且（d1 0或d2 0有一個(gè)成立）時(shí)，直線l平行于x軸但不與x軸相交；當(dāng)（ b1d1 b ）時(shí)，直線l與y2d2 軸相交；當(dāng)（c1 c2 d1 d2 0）時(shí)，直線l與z軸重合. 2.求過三點(diǎn)(1, 1,1)，(3,1, 3)和(0,1,2)的平面方程. 解：由平面的三

18、點(diǎn)式方程知，所求的平面方程為 x x1y y1z z1x 1y 1z 1x2 x1y2 y1z2 z1 3 11 1 3 1 x3 x1y3 y1z3 z1 0 11 1 2 1 x 1y 1z 1 2 2 4=0，即5x y 3z 7 0. 1 2 1 3.求過點(diǎn)(1, 1,1)且垂直于兩平面x y 2z 0和x 2y 5z 0的平面 第八章 空間解析幾何答案 方程. i jk 解：該平面的法向量為1 2 i 7j 3k，平面的方程為 2 5 (x 1) 7(y 1) 3(z 1) 0，即x 7y 3z 5 0. 4.求點(diǎn)(1,2,1)到平面x 2y 2z 10 0的距離. 解：點(diǎn)p0 (x

19、0,y0,z0)到平面ax by cz d 0的距離公式是 d |ax0 by0 cz0 d| a2 b2 c 2 ，因此點(diǎn)(1,2,1)到平面x 2y 2z 10 0 的距離為d |1 1 2 2 2 1 10| 2 22 2 2 1. 5.求平面x 2y z 5 0與各坐標(biāo)面的夾角的余弦. 解：所給平面的法向量為n (1, 2,1)，設(shè)該平面與xoy面、yoz面和zox面的夾角為 z、 x和 y，于是 cos n k|1 0 2 0 1 1|1 z |n| 2 ( 2)2 1 2 6， cos |n i|1 1 2 0 1 0|1 x |n| 2 ( 2)2 12 6， cos |n j|

20、y |n| |1 0 2 1 1 0|2 2 ( 2)2 1 2 6. 6.求過點(diǎn)(1, 4,5)且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的平面的方程. 解：設(shè)所求平面的方程為 xya a y a 1，由于點(diǎn)(1, 4,5)在平面上，則1a 4a 5a 1，a 2，所求方程為x y z 2 0. 7.分別按下列條件求平面方程： （1）平行于yoz平面且經(jīng)過點(diǎn)(2, 3, 2)； （2）通過y軸和點(diǎn)(2, 1,1)； （3）求平行于x軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)(2,1, 2)和(4,0, 1)的平面方程. 解：（1）yoz平面的法向量是n (1,0,0)，可作為所求平面的法向量，因此所求平面的方程為1 (x 2) 0 (

21、y 3) 0 (z 2) 0，即x 2. （2）所求平面的法向量即垂直于y軸又垂直于向量n (2, 1,1)，所以所 第八章 空間解析幾何答案 i jk求平面的法向量為2 11 i 2k，因此所求平面的方程為 1 1 (x 2) 0 (y 1) 2 (z 1) 0，即x 2z 0. （3）由于所求平面平行于x軸，故設(shè)所求平面方程為by cz d 0. 將 點(diǎn)(2,1, 2)和(4,0, 1)分別代入by cz d 0得b 2c d 0及 c d 0，解得c d及b d. 因此所得方程為dy dz d 0， 即y z 1 0. 8.6 空間直線及其方程 1. 填空題 （1）直線xy1 2 z 4

22、 和平面x 2z 4z 4的關(guān)系是（平面與直線相互垂直）. （2）過點(diǎn)(1, 1,0)且與直線 x 32 y 1z 2 1 3 平行的直線的方程是（x 12 y 11 z 3 ）. （3）直線x 1 x y1 y 5 2 z 8 6 1與直線 的夾角為（）. 2y z 3 32.化直線 x y z 2 2x y z 5 為對稱式方程和參數(shù)方程. i j k 解：直線的方向向量為s n1 n2 1 11 2i j 3k. 取211 x0 1，代入直線方程可得y0 1，z0 2. 所以直線的對稱式方程為 x 1y 1z 2 1 2 3 . 令x 1 2 y 11 z 2 x 1 2t3 t，所給直

23、線的參數(shù)方程為 y 1 t. z 2 3t 3.求過點(diǎn)(2,0,3)且與直線 x 2y 4z 7 3x 5y 2z 1垂直的平面方程. 解：直線的方向向量可作為所求平面的法向量，即 ijk n n1 n2 1 24 ( 16,14,11). 35 2 所求平面的方程為 16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0，即 16x 14y 11z 1 0. 第八章 空間解析幾何答案 4. 求直線 x 3y z 2 0 x y z 2x y z 1 0與直線 0 y 2z 1 0 夾角的余弦. i j k 解：由于兩直線的方向向量為n1 3 1 4i 2j 2k， 1 1 ijk n2 11 1

24、 3i 2j k，設(shè)兩直線的夾角為 ，則 012cos |4 3 2 2 2 1|521 42 22 2232 ( 2)2 12 42 . 5. 求點(diǎn)p(2,1,5)在直線l: x 11 y 13 z 1 上的投影. 解：過p(2,1,5)作垂直于已知直線l的平面 ，則其法向量n (1,3, 1)，于是平面的方程為(x 2) 3(y 1) (z 5) 0，即x 3y z 0. x 1 t 將已知直線的參數(shù)方程 y 1 3t代入x 3y z 0，可得t 4，因 z t 11此點(diǎn)p(2,1,5)在直線l上的投影即為平面 與直線l的交點(diǎn) ( 711, 111,4 11 ). 6. 求直線l: 2x

25、3y z 0 在平面 :2 3x y z 8 0x y z 1上的投影直線 的方程. 解：設(shè)所給直線l的平面束方程為2x 3y z (3x y z 8) 0，即 (2 3 )x (3 )y (1 )z 8 0，其中 為待定常數(shù)，要使該平 面與已知平面 垂直，則有2(2 3 ) (3 ) (1 ) 0，解得 4 3 ，將其代入(2 3 )x (3 )y (1 )z 8 0，可得6x 5y 7z 32，因此直線l在平面 上的投影直線方程為 6x 5y 7z 32 2x y z 1. 7.確定 的值，使直線l: 2x y 1 0 x z 2 0 與平面 :x y z 1平行， 并求直線l與平面 之間

26、的距離. 第八章 空間解析幾何答案 i jk 解：直線l的方向向量n 2 10 i 2j k，要使直線l與平面 101 平行，只要n s 0（其中s (1, , 1)為平面 的法向量），即 1 2 1 0，解得 1. 令x0 1，代入直線l的方程可得y0 1， z1 1 1 1 1 ( 1)| 3 0 1，直線l與平面 之間的距離d |2 12 ( 1)2 3 . 8.求通過直線l: x y z 1 0 2x y z 2 0 的兩個(gè)相互垂直的平面，其中一個(gè)平 面平行于直線 x 1y 1z2 1 1 1 . 解：設(shè)平面束方程為x y z 1 (2x y z 2) 0，即 (2 1)x ( 1)y

27、 ( 1)z 2 1 0，n (2 1, 1, 1). 設(shè)平行于直線 x 1y 2 1 1 z 1 1 的平面為 1，由(2 1)2 ( 1) ( 1) 0，可知 1，令x0 1，代入直線l的 方程，可得y0 z0 0平面 1的方程為 (x 1) 2y 0，即 x 2y 1 0. 設(shè)垂直于平面 1的平面為 2，由(2 1) 2( 1) 0，可得 1 4 ，平面 2的方程為32(x 1) 34y 5 4 z 0，即6x 3y 5z 6 0. 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)綜合練習(xí) 1.填空題： （1）已知|a| 1，|b| 2，且a與b夾角為 3 ，則|a b| （3）. （2）若向量a (1,

28、 2,1)，b ( 3, , )平行，則( , ) （(6, 3)）. （3）已知向量的模為10，且與x軸的夾角為 6，與y軸的夾角為 3 ，與z軸的夾角為銳角，則=（3 , 5, 0 )）. x acos（4）曲線 y asin (a、b為常數(shù))在xoy平面上投影曲線是 z b （ x2 y2 a2 0 ）. z（5）xoy平面上曲線4x2 y2 16繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程是 第八章 空間解析幾何答案 （4x2 (y2 z2) 16）. （6）直線 x x1 y y1z z1 與平面ax by cz d 0的夾角 的正弦sin （ ma nb pcm2 n2 p 2 a2 b2 c

29、2 ）. （7）方程x2 z2 y所表示的曲面名稱為（雙曲拋物面）. x 2 （8）與兩直線 y 2 t及x 2 y 2 z 1 z 1 t 121都平行，且過原點(diǎn)的平面方程是（x y z 0）. （9）已知?jiǎng)狱c(diǎn)p(x,y,z)到y(tǒng)oz平面的距離與點(diǎn)p到點(diǎn)( 1,1,2)的距離相等，則點(diǎn)p的軌跡方程為（(y 1)2 (z 2)2 2x 1 0）. （10）與兩平面x 2y z 1 0和x 2y z 3 0等距離的平面方程為（x 2y z 1 0）. 2. 設(shè)a i k，b i j k，求向量c，使得a c b成立，這樣的c 有多少個(gè)，求其中長度最短的c. 解：設(shè)c (x,y,z)，則 jk a

30、 c 0 1 y (z x) y，則y 1,z x 1，因此這樣yz 的c (x,1, 1 x)，有無窮個(gè). 由于|c| x2 1 ( 1 x)2 2(x 13 12)2 2 ，因此，當(dāng)x 2時(shí)， 即c ( 12,1, 1 2 )長度最短. 3. 已知點(diǎn)a(1,1,0)和點(diǎn)b(0,1,2)，試在x軸上求一點(diǎn)c，使得 abc的面積最小. 解：設(shè)c(x,0,0)，則 ( 1,0,2)， (x 1, 1,0)， ab ac 10 2i 2(x 1)j k，故 abc的面積為 x 1 1s 12|ab ac| 12 22 2(x 1)2 1，明顯，當(dāng)x 1時(shí)， abc的 第八章 空間解析幾何答案 面積

31、最小，為2 ，所求點(diǎn)為(1,0,0). 224. 求曲線 x 2y z2 4 在各坐標(biāo)平面上的投影曲線方程. z x2 y 2 2x2 y2解：在xoy平面投影為 4 z 0 ；在yoz平面投影為 2z2 3y2 4 3x20；在zox平面投影為 z2 4 x . y 0 5.求原點(diǎn)關(guān)于平面 :ax by cz d 0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo). 解：過原點(diǎn)作垂直于平面ax by cz d 0的直線，該直線的方向向 量等于平面 的法向量(a,b,c)，所求直線的對稱式方程為 x x at a yb zc，即 y bt為其參數(shù)方程. 將此參數(shù)方程代入平面 ，有 z ct (a2 b2 c2)t d 0，解得

32、t d a2 b2 c 2 ，即直線與平面的交點(diǎn)為( ad bda2 b2 c2,a2 b2 c2, cd a2 b2 c2 ). 設(shè)所求的對稱點(diǎn)為(x0 0y00,y0,z0)，則 x2 ad 0 bd a2 b2 c2，2 a2 b2 c 2 ，z0 02 cd a2 b2 c2， 即 所 求 的 對 稱 點(diǎn) 為 ( 2ad 2bd 2cd a2 b2 c2,a2 b2 c2,a2 b2 c 2 ). 6.求直線l:x 11 y1 z 1 1 在平面 :x y 2z 1 0上的投影直線繞x軸線轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程. 解：過l作垂直于平面 的平面 0，所求的直線l在平面 上的投影就是平面 和

33、 0的交線. 平面 0的法向量為： i jk n0 2 1 i 3j 2k，則過點(diǎn)(1,0,1)的平面 0的方程為： 1 2 (x 1) 3y 2(z 1) 0，即x 3y 2z 1 0. 所以投影線為 x y 2z 1 0 x 3y 2z 1 0 . 將投影線表示為以x為參數(shù)的形式： 第八章 空間解析幾何答案 y x 2，則繞x軸的旋轉(zhuǎn)面的方 z 1x程為2(2 1) y2 z2 (x2)2 12(x 2 1)2，即5x2 4x 16y2 16z2 4 0. 7.求球心在直線x 21 y2 z 1 1 上，且過點(diǎn)(1,2, 1)和點(diǎn)( 1, 2,1)的球面方程. 解：設(shè)球心為(x,y,z)，

34、則 (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2，即 x 2y z 0. x 2 t又由于球心在直線上，直線的參數(shù)方程為 y 2t，將直線的參數(shù)方程 z 1 t代入x 2y z 0，可得t 111 16，球心坐標(biāo)為(6, 3,7 6 )，所求球面方程為(x 116)2 (y 127265 3) (z 6) 6 . 8.已知兩條直線的方程是lx 1y 21:1 2 z 4 1 ，l 22 y 12: x0 z 1 ，求過l1且平行于l2的平面方程. 解：由于所求平面過l1，所以點(diǎn)(1, 2,4)在平面上. 由于平面的法向量垂 i jk直于兩直線的方向向量，因此平面的法向量為1 2 2i 3j 4k. 20 1 因此所求平面的方程為2(x 1) 3(y 2) 4(z 4) 0，即