1、第六章 模擬濾波器設計 信號和系統 模擬 濾波器設計 信號和系統 濾波的概念濾波: 把信號中的某些頻率重量分別出來或去掉的過程. 濾波器按處理的信號不同,可分為: 模擬濾波器(af)數字濾波器(df) 按通頻帶不同,可分為: 低通濾波器(lp) 高通濾波器(hp) 帶通濾波器(bp) 帶阻濾波器(bs) 信號和系統 它們的抱負幅頻特性如圖6.1.1所示:h a (j) h a (j) 低通 0 h a (j) 0 高通 h a (j) 帶通 c 0 帶阻 圖6.1.1 各種抱負濾波器的幅頻特性 本章主要敘述模擬濾波器的設計，關于模擬濾波器設計 的理論和方法已進展得相當成熟，且有若干典型的模擬

2、濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(butterworth)濾波器、 切比雪夫(chebyshev)濾波器、橢圓(cauer)濾波器、貝 塞爾(bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公 式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。 信號和系統 抱負濾波器的特性一、 信號無失真傳輸條件 y(t)=kx(t-td) 其中 k, td為常數 對于如圖所示系統,假如滿意 即輸出信號的幅值與輸入信號成比例，而時間上延遲了td。 稱這樣的傳輸為無失真傳輸。 系統的頻率響應為: h(j)=ke-jtdx(t)t y(t) 即幅頻特性： |h(j)|=k相頻特性： =-td 信號和系統 二、 抱負濾波器的特性 抱

3、負濾波器的頻率特性： 通帶內： h(j)=ke-jtd 信號無失真傳輸 阻帶內： h(j)=0過渡帶寬度為0 無信號通過。 但抱負濾波器是物理不行實現的，這是由于hl(t)是一個 無限長的、非因果系統。 實際的濾波器只能靠近抱負濾波器，它允許通帶和阻帶 中的幅頻特性有肯定的變化，且通帶、阻帶之間有一個 平滑的過渡帶。另外，為了設計的規范化，通常規定濾 波器通帶中的最大幅度值為1 信號和系統 一般在模擬低通濾波器的設計時所給出的技術指標有： p:通帶截止頻率 s:阻帶截止頻率 p:通帶最大衰減系數。 s:阻帶最小衰減系數。p和s一般用db表示，為功率衰減值。它可表示為： 10 lg1 10 lg

4、 | h a ( j ) |2 | h a ( j ) |22 p 10 lg h a ( j p ) s 10 lg h a ( j s )2 以上技術指標用圖6.2.2表示。 圖6.2.2 低通濾波器的 幅度特性 信號和系統 圖中c稱為3db截止頻率，即： 20 lg h a ( j c ) 3db h a ( j c ) 1 / 2, 信號和系統 模擬低通濾波器的設計模擬濾波器的設計通常僅考慮其幅頻特性，并常用 h a ( j ) 的形式來表示。 為了靠近抱負低通的幅頻特性，有通、阻帶都單調衰2 減的巴特沃思(bw型)濾波器，通帶(或阻帶)是等波動靠近，阻帶(或通帶)單調衰減的切比雪夫(

5、cb型) 濾波器。通阻帶都是等波動靠近的考爾(c型)濾波器或 稱橢圓濾波器。 其中，bw和cb型是全極點型，c型是零極點型濾波器。 信號和系統 一、巴特沃斯(bw)低通濾波器的設計 特點：具有通帶內 最大平坦的振幅特性，且隨f單調1、巴特沃斯(bw)低通濾波器的幅度平方函數： h a ( j ) 2 1 2n 1 ( ) c 其中： c為3db時截止頻率n為濾波器的階數 濾波器的功率衰減為: 2n 10 lg | h a ( j ) | 10 lg(1 ( ) ) c2 信號和系統 其幅頻特性曲線如圖6.3.1所示. 圖6.3.1 巴特沃斯低通濾波器幅頻特性和n的關系 可看出： n越大，通帶和

6、阻帶的近似性越好，過渡帶也 越陡。幅頻特性愈接近抱負。 信號和系統 2、bw低通濾波器的設計 模擬低通濾波器的設計指標有p, p,s和s,要求設計出lp。 (1)、求階數n 10 lg(1 ( 2n ) ) c (6.3.1) 2n ) 100.1 1 c 將p, p及s和s分別代入(6.3.1),得：( ( p c ) 2 n 100.1 p 1 (6.3.2) (6.3.3) s 2 n ) 100.1 s 1 c 信號和系統 由式(6.3.2) 及 (6.3.3)可得：( p s )n p s 10 p 1 100.1as 10.1a (6.3.4) n lg( ) lg 10 p 1

7、100.1as 10.1a 令 sp s / p , 10 p 1 k sp 100.1as 10.1a 則n由下式表示n lg k sp lg sp (6.3.5) 用上式求出的n可能有小數部分，應取大于等于n的最 小整數。 信號和系統 關于3db截止頻率c,假如技術指標中沒有給出，可以 根據(6.3.2)式或(6.3.3)式求出，由(6.3.2)式得到： c p (100.1a p 1 2n 1) (6.3.6) 由(6.3.3)式得到： c s (100.1as 1) 1 2n (6.3.7) 理論上兩式求得的c應相同，但由于n取整，可能使得兩個c不等，按(6.3.6)式求得的c,將使設

8、計的濾 波器滿意通帶要求，而阻帶指標將超過給定值。按(6.3.7) 式求得的c,狀況正相反。 信號和系統 (2)、求h(s) 考慮因果系統: h a ( j ) ha (t )e j t dt0 式中ha(t)為系統的沖激響應，是實函數。 h a ( j ) ha (t ) cos t j sin t dt0 不難看出: h a ( j ) h a ( j ) 將幅度平方函數|ha(j)|2寫成s的函數： 信號和系統 * | h a ( j ) |2 h a ( j ) h a ( j ) h a ( j ) h a ( j ) h a ( s ) h a ( s ) |s j 1 h a (

9、 s) h a ( s) s 2n 1 ( ) j c 此式表明幅度平方函數有2n個極點，求極點: 令： s 2n 1 ( ) 0 j c s 2n ( ) 1 e j ( 2 k ) j c k 0,1, 2 n 1 極點sk為： sk ( j c )e j ( 2 k 1 ) 2n c e 1 2 k 1 j ( ) 2 2n 信號和系統 h a ( s) h a ( s) 共有2n個極點，它們勻稱分布在以c為半徑的圓周上，兩個極點之間的間距為 /n. 如圖所示,為n=3時的極點分布1 2 k 1 j ( ) 2 2n sk c e 三階巴特沃斯濾波器極點分布 信號和系統 為形成穩定的濾波

10、器，2n個極點中只取s平面左半平面 的n個極點構成ha(s),而右半平面的n個極點構成ha(-s)。 ha(s)的表示式為h a ( s) (s sk 0 n 1 n c k ) n 式中 c 是為使s=0時ha(s)=1而引入的2 j 3 2 j 3 例如設n=3,則極點有6個，它們分別為s0 c e s2 c e s4 c s1 c s3 c e s5 c e1 j 3 sk c e 1 2 k 1 j ( ) 2 2n 1 j 3 信號和系統 取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成ha(s):h a ( s) 3 c ( s c )( s 2 j 3 c )( s 2 j 3 c )

11、 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將全部 的頻率歸一化。這里采納對3db截止頻率c歸一化，歸一化后的ha(s)表示為1 h a ( s ) n 1 s sk ( ) k 0 c c 式中，s/c=j/c。 信號和系統 令=/c,稱為歸一化頻率； p=s/c=j,稱為歸一化復變量. 歸一化巴特沃斯濾波器的傳輸函數為:h a ( p) 1 ( p p )k k 0 n 1 (6.3.8) 式中，pk為歸一化極點，用下式表示：1 2 k 1 j ( ) sk 2 2n pk e , c k 0,1, , n 1 (6.3.9) 信號和系統 總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1)依據技術指標p,p,s和s,用(6.3.5)式求階數n。n lg k sp lg sp (6.3.5) (2)依據(6.3.9)式，求出歸一化極點pk,將pk代入(6.3.8) 式，得到歸一化傳輸函數ha(p)。1 2 k 1 j ( ) 2 2n pk e , k 0,1, , n 1(6.3.8) (6.3.9) h a ( p) 1 ( p p )k k 0 n 1 (3)將ha(p)去歸一化。將p=s/c代入ha(p),得到實際的 濾波器傳輸函數ha(s)。 信號和系統 例6.3.1 設計一個bw低通