1、空間向量的坐標(biāo)空間向量的坐標(biāo) 一一 向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理二二 向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)三三 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.上上的的有有向向線線段段是是軸軸，設(shè)設(shè)有有一一軸軸uabuuab.abababuuabuabab= = =l ll ll ll ll ll l，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時(shí)軸反向時(shí)與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時(shí)向時(shí)軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿(mǎn)足滿(mǎn)足如果數(shù)如果數(shù)空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：,

2、0 a, 0 bab 向向 量量a與與 向向 量量b的的 夾夾 角角 ),(ba= = ),(ab= =類(lèi)似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類(lèi)似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角. .特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0 0與與 之間任意取值之間任意取值. . )0( ),(ba= = ),(ab= =或者記作或者記作空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u aa . 上上的的投投影影在在即即為為平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)的的垂垂直直作作軸軸過(guò)過(guò)uaaua 空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uaa bb 已已知

3、知向向量量的的起起點(diǎn)點(diǎn)a和和終終點(diǎn)點(diǎn)b在在軸軸 u上上的的投投影影分分別別為為ba , , 那那么么軸軸 u上上的的有有向向線線段段 ba 的的值值，稱(chēng)稱(chēng)為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影. . abjupr.ba = =向量向量ab在在 軸軸u上的投影記為上的投影記為 關(guān)于向量的投影定理（關(guān)于向量的投影定理（1 1）向量向量ab在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向上的投影等于向量的模乘以軸與向量量 的夾角的余弦：的夾角的余弦： abjupr cos| ab= =證明證明b buaa b abjuprabju pr= = cos| ab= =u 定理定理1 1的說(shuō)明：的說(shuō)明：投影為正；

4、投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；(4)(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等；uabc 0)1(,2 2)2(, = = )3(,2 關(guān)于向量的投影定理（關(guān)于向量的投影定理（2 2）兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. . .prpr)(pr2121a ja jaaj = = aa bb cc （可推廣到有限多個(gè)）（可推廣到有限多個(gè)）u1a2aaa bb cc u1a2a 如圖所示，由向量加如圖所示，由向量加證明證明法的三角形法則可知法的三角形法則可知. 21aabcabac =

5、 = = =.pr , pr , prcajaccbjbcbajab = = = = = =由于由于cacbba = = 所以所以jacjbcjabpr prpr= = 即即).(pr prpr2121aajjaja = = 1m1p2m2p上上的的投投影影分分別別為為點(diǎn)點(diǎn)在在軸軸點(diǎn)點(diǎn)為為一一條條數(shù)數(shù)軸軸為為一一向向量量，設(shè)設(shè)212121,ppummumma = =上上的的坐坐標(biāo)標(biāo)依依次次為為在在軸軸又又設(shè)設(shè)2121,uuuppuo,pr21uuammj= =記記1221 opoppp = =,12uu = =.12uuau = =如果如果e是與是與u軸正向一致的單位向量，軸正向一致的單位向量

6、， .)(12euu = =設(shè)設(shè)a是是以以),(1111zyxm為為起起點(diǎn)點(diǎn)、),(2222zyxm 為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量， 過(guò)過(guò)21, mm各各作作垂垂直直于于三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平面面 , 這這六六個(gè)個(gè)平平面面圍圍成成一一個(gè)個(gè)以以線線段段21mm為為對(duì)對(duì)角角線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體. 由上節(jié)課例由上節(jié)課例3 3，有，有eappu= =21以以kji,分別表示沿分別表示沿zyx,軸正向的單位向量軸正向的單位向量. xyz1r2r1p2p1q2qorqp1m2mn2111mmrmnm= = 111nmqmpm= = .11121rmqmpmmm = =從而得到從而得到由于由于,)(121

7、ixxiapmx = = =由圖可以看出由圖可以看出,)(121jyyjaqmy = = =.)(121kzzkarmz = = =因此因此kajaiammzyx = =21把上式稱(chēng)為向量把上式稱(chēng)為向量 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式 . . 21mm這里這里.,121212zzayyaxxazyx = = = = = =.)()()(121212kzzjyyixx = =xyz1r2r1p2p1q2qorqp1m2mn,2kzzjyyixxmm)()()(12121221 = =按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向

8、量：,kajaiazyx向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：,zyxaaa向量的坐標(biāo)表達(dá)式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa = =,12121221zzyyxxmm = =特殊地：特殊地：,zyxom = =向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa = =,zyxbbbb = =,zzyyxxbabababa = = ,zzyyxxbabababa = = ,zyxaaaal ll ll ll l= =;)()()(kbajbaibazzyyxx = =;)()()(kbajbaibazzyyxx = =.)()()(kajaiazyxl

9、 l l l l l= =解解,111zzyyxxam = =,222zzyyxxmb = =設(shè)設(shè)),(zyxm為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxa和和),(222zyxb為兩已知點(diǎn)，而為兩已知點(diǎn)，而在在ab直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)m分有向線段分有向線段 ab 為兩部分為兩部分am、mb，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù))1( l ll l，即，即l l= =mbam，求分點(diǎn)求分點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo). abmxyzo由題意知：由題意知：mbaml l= =,111zzyyxx ,222zzyyxx = =l l1xx )(2xx = =l l1yy )(2yy

10、 = =l l1zz )(2zz = =l l,121l ll l = =xxx,121l ll l = =yyy,121l ll l = =zzz,221xxx = =,221yyy = =.221zzz = = . 的定比分點(diǎn)的定比分點(diǎn)為有向線段為有向線段點(diǎn)點(diǎn)abm為中點(diǎn)時(shí)，為中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)當(dāng) m非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱(chēng)為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱(chēng)為方向角. .,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m ., 由投影定理可知由投影定理可知 cos|aax= = cos|aay= = cos|aaz= =方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向方

11、向余弦通常用來(lái)表示向量的方向. .222|zyxaaaa = =向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式21212121rmqmpmmm = =pqrxyzo 1m 2m ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 222 zyxaaa,cos222zyxxaaaa = = ,cos222zyxyaaaa = = .cos222zyxzaaaa = = 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1m 2m 1coscoscos222= = 方向余弦的特征方向余弦的特征oa|aa= =.cos,cos,cos = =特殊地，單位向量可表示為特殊地，單位向量可表示為向量向量 例例3 3 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn)

12、和和 . . 計(jì)算計(jì)算 )2, 2 , 2(1m)0 , 3 , 1(2m21mm的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 21mm2, 1 , 120 , 23 , 21 = = = =21mm222)2(1)1( = =; 2= =; 22cos , 21cos , 21cos = = = = = . 43 , 3 , 32 = = = =例例4 4 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn) 和和 . . 求方向和求方向和 一致的單位向量一致的單位向量 . .)5 , 0 , 4(a)3 , 1 , 7(bab解解ab2, 1 , 353 , 01 , 47 = = = =因?yàn)橐驗(yàn)橛谑怯谑莂b

13、= =設(shè)設(shè) 為和為和 的方向一致的單位向量，那么由于的方向一致的單位向量，那么由于 o abo = abab即得即得 = =o . 142,141,143 14= =222)2(13 解解設(shè)設(shè)向向量量21pp的的方方向向角角為為 、 、 ,3 = =,4 = =, 1coscoscos222= = .21cos = = ,21cos= = ,22cos= = 例例5 5 設(shè)有向量設(shè)有向量p p1 1p p2 2 ，已知，已知| |p p1 1p p2 2|=2 |=2 ，它與，它與x x 軸和軸和y y 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，如果的，如果的 p p1 1 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,0,3)(1,0,3)，求，求p p2 2的坐標(biāo)的坐標(biāo). .3 4 .32,3 = = =1cos = =x 21pp21 x21= =, 2= = x0cos = =y 21pp20 y22= =, 2= = y3cos = =z 21pp23 z, 2, 4= = =zz2p的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 = =