1、二重積分、三重積分 、曲線積分、曲面積分的題型和分值分布二重積分三重積分第一類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第二類曲面積分總和2012104142011114152010441018200944410222008941320074410182006412143020051215272004441220第九章一元函數積分學一元函數積分學多元函數積分學多元函數積分學重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 二、二重積分的性質二、二重積分的性質 第一節一、二重積分的定義與可積性一、二重積分的定義與可積性 三、三、二重積分的應用二重積分的應用 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二

2、重積分的概念與性質 第九章 dyxfvd),(曲頂柱體體積:dyxmd),(平面薄板的質量:一定義 如果 在d上可積,),(yxf.dd),(dyxyxfdyxyxfdd),(dyxyxdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二重積分的性質二、二重積分的性質dyxfkd),(. 1( k 為常數)dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3dddyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 為d 的面積, 則 ),(2121無公共內點ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別, 由于),

3、(),(),(yxfyxfyxfdyxfd),(則dyxfd),(dyxd),(5. 若在d上),(yxf, ),(yxdyxfd),(6. 設),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面積為 ,myxfmdd),(則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 7.(二重積分的中值定理),(yxf設函數,),(d在閉區域d上 為d 的面積 ,則至少存在一點使連續,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 8.二重積分的對稱性定理（1）如果積分區域d關于x軸對稱，f(x,y) 為y的奇偶函數，則x10, ( , )( , )2( , )( , )ddf x yyf x y df x y df x y

4、y關于 為奇函數，關于 為偶函數(,)(,)dfxy dfd (2)如果積分區域d關于y軸對稱，f(x,y) 為x的奇偶函數，n(3)輪換對稱性：( ,)( ,)xyddyxfx y dfy x d10, ( , )( , )2( , )( , )ddf x yf x y df x y df x y關于x為奇函數，關于x為偶函數（4）如果積分區域d關于直線y=x對稱，則0,( ,)( , )( ,)2( ,)( ,)( , )ddf x yfy xf x y df x y df x yfy x ，(5)如果積分區域d關于原點對稱，關于原點對稱的兩部分為12dd和10, ( ,)( , )( ,

5、 )2( , )( ,)()ddfx yf x yf x y df x y dfx yf x ， y111cos sin(cos sin )dddxydxdyxydxdyxyxy dxdy(a)2 (b)2 (c)4 (d) 011. 91- -(cos sin )ddxyxy dxdy（ ）設d是平面上以（1,1）（1,1）（1， 1）為頂點的三角形區域，d 是 在第一象限的部分，則等于（ ）2222()dxyab2（94）計算dxdy 2222122222:,0,:,0,0,0,xyzrzxyzrxyz3.(00)正確的是：（ ）12().4axdvxdv12( ).4bydvydv12(

6、 ).4czdvzdv12( ).4dxyzdvxyzdv2215.(05)cos.dixy d222cos()dixy d2223cos()dixyd321( ).a iii123().b iii213().c iii312()d iii221cosdixy d22(,)1dxyxy 144.(09)1,1cos,maxkkkkkdxydiyxdxdyi 區域（x.y）被對角線劃分成四個區域（k=1,2,3.4）,則22206.(90)yxdx edy交換積分次序01127.(01)( , )ydyf x y dx交換積分次序101108.(95)()0,1()()().xfxfx dxad

7、xfxfy dy設在上 連 續 ， 且，求14009.(06)( , )( cos , sin )f x ydf rrrdr設是連續函數，下列積分化為直角坐標下的積分為22max,10.(02),( , )01,01x ydedxdy dx yxy 計算2211.(06)1,( , ) 01,01dxyddx yxy計算2222112.(06),( , )1,01dxydxdydx y xyxxy計算真題研討( ,) 01, 01( ,)dxyddxdyx yxyxy fx y dxdy13.(11)已 知 f(x,y)具 有 二 階 連 續 偏 導 數 ，且 f(1,y)=f(x,1)=0，

8、 f(x,y)=a,d=,計 算 i=例例1. 計算,dd)1ln(2yxyyxid其中d 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32d1d1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21ddd(如圖所示)顯然,1上在d),(),(yxfyxf,2上在d),(),(yxfyxfyxyyxiddd)1ln(120yxyyxddd)1ln(224機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (cossin)dxyxy dxdy()0d1()2cossindaxydxdy1() 2dcx y d x d y 1()4(cossin)dbxyxy dxdy例2設d是平面上以（1,1),（-1,1）

9、,（-1，-1）為頂點的三角形區域， d1 是d在第一象限的部分，則*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分的計算法 第九章 一、利用直角坐標計算二重積一、利用直角坐標計算二重積分分bxaxyxd)()(:21dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若d為 x 型區域 則)(1xy)(2xyxboydax若d為y 型區域dycyxyd)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(2

10、1dcyddyxyxfdd),(則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxy說明說明: (1) 若積分區域既是x型區域又是y 型區域 , dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoydba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干1d2d3dx-型域或y-型域 , 321dddd則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設,)()(:2

11、1rd則drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:rddrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(rod機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 f 1 則可求得d 的面積d)(21202dd思考思考: 下列各圖中域 d 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 ()(rdoyx)(rdoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節一、三重積分的概念三重積分的概念 和性質 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分 第九章 定義定義. 設,),

12、( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10vzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質性質: 例如 中值定理中值定理.),(zyxf設在有界閉域 上連續,則存在,),(使得vzyxfd),(vf),(v 為 的體積, 記作記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對稱性的應用關于yoz面對稱，10, ( , , )( , , )2( , , ) , ( , , )f x y zf x y z dvf x y z dv f x y z關于x為奇函數關于x為偶函數12 若10z是的部分若 關于yoz(xoz)平面

13、對稱，也有類似結論若區域關于原點對稱，且f(x,y,z)關于(x,y,z)是奇函數，則( , , )0f x y z dv若被積函數，積分區域關于x,y,z具有輪換對稱性( )( )=( )f x dvf y dvf z dv二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設連續函數 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數的積分計算. 的密度函數 , 方法:機動 目錄 上頁 下頁 返

14、回 結束 zxyddyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細長柱體微元的質量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzadyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質量為zd以xyz該物體的質量為vzy

15、xfd),(bazdyxzyxfdd),(zdbayxzyxfzdd),(dzdzzdzdyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設區域:利用投影法結果 ,bxaxyyxydyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxyz2. 利用柱坐標計算三重積利用柱坐標計算

16、三重積分分 ,r),(3zyxm設,代替用極坐標將yx),z（則就稱為點m 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數坐標面分別為圓柱面常數半平面常數z平面oz),(zyxm)0 ,(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zf其中),sin,cos(),(zfzf適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 利用球坐標

17、計算三重積利用球坐標計算三重積分分 ,r),(3zyxm設),(z其柱坐標為就稱為點m 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,zommoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數r球面常數半平面常數錐面, rom 令),(rmsinrcosrz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzo如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rf其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrf適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數

18、被積函數用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 考研真題研討22221. 97(0yzxyvx（ ）計算i=）d ， 為繞軸旋轉一周而成的曲面與平面z=8所圍成的區域。22222.( , , )1zx y z xyz（ 09） 計 算 i=dxdydz ，22223.()1xzzxyxy（89）計算i=dv， 由與z=所圍區域.2222222222222224. 03()(),( )()():,:2( )tttdttdttf xyzdvf xydg tf xydf xdxxyztdxytg t（ ）設f(x)連續且恒大于零,f(t)=(

19、1).討論f(t)在(0,+ )上的單調性;(2).證明:當t0,f(t) 三重積分的計算更要關注利用球坐標或柱面坐標的計算，在第二類曲面積分中，常常利用高斯公式來解決問題，而高斯公式的應用很多時候都用球坐標或者柱面坐標來計算。xyz例例3. 計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxdzzdyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zdz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中為由例例4. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(,

20、0yaazz所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 o oxyz例例5. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 設, 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222

21、222提示提示: 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zoxy2例例7. 設由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxi提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxid)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質心三、物體的質心 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 重積分的應用 第九章 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續曲面),(yxfz 則其體積為dyxyxfvdd),(,),(dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxvddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二.曲面面積公式d),(),(122dyxyxfyxfayxyzxzaddd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxadd)()(122,),(