1、mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(1. 有理式的不定積分有理式的不定積分其其中中00 a，00 b.,)1(mn 真分式真分式；,)2(mn 假分式假分式；部分分式部分分式:,1 ;naanxaxa 22,1 ;nbxcbxcnxpxqxpxq 3-3 有理式的不定積分與有理化方法有理式的不定積分與有理化方法3 3、有理函數(shù)積分法、有理函數(shù)積分法; )1(真真分分式式）（多多項(xiàng)項(xiàng)式式假假分分式式多多項(xiàng)項(xiàng)式式除除法法 ：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系數(shù)數(shù)法法 )2(11220111p( ) q( )p( ) ()() ()()klnm

2、nmkllxxxb x ax axp x qxpx q真分式分母因式分解) ,1, , 2不不可可約約因因式式為為（其其中中hiqxpxii 11111011aa1()nnbxaxa1aa()kkn kknkkxaxa11111111,1221111bb()mmmxcxcxp xqxp xq1122bb()lllm lm lllmllllxcxcxp xqxp xq（其其中中各各系系數(shù)數(shù)待待定定）；如果如果 有一個(gè)有一個(gè) 重實(shí)根重實(shí)根 , 則則 的部分的部分分式中一定包含下列形式的分式中一定包含下列形式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分式之和: q xna /p x q xn1nnaaxaxa如果如果

3、 中包含因子中包含因子 時(shí)時(shí) , 則則 的部分分式中一定包含下列形的部分分式中一定包含下列形式的式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分式之和: 22/4mxpxqqp q x /p x q xm1122mmmb xcb xcxpxqxpxq推導(dǎo)四種部分分式的不定積分:)(db)( )3(2dxqpxxxxdxnn 和和計(jì)計(jì)算算簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單積積分分 )(db 2dxqpxxxn duaubpunpqapxu )()2d(b 224 ; 22, )b2d()()(2b 2222nnipauaud 推推出出。及及可可由由其其中中 122 )( iauduinn遞遞推推公公式式 dxpqpxxn )4()2(db

4、22分分母母配配成成完完全全平平方方.65312 dxxxx計(jì)計(jì)算算例例.6522 dxxxx計(jì)計(jì)算算例例.3213232 dxxxxx計(jì)計(jì)算算例例 .12142232dxxxxxx 計(jì)算計(jì)算例例 .11211ln21ln1121111121ln1111121222222222222232cxarctgxxxxxddxxxxdxdxxxdxxxdxxdxxxxxx (1)(1)、三角有理式：、三角有理式： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為)cos,(sinxxr2cos2sin2sinxxx 2se

5、c2tan22xx ,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2. 三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式的不定積分(2)(2)、三角有理式的積分法：、三角有理式的積分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令tan2xt 22sin,1txt221cos,1txt 2arctanxt則221dxdtt 萬萬能能代代換換dxxxr)cos,(sin2222212,.111ttrdtttt萬能替換公式：萬能替換公式：。化化為為有有理理函函數(shù)數(shù)的的積積分分.cossincos1dxxxx 計(jì)計(jì)算算例例.cos1cossin22 dxxxx計(jì)計(jì)算算例例

6、注注（1）用萬能代換用萬能代換一定能一定能將三角函數(shù)有理式的積分將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；化為有理函數(shù)的積分；（2）萬能代換不一定是最好的；萬能代換不一定是最好的；（3）常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法（非的積分的代換方法（非“萬能的萬能的”）：）：1）若）若 r(-sinx, cosx) = -r(sinx, cosx) ，可取，可取 u=cosx 為為積分變量；積分變量；2）若）若 r(sinx, -cosx) = -r(sinx, cosx) ，可取，可取 u=sinx 為為積分變量；積分變量；3）若）若 r(-sinx, -cosx) = r(sinx, cosx) ，可取，可取 u=tanx 為為積分變量。積分變量。), ,(nbaxxr ( , ) 0naxbr xacxd 的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分. .3. 某些根式的不定積分某些根式的不定積分, nnaxbtaxbt cxd換元：1( , ),nnntbntr xaxb dxrtdtaa.121dxxx 計(jì)計(jì)算算例例.)2(1263 dxxx計(jì)計(jì)算算例例.1)1(13 dx