1、高等數(shù)學(二)命題預測試卷(二)一、選擇題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的選 項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))1. 下列函數(shù)中，當X1時，與無窮小量(1 x)相比是高階無窮小的是()32A. In(3 x)B. x 2XXC. CoS(X 1)D. X21J- 12. 曲線y X 3 在(1,)內(nèi)是()XA .處處單調(diào)減小B.處處單調(diào)增加C.具有最大值D .具有最小值3. 設(shè) f(X)是可導函數(shù)，且 Iim f(XO2hf (XQ) 1 ,貝U f (xo)為()X 0hA. 1B . 0C. 2D .丄21 X14 .若 f (),

2、則 O f (x)dx 為()X X 101A. -B. 1 In 22C. 1D . In 25.設(shè) U xyz,-u 等于()XAZZ 1A . ZXyB . XyC . yz1D. yz二、 填空題：本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分，把答案填在 題中橫線上。6 .設(shè) Z exy yx2 ,貝U 0 2)=.y，7.設(shè) f (X) ex In X，貝U f (3)8 f(x)產(chǎn)，則 f(1)1 XX10.11.12.13.14.15.三、16.17.18.9.設(shè)二重積分的積分區(qū)域 D是1 X2 y24 ,貝U dxdyDlim(1 丄)x =X 2x1函數(shù)f (X) 1(e

3、x e x)的極小值點為2 .若 imx ax 43 ,則 a.X 1 X 1曲線y arctanx在橫坐標為1點處的切線方程為 函數(shù)yX22處的導數(shù)值為Sintdt 在 X02I XSin X廠dx II CoS X解答題：本大題共13小題，共90分，解答應寫出推理、演算步驟 （本題滿分6分）丄1C求函數(shù)f（x） a XX 0的間斷點.0X 0（本題滿分6分）(本題滿分6分)計算 lim ln arcsi nx (1 X)XX 019. (本題滿分6分)1設(shè)函數(shù) f(x) Xe 3xX0 ,求 f (X).In(1 x)1 X 020. (本題滿分6分)求函數(shù)y Sin(X y)的二階導數(shù).

4、21. (本題滿分6分)求曲線f (X) X4 2x3的極值點.22. （本題滿分6分）3計算 -X dx.X 123. (本題滿分6分)若f (x)的一個原函數(shù)為xlnx ,求X f (x)dx .24. (本題滿分6分)已知0d 1 ,求常數(shù)k的值25. （本題滿分6分）求函數(shù)f （x, y） y3 2 6 12y5的極值.26. （本題滿分10分）求（x2 y）dxdy ,其中D是由曲線y x2與X y2所圍成的平面區(qū)域.D27. (本題滿分10分)32 aaa設(shè) f (x) X O f (x)dx ,且常數(shù) a 1 ,求證：0 f (x)dx3(a I)28.（本題滿分10分）求函數(shù)y

5、啞的單調(diào)區(qū)間、極值、此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點以及漸近X線并作出函數(shù)的圖形.參考答案1. B2. B3. D4. D5.D、填空題26. 2e 17.3 e138. cos(x y)X 19.3110. e 211.X012. 5213 y414. Sin-415.0、解答題、選擇題f (X)在點16.解2(X I)這是一個分段函數(shù),X 0的左極限和右極限都存在.故當X0時，f(x)的極限不存在，點X0是f (X)的第一類間斷點.17.解原式=IimXX - X 12x212X12X1 122 218.解設(shè) f(x)arcs in X(11X)l由于X 0是初等函數(shù)In f (X)的可去間斷點

6、，丄故 Iimlnf (x) In Iim f (x) In Iim arcsinx (1 X)XX 0X 0X 0丄In Iim arcs in X Iim (1 x) XX 0x 0In(0 e) In e 1 .Iimf(x)Iimarctan-X 0X 0XIimf(x)Iimarcta n1X 0X 0XIimX 0f(x)IimX 0f(x)219解 首先在X 0時，分別求出函數(shù)各表達式的導數(shù)，即-X- 1 - 1當 X 0時，f (x) (Xe X) e X XeXr e x(1 一)XX1當 1 X 0 時，f (x) In(X 1)X 1然后分別求出在X 0處函數(shù)的左導數(shù)和右

7、導數(shù)，即1f (0) Iim1X 0 X 1；1f (0) Iim e x(1 -)01 CoS(X y) y Sin(X y)(1 y)X 0X從而f (0)f (0)，函數(shù)在X0處不可導.1e ×(1丄)X0所以f (X)X1X0X 120.解 ysin( Xy)ycos(xy)(1y)cos(xy)y cos(x y)ySin (Xy)(1y)y CoS(Xy) y Sin(Xy)(1 y)2Sin(X y)(1 y)21 cos(x y)又由解得yCoS(X y)1 cos(x y)2cos(x y) cos(x y) 1 -代入得y1 cos(x y)1 cos(x y)S

8、in(X y) 121.解先出求f(x)的一階導數(shù):f (x) 4x3 6x24x2(x 2)22.解23解24.解33令f (x) 0 即4x2(x 2) 0 解得駐點為Xi0,X2 - 再求出 f(x)的二階導數(shù) f (X)12x212x12x(x 1).33當X2 f時，f弓)3279 0,故f()是極小值.當X1總之0 時，f (0)0 ,在 (,0)內(nèi)，f (x)X10不是極值點.曲線X3X213X-2-Xf(x) x4x3X XX21dx1(X2x2只有極小值點x(x21) X2XI)dxXdX0,在(0,)內(nèi) f (x)0XX21X-2Xdx1d(x2X 11)1ln( X21)

9、(xIn x) In X x(In x)x(I nx 1)dxX In XdXXdXIn x1dx21 2 X221 2 InXXx2d(I nx)由題設(shè)知f(x)InX f (x)dx1 2 InXX21 2X21 2 X2dxIn XIn XIimadx1 2 1 .X dxX.1 2 XdX X 22121 2X4dX Xarcta n XIima1X21 2X20 JdXXk Iim (aarctana) k 一211故 k解得k2 225.解丄2x6,-fC 2“-3y 12Xy2x6O解方程組得駐點 Ao(3,2),Bo(3, 2)3y a a12O又Af XX2, Bf Xy0,

10、Cfyy6y對于駐點AO : A2, B O,C6yX 312 ,故 B2 AC 240y 2駐點Ao不是極值點.對于駐點 Bo : A 2,B0,C 6y3 12y 2故 B2 AC 240 ,又 A 20.函數(shù)f(x, y)在Bo(3, 2)點取得極大值f (3, 2)( 2)0x dx 0°f(x)dxdx9 1824 53026.yx2與Xy2得兩曲線的交點為0(0,0)與A(1,1)27.y2(y(x2D0)的反函數(shù)為y 、興.1JXy) dxdy O dx 莊51(X20(x2 y)dyIX) (x4aO f(x)dx(IXi2 aX O f (x)dx dx1x2-x5

11、)410O(X2y -y2)4) dx33140X2 dxX313a3x 0aO f(x)dxadx0aa O f(x)dxf(x)dxaa 0 f(x)dx于是 af(x)dx03(a 1)28解（1）先求函數(shù)的定義域為（0,） （2） 求y和駐點：y 1 l2n X ,令y 0得駐點X e .X（3）由y的符號確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間及極值.1 InX當0 X e時，y 昌匕0,所以y單調(diào)增加；X當X e時，y 0,所以y單調(diào)減少.由極值的第一充分條件可知yxe -為極大值.Xee（4）求y并確定y的符號:30 得 X e"0 ,曲線y為凸的;曲線y為凹的.3X e2 時，y3e2 時，y 0 ,2 3 2根據(jù)拐點的充分條件可知點（e2ge2）為拐點.這里的y和y的計算是本題的關(guān)鍵，讀者在計算時一定要認真、仔細。另外建議讀者用列表法來分析求解更為簡捷，現(xiàn)列表如下：X(0,e)e3(e,e2)3e23/,)y+0一一一y一0+就表上所給的y和y