1、1)()(xfxxfy若)( xoxA在一元函數(shù)微分學(xué)中在一元函數(shù)微分學(xué)中一、全微分的定義dxxfxAdy)( 則第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分2 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點，則則稱稱這這兩兩點點的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點點 P 對對應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念3如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全增

2、增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示為為)( oyBxAz ，其其中中BA,不不依依賴賴于于yx ,而而僅僅與與yx,有有關(guān)關(guān)，22)()(yx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，yBxA 稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分，記記為為dz， 即即 dz= =yBxA . . 全微分的定義全微分的定義41例例點點是是否否可可微微？在在),(yxxyz :解解xyyyxxz)(yxyxxyxByA, yx0而y )0(0 )( oyx點可微點可微在在),(),(yxyxfz yxxydz:一般一般?,BA5二、可微的

3、條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 6證證因因為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 7,),(),(則偏導(dǎo)存在則偏導(dǎo)存在點可微點可

4、微在在若若yxyxfz yyzxxzdz且且dyydxx,規(guī)定規(guī)定dyyzdxxzdz全微分公式xyez 如如dyyzdxxzdzdyxedxyexyxy 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.8一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有 0)0 , 0()0 , 0( yxff 9)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(2

5、2yxyx 220)()(limyxyx220)()(limxxxxxyx,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx .偏導(dǎo)存在不一定可微偏導(dǎo)存在不一定可微 2200)()(limyxyxyx2200)()(limyxyxyx時，時，當(dāng)當(dāng)010定定理理（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx可可微微分分11 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),(

6、 oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).:連續(xù)不一定可微連續(xù)不一定可微注意注意12多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在13例例 2 2 計算函數(shù)計算函數(shù)xyez 在點在點)1 , 2(處的全微分處的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222)1 ,2(dyedxedz 所求全微分所求全微分14解解),2sin(yxyx

7、z ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 154例dzxyxz求求,sin22dyyzdxxzdzdyxyyxdxxyyxxyx23222222coscossin5例dzxyfxz求求),(23dxxyf yxyfxdz)()(22223dyxyfx)(2解解解解16例例 6 6 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)

8、.dzzudyyudxxudu ),(zyxfu 17例例 7 7 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點)0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點在點)0 , 0(可微可微. 思思路路：按按有有關(guān)關(guān)定定義義討討論論；對對于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討討論論.18證證22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf19當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.20所所以以),(yx