1、222函數的奇偶性1了解函數奇偶性的含義2會判斷一些簡單函數的奇偶性3了解奇函數和偶函數圖象的特點1奇函數和偶函數(1)一般地，設yf(x)的定義域為a，如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)f(x)，那么稱函數yf(x)是偶函數(2)如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)f(x)，那么稱函數yf(x)是奇函數【做一做1】有下列函數：y2x；y；yx2；yx3x；yx2x；y；y2x21；y2|x|2其中奇函數有_，偶函數有_答案：2奇偶性(1)如果函數f(x)是奇函數或偶函數，就說函數f(x)具有奇偶性(2)偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對

2、稱(1)在奇函數和偶函數的定義中，都要求xa，xa，這就是說一個函數不論是奇函數還是偶函數，它的定義域一定關于坐標原點對稱(2)根據函數奇偶性的定義，函數可分為：是奇函數但不是偶函數；是偶函數但不是奇函數；是奇函數又是偶函數；既不是奇函數也不是偶函數【做一做21】已知f(x)ax3bx3中，f(2)3，則f(2)_解析：因為f(x)f(x)6，所以由f(2)3，得f(2)9答案：9【做一做22】函數f(x)x的奇偶性是_答案：奇函數如何判斷函數的奇偶性？剖析：(1)根據函數奇偶性定義判斷，其基本步驟為：先看定義域是否關于原點對稱，若函數沒有標明定義域，應先找到使函數有意義的x的集合，因為它是判

3、斷函數奇偶性的一個重要依據，如果一個函數的定義域關于坐標原點不對稱，那么這個函數既不是奇函數，也不是偶函數如函數f(x)x41，x1,2由于它的定義域不關于原點對稱，當1x2時，x不在函數的定義域中，所以它不符合奇、偶函數的定義，故f(x)x41，x1,2是非奇非偶函數再看f(x)與f(x)的關系，這是因為定義域關于原點對稱的函數也不一定是奇函數或偶函數如f(x)x2x，g(x)x31，它們的定義域都是r，因為f(x)(x)2(x)x2x±f(x)，所以它是非奇非偶函數同理可證g(x)x31也是非奇非偶函數然后得出結論(2)定義域關于原點對稱，滿足f(x)f(x)f(x)的函數既是奇

4、函數也是偶函數，如f(x)0(xr)應注意：既是奇函數又是偶函數的函數有無數個(3)分段函數奇偶性判定方法的關鍵是搞清x與x的所在范圍及其對應的函數關系式，并且函數在每一個區間上的奇偶性都應進行判斷，而不能以其中一個區間來代替整個定義域(4)判斷函數的奇偶性有時可用定義的等價形式f(x)±f(x)0或±1(f(x)0)來代替(5)有時可以直接借助函數的圖象與相關性質，如奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱等，從而直觀地判斷函數的奇偶性題型一 判斷函數的奇偶性【例1】判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)a(xr)；(4)f(

5、x)分析：按奇函數或偶函數的定義或幾何特征進行判斷即可解：(1)函數的定義域為x|x1，不關于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數(2)函數的定義域為r，關于原點對稱，f(x)(x)32(x)2xx3f(x)，所以f(x)是奇函數(3)函數的定義域為r，關于原點對稱，當a0時，f(x)既是奇函數又是偶函數；當a0時，f(x)af(x)，即f(x)是偶函數(4)函數的定義域為r，關于原點對稱，當x0時，x0，此時f(x)x1(x)x(1x)f(x)；當x0時，x0，此時f(x)x1(x)x(1x)f(x)；當x0時，x0，此時f(x)0，f(x)0，即f(x)f(x)綜上，f(x)f(

6、x)，所以f(x)為奇函數反思：根據奇函數以及偶函數的定義，判斷是不是有f(x)f(x)或f(x)f(x)，前者是偶函數，后者是奇函數；如果這兩個都不成立，則是非奇非偶函數說一個函數是非奇非偶函數，有時只要說明它的定義域不合要求即可，而不必套用作差法進行檢驗有時根據函數圖象的對稱性進行判斷也是捷徑之一題型二 求函數解析式【例2】設f(x)是定義在(，)上的奇函數，且x0時，f(x)x22x1，求f(x)的解析式解：當x0時，則x0，所以f(x)(x)22(x)1x22x1又f(x)是奇函數，有f(x)f(x)，所以f(x)x22x1所以f(x)x22x1當x0時，因為f(x)是定義在r上的奇函

7、數，所以一定有f(0)0所以函數f(x)的解析式為f(x)反思：本題中xr，容易遺漏x0的情況，對于定義在r上的奇函數一定有f(0)0，這是一個重要的結論，要引起重視【例3】已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(x)g(x)x22x3求f(x)和g(x)的解析式分析：充分利用奇、偶函數的性質，利用方程思想求其解析式解：由條件得f(x)g(x)(x)22(x)3x22x3又f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)x22x3f(x)g(x)x22x3，兩式相減得f(x)2x，兩式相加得g(x)x23反思：對于基本初等函數，大致有三類：其一是奇函

8、數，其二是偶函數，其三是非奇非偶函數，但此類函數均可表示為奇、偶函數的和或差題型三 函數奇偶性的應用【例4】畫出函數f(x)x22|x|3的圖象，指出函數的單調區間和最大值分析：函數的圖象關于y軸對稱，先畫出y軸右側的圖象，再對稱到y軸左側合起來得函數的圖象；借助圖象，根據單調性的幾何意義寫出單調區間解：函數圖象如圖所示由圖象，得函數的圖象在區間(，1和0,1上是上升的，在1,0和1，)上是下降的，最高點是(±1,4)，故函數在(，1，0,1上是增函數；函數在1,0，1，)上是減函數，最大值是4反思：本題中，已知函數滿足f(x)f(x)，說明f(x)是偶函數，它的圖象關于y軸對稱，由

9、此可先作出函數在y軸右側的圖象，再將其沿y軸翻折即可1函數f(x)x(x21)的大致圖象是_解析：因為f(x)x(x)21f(x)，所以原函數是奇函數排除又當x時，y×0，說明點在第四象限排除答案：2函數f(x)x3bx2cx是奇函數，函數g(x)3x2(c2)x5是偶函數，則b_，c_解析：由條件得f(x)f(x)2bx20，b0由條件得g(x)g(x)，且g(x)3x2(c2)x5，g(x)3x2(c2)x5，c2答案：023判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)2x27；(2)f(x)2x35x；(3)f(x)5x3解：(1)因為f(x)的定義域為r，且f(x)2(x)272x27

10、f(x)，所以f(x)2x27為偶函數；(2)因為f(x)的定義域為r，且f(x)2(x)35(x)(2x35x)f(x)，所以f(x)2x35x為奇函數；(3)f(x)的定義域是r因為f(1)5×(1)382f(1)，故f(x)5x3不是奇函數又f(1)5×(1)382f(1)，故f(x)5x3不是偶函數綜上所得f(x)5x3為非奇非偶函數已知函數f(x)是定義在r上的偶函數，當x0時，f(x)求當x0時，f(x)的解析式解：令x0，則x0，f(x)又f(x)是定義在r上的偶函數，f(x)f(x)f(x)(x0)5已知函數yf(x)是定義在r上的偶函數，在2,6上是減函數，試比較f(5)與f(3)的大小分析：利用單調性比較大小解：函數yf(x)是定義在r上的偶函數，f(5)f(5)又函數yf(x)在2,6上是減函數，且53，f(5)f(3)f(5)f(3)6edbc3191f2351dd815ff33d4435