1、 為了研究事物的運動發展規律，必須建立起描寫運動為了研究事物的運動發展規律，必須建立起描寫運動變化規律的函數關系。在大量的實際問題中遇到稍為復雜的變化規律的函數關系。在大量的實際問題中遇到稍為復雜的一些運動過程時，反映運動規律的量與量之間的關系（或函一些運動過程時，反映運動規律的量與量之間的關系（或函數）數） 往往不能直接寫出來，卻比較容易建立這些變量和它往往不能直接寫出來，卻比較容易建立這些變量和它們的導數（或微分）間的關系式。這種們的導數（或微分）間的關系式。這種其中導其中導數或微分是不可少的。數或微分是不可少的。第六節幾類簡單的微分方程第六節幾類簡單的微分方程 。其實在自然科學和科學技術

2、的其它領域中，例如化學、。其實在自然科學和科學技術的其它領域中，例如化學、生物學、自動控制、電子技術等等，都提出了大量的微分生物學、自動控制、電子技術等等，都提出了大量的微分方程問題。同樣在社會科學的一些領域里也存在著微分方方程問題。同樣在社會科學的一些領域里也存在著微分方程問題。程問題。 在實際問題中所遇到的微分方程大都比較復雜，因在實際問題中所遇到的微分方程大都比較復雜，因此研究微分方程理論及其解法就是我們面臨的一個重要此研究微分方程理論及其解法就是我們面臨的一個重要問題。關于這方面的知識，在第七章中我們還要作較為問題。關于這方面的知識，在第七章中我們還要作較為系統的介紹，本節只討論幾類能

3、直接利用積分方法求解系統的介紹，本節只討論幾類能直接利用積分方法求解的簡單微分方程及其應用。的簡單微分方程及其應用。 這里我們只研究自變量僅有一個的微分方程，即常這里我們只研究自變量僅有一個的微分方程，即常微分方程。常微分方程和數學的其它分支有密切的聯系，微分方程。常微分方程和數學的其它分支有密切的聯系，它們往往互相聯系、互相促進。例如幾何學就是常微分它們往往互相聯系、互相促進。例如幾何學就是常微分方程理論的豐富源泉和有力工具。考慮到常微分方程與方程理論的豐富源泉和有力工具。考慮到常微分方程與實際聯系比較密切，我們應該注意它的實際背景和應用。實際聯系比較密切，我們應該注意它的實際背景和應用。解

4、解)(xyy 設所求曲線為設所求曲線為2 (1)dyxdx xdxy22,1 yx時時其其中中1,C.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為一、幾個基本概念一、幾個基本概念1,2xy時,2Cxy 即即解解0,( ),thh tNewtonh設設質質點點開開始始下下落落的的時時刻刻為為在在任任意意時時刻刻質質點點的的高高度度則則有有第第二二定定律律， 應應滿滿足足：22 d hmmgdt 2121( )2h thtC tC 02. mHv ,例例 設設質質量量為為 的的質質點點從從高高度度為為 的的地地方方自自由由下下落落，其其初初速速度度為為不不計計空空氣氣阻阻力力，試試求求質質點點在在下下落

5、落過過程程中中高高度度h h與與時時間間t t之之間間的的關關系系. .22 2d hgdt 或或（ ）兩次積分可得12CC其其中中與與是是兩兩個個任任意意常常數數。根據題意，還應滿足兩個附加條件：000|ttdhhHvvdt 代入上式可得，代入上式可得，102,( )CvCHh t 因因此此所所求求的的應應為為 上述兩例雖然都簡單，但都列出了含有未知上述兩例雖然都簡單，但都列出了含有未知函數導數的關系式函數導數的關系式(1)和（和（2）.20 21( )(2)2h tHhtv t 微分方程微分方程: : 凡表示未知函數、未知函數的導數或微分與凡表示未知函數、未知函數的導數或微分與自變量之間關

6、系的方程叫微分方程自變量之間關系的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 都是微分方程都是微分方程注注: : 定義中定義中未知函數的導數未知函數的導數( (或微分或微分) )是不可少的是不可少的微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現的未知函數的最微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數高階導數的階數. .常微分方程：常微分方程：未知函數是一元函數的微分方程未知函數是一元函數的微分方程；偏微分方程：偏微分方程：未知函數是多元函數的微分方程未知函數是多元函數的微分方程. ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy

7、 高高(n)階微分方程形如階微分方程形如, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:2:按微分方程的階數來分按微分方程的階數來分分類分類1 1:按微分方程中含未知函數的情形來分按微分方程中含未知函數的情形來分分類分類3 3: : 線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. .() (, .,)0,nFxy yy ( (n n) )對對 于于 微微 分分 方方 程程如如 果果 它它 的的左左 端端 為為 y y, ,y y , ,. . . ., ,y y的的 一一 次次 有有 理理 式式 ， 則則 稱稱 該該 方方 程程為為 n n階階 線線 性性 微微 分分

8、 方方 程程 。),()(xQyxPy 例如例如，為一階線性微分方程為一階線性微分方程. ()(1 )111()()()()(),(),()nnnnnnyaxyaxyaxyfxaxaxfxx 一一 般般性性 微微 分分 方方 程程 具具 有有 形形 式式 里里是是的的 已已 知知 函函 . .階線階線這這數數分類分類4 4: : 單個微分方程與微分方程組單個微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy不是線性方程的方程稱為不是線性方程的方程稱為非線性方程非線性方程。例如。例如; 02)(2 xyyyx22sin0dgdtl 微分方程的解微分方程的解: :能使微分方程成為恒等式

9、的函數能使微分方程成為恒等式的函數. . (),yxIn 設設在在區區間間上上有有階階導導數數如如果果.0)(,),(),(,()( xxxxFn( )( )( , ,)0nyxF x y yyI 則則是是在在區區間間 上上的的一一個個解解微分方程的解的分類：微分方程的解的分類： 對對 于于們們個個數數，(n)12n微分方程F(x,y,y ,.,y)= 0,我把含有n任意常c ,c , ,c 的解 12( ,)nyx c cc 稱為該稱為該n階微分方程的階微分方程的通解通解。這里，兩個任意常數是獨立的，是指他們不能通過運算合并成一個。 1 ,yy例例 （）;xcey 通解通解20,yy （）;

10、cossin21xcxcy 通通解解把滿足定解條件的解，稱為該方程的一個把滿足定解條件的解，稱為該方程的一個特解特解.初始條件初始條件: :為確定通解中任意常數給出的條件為確定通解中任意常數給出的條件. .初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .過定點的積分曲線過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.特解的圖象特解的圖象: : 是一條曲線，叫微分方程的積分曲線是一條曲線，叫微分方程的積分

11、曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .微分方程的解的圖形：微分方程的解的圖形：例例 3 3 驗證驗證:函數函數ktcktcxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達式代入原方程的表達式代入原方程和和將將xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx ,

12、0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為所求特解為.cosktAx ( )( ) (1)g y dyf x dx能寫成形如能寫成形如. .4252例例如如dyx ydx 解法解法( )( ) g y dyf x dx( )( ) 2G yF xC（ ）是是可可分分離離量量微微分分方方程程(1)兩邊積分得兩邊積分得二二. 可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程的微分方程，稱為可分離變量的方程。的微分方程，稱為可分離變量的方程。（2）確定的隱函數）確定的隱函數( )yx就是（就是（1）的解。）的解。 例例1 1 求微分方程求微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解y0時

13、，分離變量得時，分離變量得,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy21ln yxC .2為為所所求求通通解解xcey 例例3 設降落傘從跳傘塔下落后設降落傘從跳傘塔下落后,所受空氣阻力與速度成所受空氣阻力與速度成正比正比,并設降落傘離開跳傘塔時并設降落傘離開跳傘塔時 (t =0)速度為零速度為零.求降落求降落傘下落速度與時間的函數關系傘下落速度與時間的函數關系. 解解: 設降落傘下落速度為設降落傘下落速度為v(t)，降落傘在空中下落時，降落傘在空中下落時，同時受到重力同時受到重力 P 與阻力與阻力R 的作用。重力大小為的作用。重力大小為 mg ，方向，方向與與 v 一致；所受阻力大

14、小為一致；所受阻力大小為kv（k為比例系數），方向與為比例系數），方向與 v 相反，從而降落傘所受外力為：相反，從而降落傘所受外力為：kvmgFkvmgdtdvm按題意，初始條件為：按題意，初始條件為：00tv 根據牛頓第二定律根據牛頓第二定律 F = ma (其中其中 a 為加速度為加速度)，得函，得函數數 v( t ) 應滿足的方程為：應滿足的方程為：(1)方程（1）時可分離變量的，分離變量后得：mdtdvmgdv兩端積分mdtdvmgdv1)ln(1Cmtkvmgk即：1kCtmkekvmg或：keCCekmgvkCtmk1（2）這就是方程（1）的通解。）式，得：代入（將初始條件200t

15、v于是所求特解為：于是所求特解為：)1(tmkekmgv（3）3,tvmgmgkk由由（ ）可可以以看看出出，隨隨著著時時間間的的增增大大，速速度度 逐逐漸漸接接近近于于常常數數且且不不會會超超過過也也就就是是說說，跳跳傘傘后后開開始始階階段段是是加加速速運運動動，但但以以后后逐逐漸漸接接近近于于等等速速運運動動。kmgC為為可化形如的微分方程，稱為齊次微分方程的微分方程，稱為齊次微分方程. .解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入代入(3)得得,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程三、一階齊次微分方程三、

16、一階齊次微分方程 3()dyyfdxx （ ）,0)(時時當當 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入將將xyu ,)(xyCex 得得通通解解,0u 當當, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解則則uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齊次方程的解得齊次方程的解例例1求方程的通解求方程的通解：dxdyxydxdyxy22解解的形式原方程化為：xydxdy得得xyxyxyxydxdy1222（是齊次方程）（是齊次方程）uxy令uxy 則dxduxudxdy方程變為：方程變為：即：即：1uudxdyx21duuuxdx

17、u u0時，分離變量得xdxduuu1積分，得xdxduuu1lnlnuuxc 即即lnlnyyxcxxlnyycx 是是方方程程的的通通解解 0lnyycyx 故故方方程程的的解解是是與與0y 是是方方程程的的解解經檢驗知：經檢驗知：利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解2().dyxydx例例2 2求求的的通通解解解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 1( )( )dyP x yQ xdx（ ）形如形如, 0)

18、( xQ當當方程（方程（1）為）為齊次的齊次的.方程（方程（1）為）為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當四四.一階線性微分方程一階線性微分方程的方程的方程叫一階線性微分方程叫一階線性微分方程. (2)( )0dyP x ydx ,)(dxxPydy ,)( dxxPydy1ln( ),yP x dxC 齊次方程齊次方程(2)的通解為的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程一階線性微分方程(1)的的解法解法使用分離變量法：使用分離變量法：2. 線性非齊次方程線性非齊次方程 (1)( )( )dyP x yQ xdx討論討論( )( ),dyQ xP xdx

19、yy兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即與齊方程通解相比可見與齊方程通解相比可見:()( )v xCu xe 因此求非齊次線性微分方程的通解常用因此求非齊次線性微分方程的通解常用常數變易法常數變易法即把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法即把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法. .作變換，令作變換，令 dxxPexuy)()( ( )0dyP x ydx由由的通解的通解.)( dxxPCey()()( )( )( ),P x dxP x dxyu x eu xP x e

20、則則代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.d xxtd t求求 方方 程程的的 通通 解解txCe解解例例1 1由分離變量法易得對應的齊次線性微分方程由分離變量法易得對應的齊次線性微分方程0d xxd t的通解為 再用常數變易法求非齊次線性微分方程的通解。再用常數變易法求非齊次線性微分

21、方程的通解。設其通解為設其通解為：( )(*)txC t e則( )( )ttdxCt eC t edt代入原方程并化簡得代入原方程并化簡得( )tC tte從而從而( )tttC tte dtteeC將它代入（將它代入（*）式，得原方程的通解）式，得原方程的通解()1ttttxteeC eCet 例例2的通解求方程25)1(12xxydxdy解解25) 1(12xyxdxdy此方程是非齊次線性方程此方程是非齊次線性方程令：12)(xxP251)(xxQ()()()Px dxPx dxyeQ x edxc 其中：dxxPe)(dxxe12dxxe1221ln xe21xdxexexQdxxdx

22、xP12)(251)(dxexx22511ln1dxx24251) 1(1xdx23132x方程的通解為：方程的通解為：cxxy2321321的方程，稱為伯努利的方程，稱為伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( )1 ,0( n方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程，但通過變量的代換，但通過變量的代換，時時，當當1 ,0 n方程為方程為線性微分方程線性微分方程.時時，當當1 ,0 n形如形如可把它化為線性的可把它化為線性的.,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出

23、通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式得代入上式得. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例3 的通解求方程2lnyxaxydxdy解解方程化為方程化為xayxdxdyyln112令令1 yZxaZxdxdZln1為線性方程為線性方程通解為通解為:2ln2xacxZ原方程通解為:1ln22xacyx 綜上所述，綜上所述，在微分方程求解中，做變量代換是最在微分方程求解中，做變量代換是最常用的方法常用的方法，具體分析，作適當變量代換后，將方程化，具體分析，作適當變量代換后，將方程化為可分離變量的方程或是化成已知

24、求解步驟的方程，以為可分離變量的方程或是化成已知求解步驟的方程，以便求其通解。便求其通解。 在解方程時，從積分角度來說，自變量與未知函數的在解方程時，從積分角度來說，自變量與未知函數的地位是相同的，只要求得他們的地位是相同的，只要求得他們的關系式，就算原則上解關系式，就算原則上解決了求解問題。因此，解題時，可以改變自變量和未知決了求解問題。因此，解題時，可以改變自變量和未知函數的地位，以達到求解目的。函數的地位，以達到求解目的。例413txdtdx求解方程解地位，得、對調3xt3dttxdx 即3dttxdx （非齊次方程）令1( )P x 3)(xxQ得3dxdxtex edxc 32366

25、xxxxce 前面討論了一階微分方程的解法，下面將介前面討論了一階微分方程的解法，下面將介紹高階微分方程的解法。紹高階微分方程的解法。二階及二階以上的微分方程叫高階微分方程二階及二階以上的微分方程叫高階微分方程. 五、可降階的高階微分方程五、可降階的高階微分方程 一般說來，方程的階數越高，求解越復雜。有有些高階微分方程，我們可通過些高階微分方程，我們可通過代換代換，將它化成較低，將它化成較低階的方程求解階的方程求解.對于微分方程對于微分方程)()(xfyn我們可以通過兩邊逐次積分把微分方程降階，從而求得微分我們可以通過兩邊逐次積分把微分方程降階，從而求得微分方程的通解。方程的通解。(1)方程（

26、方程（1）兩邊積分得：）兩邊積分得：1)1()(cdxxfyn兩邊再積分得：兩邊再積分得：21)2()(cdxcdxxfyn 如此下去，便可以得到方程如此下去，便可以得到方程(1)的通解。的通解。1、 型的微分方程型的微分方程)()(xfyn求微分方程求微分方程xeyxcos2 的通解。的通解。解解對上方程接連三次積分得：對上方程接連三次積分得：12sin21cxeyx 32212sin81cxcxcxeyx例例121214cosxyexc xc 代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特點：特點：( )yP x 令令( ,)Pf x P 關于變量關于變量x，P的一階方程的一階方程),(xP求

27、得求得( )yP x 將將 兩邊積分可得通解兩邊積分可得通解.( ,)yf x y 2、 型型y不顯含未知函數不顯含未知函數yP 則則解解 該方程不顯含該方程不顯含y，所以令，所以令, py 此時此時pdxdpy 代入原方程得：代入原方程得：xppx2)1 (2或或dxxxpdp212求微分方程求微分方程滿足初始條件滿足初始條件1|0 xy3|0 xy例例3的特解。的特解。212()xyxy 兩邊積分得：兩邊積分得：21lnln()pxc即即)1 (21xcyp把初始條件把初始條件 代入得：代入得：3|0 xy31c所所以以)1 (32xy再積分得：再積分得：323yxxc把初始條件把初始條件

28、 代入得：代入得：1|0 xy12c于是所求的特解為：于是所求的特解為：331yxx)(ypy 設設,dydPpdxdydydpy 則則求得其解為求得其解為原方程通解為原方程通解為21,( ,)dyxCy C 特點：特點：.x右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：1( )( ,)dyP yy Cdx 3、 型型( ,)yf y y 1()代代 入入 原原 方方 程程 得得 到到 新新 函函 數數的的階階 方方 程程Py ( , )dppf y pdy 例例5求微分方程求微分方程02 yyy的通解。的通解。解解該方程不明顯的含自變量該方程不明顯的含自變量x，設，設py 則則dydppy 代

29、入方程得：代入方程得：02 pdydpyp在在0, 0py時，約去時，約去p并分離變量得并分離變量得ydypdp兩邊積分得兩邊積分得1lnlnlncyp即即ycp1或或ycy1再分離變量并積分得再分離變量并積分得21lnlncxcy或或xcecy12.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 設設代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxd

30、y 例例 6六、微分方程應用舉六、微分方程應用舉例例用微分方程解決實際問題的一般步驟：用微分方程解決實際問題的一般步驟： （1）根據問題的實際背景，利用數學知識，建立）根據問題的實際背景，利用數學知識，建立微分方程與定解條件；微分方程與定解條件； （2）根據方程的類型，用適當的方法求出方程的）根據方程的類型，用適當的方法求出方程的通解，并根據定解條件確定特解；通解，并根據定解條件確定特解； （3） 對所得的結果進行具體分析，解釋它的實際對所得的結果進行具體分析，解釋它的實際意義，如果它與實際相差甚遠，那么就應修改模型，意義，如果它與實際相差甚遠，那么就應修改模型，重新求解。重新求解。上述三部中關鍵和難點是第一步。上述三部中關鍵和難點是第一步。例1.（放射性同位素的蛻變與考古問題） 根據原子物理學理論，放射性同位素碳根據原子物理學理論，放射性同位素碳-14在在t時時刻的蛻變速度與該時刻碳刻的蛻變速度與該時刻碳-14的含量成正比的含量成正比.活著的生活著的生物通過新陳代謝不斷地攝取碳物通過新陳代謝不斷地攝取碳-14，使得生物體內的，使得生物體內的碳碳-14與空氣中的碳與空氣中的碳-14百分含量相同。生物死亡時體百分含量相同。生物