1、上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院1第第4章章 微分方程與差分方程微分方程與差分方程上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院2 在科學技術和經濟管理等許多實際問題中，在科學技術和經濟管理等許多實際問題中，系統中的變量間往往可以表示成一個（組）系統中的變量間往往可以表示成一個（組）微分方程微分方程或或差分方程差分方程，它們是兩類不同的方程，前者處理的量，它們是兩類不同的方程，前者處理的量的離散變量，的離散變量，間隔時間周期作為統計的間隔時間周期作為統計的.動態動態是連續變量；而后者處理的量則是依次取非負整數值是連續變量；而后者處理的量則是

2、依次取非負整數值例如在經濟變量的數據中就有很多以例如在經濟變量的數據中就有很多以上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院34.1 幾類可降階的高階微分方程幾類可降階的高階微分方程( ,)yf x y ( )( )nyf x ( ,)yf y y 四、四、 小結小結一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院4下面介紹三類可降階的高階微分方程的解法下面介紹三類可降階的高階微分方程的解法. . 二階和二階以上的微分方程統稱為二階和二階以上的微分

3、方程統稱為高階高階微分方程微分方程.有些高階微分方程，可以通過自變量或未知函數有些高階微分方程，可以通過自變量或未知函數的的代換代換降低階數，從而求出解來降低階數，從而求出解來. .上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院5一、一、( )( )nyf x 令令(1),nzy ( )ddnzyx 因此因此1( )dzf xxC ，即即(1)1( )d.nyf xxC 同理可得同理可得 (2)2 dnyxC 1( )df xxC dx ( )df xx 依次通過依次通過 n 次積分次積分, , 可得含可得含 n 個任意常數的通解個任意常數的通解 . .( ),f x 12

4、.C xC 型的微分方程型的微分方程 變量代換變量代換 則則上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院6例例1解解 21cosxyex d xC 211sin,2xexC 211(sin)2xyexC dx 218xye 111).2CC sin x 21C x 23C xCcos x 12,C xC （此處（此處2cos.xyex 求解214xe 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院7. 12 xy31,3yxxC 42211,122yxxCxC 532231116062yxxCxC xC 例例2 解微分方程解微分方程.解解 對方程兩邊積

5、分得：對方程兩邊積分得：再對以上二階方程積分得再對以上二階方程積分得最后對以上一階方程積分，得通解為最后對以上一階方程積分，得通解為 53212311.606xxC xC xC上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院8( ,)yf x y 型的微分方程型的微分方程 設設( ),yp x ,yp 原方程化為一階方程原方程化為一階方程( , ).pf x p 設其通解為設其通解為1( ,),px C 則得則得1( ,).yx C 再一次積分再一次積分, , 得原方程的通解得原方程的通解12( ,)d.yx CxC 二、則則變量代換變量代換 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁

6、返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院9例例3 求解求解2(1)2,xyxy01,xy 0 3.xy 解解 令令( ),yp x ,yp 代入方程，得代入方程，得2(1)2xpx p 分離變量分離變量2d2d.(1)pxxpx 積分得積分得21lnln(1)ln,pxC21(1).pCx 即即0 3 ,xy 利用利用13,C 得得于是有于是有23(1).yx 兩端再積分得兩端再積分得323.yxxC利用利用01,xy 21,C 得得331.yxx 因此所求特解為因此所求特解為則則上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院10三、三、( ,)yf y y 型的微分方程型的微分

7、方程 令令),(ypy ddpyx ddddpyyxd.dppy 故方程化為故方程化為d( , ).dppf y py 設其通解為設其通解為即得即得1( ,).yy C 分離變量后積分分離變量后積分, , 得原方程的通解得原方程的通解21d.( ,)yxCy C 變量代換變量代換 則則1( ,),py C 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院11代入方程得代入方程得2d0,dpy ppydd.pypy 即即兩端積分得兩端積分得1lnlnln,pyC1,pC y 即即1.yC y ( (一階線性齊次方程一階線性齊次方程) )故所求通解為故所求通解為12.C xyC

8、e 解解 設設( ),yp y ddpyx ddddpyyx d.dppy 則則 例例4 求解求解. 0)(2 yyy上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院12解解 令令 20,yye 00 ,xy 01.xy ( ),yp y d,dpypy 代入方程，得代入方程，得2dd .yppey 積分得積分得利用初始條件利用初始條件, ,10,C 得得則則22111.22ypeC例例5 解初值問題解初值問題上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院131.yex 21.C 得得00,xy 再再由由故所求特解為故所求特解為2,yexC 積分得積分得d

9、.dyypex得得0010,yxpy 根據根據上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院14四、小結四、小結可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法( )1.( )nyf x 逐次積分逐次積分2.( ,)yf x y 令( ),yp x d.dpyx 3.( ,)yf y y 令令( ),yp y d.dpypy 則則則則上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院15思考與練習思考與練習1. 方程方程)(yfy 如何代換求解如何代換求解?答答: : 令令)(xpy 或或)(ypy 一般說一般說, , 用前者方便些用前者方便些. . 均可均可. . 有時用后者方便有時用后者方便. .例如例如, ,2().yye 2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答答: (1) 一般情況一般情況 , , 邊解邊定常數計算簡便邊解邊定常數計算簡便. . (2) 遇到開平方時遇到開平方時, , 要根據題意確定正負號要根據題意確定正負號. .上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院16練練 習習 題題上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁湘潭大學數學與計算科學學院17練習題答案練習題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)c