1、? ?大學物理教程大學物理教程?01-?01-力學力學-09-09混沌現象混沌現象2 1975 1975年，美國數學生態學家梅年，美國數學生態學家梅R. MayR. May在研在研究昆蟲繁衍時，提出了非常簡單確實定性非線性迭究昆蟲繁衍時，提出了非常簡單確實定性非線性迭代方程，稱為蟲口方程。通過迭代計算，可以清楚代方程，稱為蟲口方程。通過迭代計算，可以清楚得到非線性系統通過倍周期分岔進入混沌狀態的途得到非線性系統通過倍周期分岔進入混沌狀態的途徑。徑。 至此，至此，混沌混沌(chaos)(chaos)作為一個新的科學名作為一個新的科學名詞正式出現在文獻中。詞正式出現在文獻中。3 對于客觀世界而言，

2、物理學中有對于客觀世界而言，物理學中有確定論確定論和和概率論概率論兩套描述體系。兩套描述體系。u 牛頓力學牛頓力學：確定論；：確定論；u 熱力學和統計物理熱力學和統計物理：概率論。：概率論。二、確定論和概率論二、確定論和概率論 外在隨機性外在隨機性是由于受到外界諸多因素的影響而產是由于受到外界諸多因素的影響而產生的，這種特性并非是動力系統本身所固有。生的，這種特性并非是動力系統本身所固有。 內在隨機性內在隨機性是動力系統本身所固有的，并不是由是動力系統本身所固有的，并不是由于外界的干擾所造成。于外界的干擾所造成。 混沌現象的隨機性是內在隨機性?；煦绗F象的隨機性是內在隨機性。4三、線性與非線性三

3、、線性與非線性道高一尺， 魔高一丈什么是線性？得寸進尺一分耕耘，一分收獲1、線性線性水漲船高5線性函數：y=ax+b函數圖象：直線yxy=ax+bb6于是法國數學家于是法國數學家拉普拉斯拉普拉斯夸下?？冢嚎湎潞？冢喝绻o定宇宙的初始條件，如果給定宇宙的初始條件，我們就能預言它的未來。我們就能預言它的未來。但是美國氣象學家但是美國氣象學家 Lorenz 在在60年代年代研究長期的天氣預報的可能性時發現研究長期的天氣預報的可能性時發現長期的長期的天氣預報是天氣預報是不可能不可能的！的！幻燈片 7幻燈片 107時間時間t氣候氣候Lorenz氣候演變曲線氣候演變曲線復雜系統對初復雜系統對初值的值的極端

4、敏感性極端敏感性蝴蝴蝶蝶效效應應x0 x082、非線性非線性 什么是非線性？事半功倍事半功倍靈感靈感事倍功半事倍功半隨機應變隨機應變勞而無功勞而無功瞎貓碰上瞎貓碰上 死耗子死耗子突發奇想突發奇想差之差之 毫厘毫厘 ，失之之 千里千里9 最簡單的非線性函數： y=a x 2+b x+ c 函數圖象： 拋物線 y x10初值的微小初值的微小差異差異被非線性的被非線性的放大放大了了非線性放大非線性放大 線性放大線性放大11建立理想模型建立理想模型 受力簡單受力簡單建立線性方程建立線性方程對對初值不敏感初值不敏感 有可預測性有可預測性經典力學經典力學線性系統線性系統簡單、平庸簡單、平庸實際運動實際運動

5、 受力復雜受力復雜建立建立非非線性方程線性方程對對初值極端敏感初值極端敏感 有不可預測性有不可預測性非線性系統非線性系統復雜、多樣復雜、多樣告告訴訴你你一一個個簡簡單單的的世世界界告告訴訴你你一一個個真真實實的的世世界界幻燈片 612 混沌現象舉例混沌現象舉例 一、三體問題一、三體問題 一顆一顆質量很小質量很小的衛星在兩顆的衛星在兩顆大質量大質量的行星作用的行星作用下運動。假定行星在它們之間的萬有引力作用下繞下運動。假定行星在它們之間的萬有引力作用下繞其聯線中心作圓周運動。同時假定三個天體在同一其聯線中心作圓周運動。同時假定三個天體在同一平面內運動?，F在要問：平面內運動?，F在要問：衛星在兩顆行

6、星作用下的衛星在兩顆行星作用下的運動情況如何呢？運動情況如何呢？m1F2F1M1M13龐加萊的發現龐加萊的發現l 由于彼此的引力作用，三體運動的牛頓方程由于彼此的引力作用，三體運動的牛頓方程組不僅含有規那么性和預見性，同時隱含著不規組不僅含有規那么性和預見性，同時隱含著不規那么性和不可預見性。那么性和不可預見性。l 衛星的長期運動是纏來繞去，錯綜復雜的。衛星的長期運動是纏來繞去，錯綜復雜的。一個非常小的原因會引出一個我們不可能視而不一個非常小的原因會引出一個我們不可能視而不見的重要結果，顯示出結果對初始條件依賴的敏見的重要結果，顯示出結果對初始條件依賴的敏感性，長期行為的不確定性。感性，長期行

7、為的不確定性。14二、蝴蝶效應二、蝴蝶效應 19611961年，洛侖茲利用一臺老式計算機，根據他年，洛侖茲利用一臺老式計算機，根據他導出的描述氣象演變的導出的描述氣象演變的非線性動力學方程非線性動力學方程進行長期進行長期氣象預報的模擬數值計算，氣象預報的模擬數值計算，探討準確進行長期天氣探討準確進行長期天氣預報的可能性預報的可能性。 有一次，洛侖茲為了檢驗上一次的計算結果，決定再算一遍。但他不是從上一次計算時的最初輸入的數據開始驗算，而是以一個中間結果 0.506127 0.506作為驗算的輸入數據。 經過一段重復過程后，計算開始偏離上次的結經過一段重復過程后，計算開始偏離上次的結果，甚至大相

8、徑庭。果，甚至大相徑庭。15時間時間t氣候氣候洛侖茲洛侖茲氣候演變曲線氣候演變曲線x0 x0 16洛侖茲的發現洛侖茲的發現l 因為他的方程是因為他的方程是非線性非線性的，的，解對初值的依賴解對初值的依賴極其敏感極其敏感。l 正是初始條件的微小誤差導致了計算結果的正是初始條件的微小誤差導致了計算結果的巨大偏離。由此斷言：巨大偏離。由此斷言：準確地作出長期天氣預報準確地作出長期天氣預報是不可能的。是不可能的。 洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀，使大氣的狀態產生微小的改變，經過動一下翅膀，使大氣的狀態產生微小的改變，經過一段時間，會在美國的得

9、克薩斯州引起一場龍卷風，一段時間，會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風，這就是這就是蝴蝶效應蝴蝶效應。17 西方童謠 丟了一個釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰馬；折了一匹戰馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰斗；輸了一場戰斗，亡了一個帝國帝國。三、蹄釘效應三、蹄釘效應18例如：例如： “ “千里之堤，潰于蟻穴。千里之堤，潰于蟻穴。蟻穴效應蟻穴效應 “ “失之毫厘，差之千里。失之毫厘，差之千里。 總之，一些看起來不顯眼的微總之，一些看起來不顯眼的微小的初始原因，會引出非常意外的小的初始原因，會引出非常意外的結果。結果。19四、昆蟲繁衍四、昆蟲繁衍 由分析昆蟲繁衍提出的蟲口即昆蟲數

10、量，昆蟲“人口，簡稱蟲口模型及描述昆蟲繁衍的非線性方程蟲口方程，在研究果木產量及家畜數量變化時也大體適用。 在研究地球上日益嚴重的人口爆炸問題時也有重要的借鑒作用。201 1、蟲口模型、蟲口模型 假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產卵后全部死亡，第二況下，即每年夏天成蟲產卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化為蟲。很顯然，假設產卵年春天每個蟲卵孵化為蟲。很顯然，假設產卵數大于數大于1 1，那么蟲口就會迅速增加，那么蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患蟲滿為患。 但在蟲口數目增大的同時又由于爭奪有限但在蟲口數目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空

11、間而不斷發生咬斗事件，也可的食物和生存空間而不斷發生咬斗事件，也可能因接觸感染而導致疾病蔓延，這些又會使蟲能因接觸感染而導致疾病蔓延，這些又會使蟲口減少?？跍p少。21 綜合考慮正增長和負增長，即鼓勵和抑制這兩綜合考慮正增長和負增長，即鼓勵和抑制這兩種因素的作用，經過一定的數學抽象和變換后，在種因素的作用，經過一定的數學抽象和變換后，在19761976年生物學家梅最終得到蟲口方程如下：年生物學家梅最終得到蟲口方程如下： 物理意義物理意義 取值范圍取值范圍 n ：繁衍的代數：繁衍的代數 1，2，3， xn：第：第n代的相對蟲口數代的相對蟲口數 0，1 ：控制參量：控制參量 0，4)1 (1nnnx

12、xx22 :0:0 1 1 x xn+1n+10 0 :1:1 3 3 x xn+1n+10 0. .5 5 :3:3 3 3.449.449 x xn+1n+1 :3:3.44.44 3 3.544.544 x xn+1n+1 4 4個解個解 :3:3. .5 54444 3 3.564.564 x xn+1n+1 8 8個解個解 3 3. .5 56969 x xn+1n+1 個解個解進入混沌狀態0 0. .513051300 0. .799579952 2個解個解1 1個解個解倍周期分叉開始昆蟲滅絕一半成活收收斂斂解解)1 (1nnnxxx23初值的敏感性初值的敏感性24五、五、混沌現象

13、的定義混沌現象的定義 混沌現象是一種貌似無規那么的運動。它是確定論系統表現的內在隨機行為的總稱。個別結果敏感地依賴初始條件；長期解不可預測；其根源在于系統方程的非線性。25 混沌現象的特性、本質及應用混沌現象的特性、本質及應用 1 1、在混沌區中混沌系統對初值的依賴具有敏感性。、在混沌區中混沌系統對初值的依賴具有敏感性。 一、混沌現象的特性與非線性物理過程一、混沌現象的特性與非線性物理過程 2 2、混沌區中存在周期窗口是混沌現象的又一大、混沌區中存在周期窗口是混沌現象的又一大 特性。特性。 混沌區為一個無限嵌套的自相似結構。即混沌區為一個無限嵌套的自相似結構。即局部與整體相似。對局部放大后的形

14、象與整體局部與整體相似。對局部放大后的形象與整體形象相同或近似相同。形象相同或近似相同。 具有無限嵌套的自相似結構是混沌現象的具有無限嵌套的自相似結構是混沌現象的普遍特性。普遍特性。26 上圖清楚地顯示了混沌的自相似結構，其中的上圖清楚地顯示了混沌的自相似結構，其中的小圖是大圖一個窗口中局部結構的放大圖。小圖是大圖一個窗口中局部結構的放大圖。27 3 3、從不同的初始條件出發可以產生同樣的結果。、從不同的初始條件出發可以產生同樣的結果。 “ “殊途同歸殊途同歸； “ “條條道路通羅馬條條道路通羅馬； “ “百川東流歸大海百川東流歸大海； “ “是金子總要發光的是金子總要發光的。 4 4、從不同

15、的初始條件出發可以得到同樣的、從不同的初始條件出發可以得到同樣的“終態終態 集合。集合。 5 5、從同樣的初始條件出發可能得到完全不同的、從同樣的初始條件出發可能得到完全不同的 結果。結果。 28 1 1、混沌是過程的科學、演化的科學，而不是狀態的、混沌是過程的科學、演化的科學，而不是狀態的 科學，變是混沌的本性?？茖W，變是混沌的本性。 二、混沌現象的本質二、混沌現象的本質 2 2、混沌現象只能出現在非線性系統而不能出現在、混沌現象只能出現在非線性系統而不能出現在 線性系統中。線性系統中。 3 3、混沌不等同于混亂。、混沌不等同于混亂。 4 4、真實的自然界介于完全確實定論和純粹的概率、真實的

16、自然界介于完全確實定論和純粹的概率 論之間。論之間。 29 1 1、湍流之謎、湍流之謎 三、混沌現象的應用三、混沌現象的應用 流體常有不規那么漲落的紊亂流動叫湍流。湍流體常有不規那么漲落的紊亂流動叫湍流。湍流的運動非常復雜，大旋渦中套小旋渦，小旋渦中流的運動非常復雜，大旋渦中套小旋渦，小旋渦中還有小旋渦。還有小旋渦。 將混沌理論應用于湍流的研究，獲得了許多重將混沌理論應用于湍流的研究，獲得了許多重要成果。科學工作者從混沌現象著手考察了湍流的要成果?？茖W工作者從混沌現象著手考察了湍流的發生機制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌發生機制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌來描述湍流形成的新觀點。

17、根據流體中所發生的實來描述湍流形成的新觀點。根據流體中所發生的實際情況建立新的統計模型，有希望在探求湍流過程際情況建立新的統計模型，有希望在探求湍流過程的共同特性上得到新的認識。的共同特性上得到新的認識。30 2 2、線性思維與非線性思維、線性思維與非線性思維 有關思維的一種重要分類方法是將思維分為有關思維的一種重要分類方法是將思維分為線性思維線性思維和和非線性思維非線性思維兩種。兩種。 非線性思維與混沌現象聯系密切，因為混沌非線性思維與混沌現象聯系密切，因為混沌現象的本質最主要的就是非線性。現象的本質最主要的就是非線性。 一般來說，人們對線性思維方式更加習慣，一般來說，人們對線性思維方式更加

18、習慣，而相對缺乏對非線性思維的認同，這是關于思維而相對缺乏對非線性思維的認同，這是關于思維方面認識上的偏差，應當引起重視。方面認識上的偏差，應當引起重視。31 線性思維線性思維只認同簡單的線性因果只認同簡單的線性因果關系，只成認一因一關系，只成認一因一果，微因微果。果，微因微果。特征：封閉性、直線性、特征：封閉性、直線性、低關聯性等。低關聯性等。優勢：從對稱性角度出優勢：從對稱性角度出發，講求平衡、穩定、發，講求平衡、穩定、全面、邏輯性強。全面、邏輯性強。缺點：保守僵化。缺點：保守僵化。 非線性思維非線性思維認同復雜的非線性因果關認同復雜的非線性因果關系。如系。如“多因一果，多因一果，“一因多果，一因多果，“微因微