1、 蘇州大學本科生畢業設計（論文） 淺談矩陣的對角化問題(濃縮版)學號：0807402069 學生姓名：馬莉瑩 指導老師：朱廣俊數學科學學院，2008級，數學與應用數學（師范） 摘要：矩陣的對角化是矩陣理論中的一個重要問題，本文利用高等代數的有關理論給出了矩陣可對角化的若干條件；從初等變換、線性方程組、特征子空間等不同角度探究了將一般矩陣和實對稱矩陣對角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩陣的對角化問題，如冪等矩陣、冪零矩陣、實對稱矩陣和hermite矩陣等. 關鍵詞：對角化，特征值，特征向量，相似變換，線性變換. abstract: diagonalization of matrix is a

2、n important problem in the matrix theory. we give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. we give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear

3、equations and characteristic subspace. in the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix. keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear transformation.一矩陣相似對角

4、化的條件由于矩陣的類型和所在數域的不同，其對角化的條件也不同.1.任意數域上矩陣相似對角化的條件 充要條件設為階方陣的個互異的特征值，且它們的重數分別為，.可對角化有個線性無關的特征向量 對于的每個特征值,其代數重數等于其幾何重數 的最小多項式無重根 對于的每個特征值，都有 的初等因子都是1次的 與某個循環矩陣相似 充分條件有個不同特征值可對角化的零化多項式無重根可對角化2. 復數域上hermite矩陣必可酉相似于對角矩陣.3.實數域上對稱矩陣必可正交相似于對角矩陣. 2 矩陣對角化的若干方法（一）一般矩陣對角化的方法特征向量法是將矩陣對角化的常規方法，用該方法解決問題時需要求解齊次線性方程組

5、，過程繁瑣.下面介紹其它四種將矩陣對角化的方法.1.矩陣乘積運算法設是在數域上全部互異的特征值.其重數分別為,且，記為的屬于的特征子空間. 對，有：（1） 若可對角化，則對的每一特征值，都有個與之對應的線性無關的特征向量.（2） 可對角化的充要條件是對于的每個特征值,. 采用類比推測，可得定理1.定理1：設是在數域上全部互異的特征值，其重數分別為,且，記=. 對，有：（1）若可對角化，則矩陣的列向量組中有對應于的個線性無關的特征向量.（2）可對角化的充要條件是. 定理1表明，要構造可對角化矩陣的相似變換矩陣,只需對每一特征值，從矩陣乘積中找出個與之對應的線性無關的特征向量，以這樣所得的個特征向

6、量為列作一個階矩陣即可.例1：設，求可逆矩陣，使得 為對角矩陣. 解：由，得 （二重）， ，所以可對角化. 當（二重）時： 取中兩個線性無關的特征向量. 當時： 取中的特征向量 當時： 取中的特征向量. 令，則 2.jordan標準形法由于復數域上任意階矩陣都相似于一個jordan矩陣，所以存在可逆矩陣，使得.如果為對角矩陣，則可對角化，否則，不可對角化.由于矩陣可逆，所以存在一系列的初等矩陣，使得.于是有： .可對先施行一次初等行變換后，接著施行一次相應的初等列變換,我們稱此種初等變換為對施行了一次相似變換.顯然，可對施行一系列的相似變換，將化為jordan形矩陣.例2：設，求可逆矩陣，使得

7、 為對角矩陣. 解：將化為jordan標準形 由的jordan標準形知，矩陣可對角化且它的特征值為-2,1,1.上述過程對共施行了三次相似變換，且三次初等列變換對應的矩陣分別為： 所以，且.3.矩陣標準形法引理1：設是階方陣，則必能用初等變換將 變為對角矩陣： 并且多項式 的所有根恰好是的所有特征值.定理2：設是階方陣， 是對角形矩陣，是可逆的矩陣，且滿足.如果 .即對作初等行變換和初等列變換，使其變為對角矩陣.隨著行的變化而變為.則（1） 若的所有根都在內，則就是的所有特征值.（2） 對于的特征值，設第行是的全部為零的行，則的第行即構成的基.其中為特征值的特征子空間.（3）可對角化，此處是的

8、重數.根據定理2即可得到矩陣標準形法：(1) 作初等變換： 設，求出的所有解.(2) 若的解都在內，并且對每個解都有中零行的數目 等于的重數，則可對角化，轉（3）；否則不可對角化，結束.(3) 對于的任一特征值，若的第行都為零，則取出的第 ，,行構作: 則.例3：設，求可逆矩陣，使得為對角矩陣. 解：作初等變換： 按上述方法：（1）記， 則（2）當時，中零行的數目的重數 當時，中零行的數目的重數.所以可對角化.（3）當時， 取中與中零行所對應的特征向量， 當時， 取中與中零行所對應的特征向量. 令，則4. 數字矩陣對角形法若矩陣在數域上可對角化，則存在上的可逆矩陣，使得為對角矩陣，且的主對角線

9、上的元素為的全體特征值.由于矩陣可逆，所以存在一系列的初等矩陣，使得.于是：，做初等變換： .即對施行一系列的初等行變換和初等列變換,使其變為對角矩陣，對只施行相應的初等列變換變為.在施行初等變換時,可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應的列（或行）變換，只要保持變換后所得矩陣與相似即可.例4：若，求可逆矩陣，使得為對角矩陣. 解：作初等變換： 所以可對角化. 令，則有. 利用初等變換將矩陣對角化時，我們可以從變換后的最終矩陣中直接讀出相似變換矩陣和對角矩陣，大大簡化了求解過程.(二）實對稱矩陣對角化的方法 schmidt正交法是將實對稱矩陣對角化的基本方法，使用該方法時需要牢記公式且計

10、算量較大.下面我們介紹另外兩種方法.1.直接正交法 該方法從向量正交的基本定義出發，直接從特征子空間中求出正交向量，易于理解和掌握，且在特征值出現重根的情況下,計算量也大為減少.例5：設 ，求正交矩陣, 使得為對角矩陣. 解：由，得（三重），. 設 當時，解齊次線性方程組，得. 先取一個特征向量. 設特征向量. 因與正交，從而有.又因為，所以可得. 取.再設特征向量. 因與和都正交，從而有，.又因為， 所以可得.取. 現將，都單位化： ，. 當時,可求得單位特征向量：. 令，則.2.度量矩陣法對于維歐氏空間,令是它的一個基，它的度量矩陣 是正定矩陣,于是合同于單位矩陣，即可求得階可逆矩陣，使得

11、.利用和的基作一個新基:.那么，新基的度量矩陣即為： . 所以是歐式空間的標準正交基.例6：設，求正交矩陣, 使得為對角矩陣. 解：由，得（三重），. 當時，解齊次線性方程組，得基礎解系 ， 當時，解齊次線性方程組，得基礎解系 則 是一組基.記其度量矩陣為，那么 對矩陣作合同變換：=. 取，則有.利用和基作新基: . 則： ， . ， . 由于的度量矩陣，故是的標準正交基.令，則是正交矩陣且. 三.特殊矩陣的對角化1.冪等矩陣定理3：階冪等矩陣一定可以對角化，并且的相似標準形是 ，其中,是階單位矩陣.證明： 因為,所以有零化多項式，因為無重根，所以可對角化.而的特征值只有0和1，所以的相似標準

12、形是,其中.由該定理可以推出冪等矩陣的若干性質：性質1：冪等矩陣的跡等于的秩.證明：設是數域上的一個階冪等矩陣，. 如果，則.如果，則從而 下面設.由的相似標準形得： 性質2：任意階矩陣都可以表示成為一個可逆矩陣與一個冪等矩陣的乘積.證明：設階方陣的秩為，則存在階可逆矩陣 使得： 所以. 令，.易知為可逆矩陣.因為，所以為冪等矩陣.即任意階矩陣都可以表示成為一個可逆矩陣與一個冪等矩陣的乘積.2.冪零矩陣 引理2：若 為的特征多項式，為的最小多項式，則.引理3：設為階矩陣的特征值，則對任意的多項式有的特征值為.冪零矩陣具有下列性質：性質3：為冪零矩陣的充分必要條件是的特征值全為0.證明：（必要性

13、) 若為冪零矩陣，則存在正整數，使得.令為的任意一個特征值，則存在,使得.由引理3知為的特征值. 所以存在 ，使得 ，從而有即有. 又由，知，所以 . 所以為的特征值.由的任意性知的特征值全為0. （充分性）因為的特征值全為0, 所以的特征多項式為,由引理2知,所以為冪零矩陣.性質4：若為冪零矩陣且，則不可對角化.證明：若可對角化，則存在可逆矩陣，使得，此處是階對角形.若為冪零矩陣，則存在正整數，使得，即： ， 因為，所以有： ， 與題設矛盾. 3.冪幺矩陣性質5：冪幺矩陣在復數域上可對角化.證明：若為冪幺矩陣，則存在正整數，使得，所以有零化多項式. 因為在復數域上，的根都是次單位根，故無重根

14、，所以可對角化.注意：在實數域上不一定可對角化！例如，滿足，即為冪幺矩陣，但是在實數域上無根，所以在實數域上不可對角化.4.實對稱矩陣性質6：實對稱矩陣的不同特征值的特征向量相互正交.性質7：設是實對稱矩陣的重特征值，則對應于特征值，矩陣有個線性無關的特征向量.定理4:設是一個實對稱矩陣.則存在一個正交矩陣,使得,并且是實數，.證明：設的互不相等的特征值為，并且它們的重數依次為.則對于特征值，恰有個線性無關的實特征向量.把它們正交化并單位化，即得個單位正交的特征向量.由知，這樣的特征向量共可得個.由于不同特征值的特征向量正交，故這個單位特征向量兩兩正交，以它們為列向量作成正交矩陣，則： 為一個實對稱矩陣.5.hermite矩陣歐氏空間實質上是實數域上的一個內積空間.類似地考慮復數域上的內積空間酉空間和酉空間上的線性變換.與正交變換和實對稱矩陣類似，酉空間中有酉變換與hermite矩陣.性質8：設是hermite矩陣，則的特征值均為實數.證明：設為的特征值，為其對應的特征向量，即，那么： 但，所以，即為實數.性質9：設是hermite矩陣，則對應于的不同特征值的特征向量必正交.證明：設是的兩個不同的特征