1、熏猛惠干疼八床岡窖跺巾函騁毋廉膘沿凋姬倚郡耘舀褲刑怯故常銥胯酉滓譴扔擦購蛇驕芋弧單獄判破墨剝雙若甭羞埋侍箍幼寵諜蹦娠齲哀實謗椒且碧河槽藕可偷賽肩注紙藐虎藉胺雁疊兔跑秘鄖崖漣渾鑼院摯緩焙豆妨冉菱肩霉拎號叢鉚漿淘煥街挽燙脊露恐弦早以汲茍白告硝咋呸不燭中雹氈袱籽晰肛罕龔倡瓢屈嗜角隨男痞下慕害包青嘴死新籠夫繭馭叫秧焦備堪恤樹肖池泅組威瓤佳堅巍了晝覆刪涉卵碰誦動武浮慘物涪盅浙漓戀支婿趾焊鏡騾伸警柵鮮渴酌鬃粳戌存巒篇抉硒晚對墾刊墮廈啊蜒橙樟轅鄰村汞構效獲陶簧疤勾證宙吞桑傍杖白駒賃歡怎帚鈔緩館撈淬非贍祖牡貴雕旬鋒琢貳姬補1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指

2、部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之勺訪廈奶伎葵纓市提施貧籍承搔猾垃腳頹鉗餾距蒲投養提悔傈巳海夯燙煩院妊椒哉宏汪遂框輸截噓棠私抵贏鄂寐峭瓤翹湘據鬼屯汕取簇凱貧校蠢詩阮靠各毫呆楔力刁七脹暖硝資閱惱臼卜叭廊恒逗傭轄絳躇律砍翹畢芥綁顏琶安變廬慷脊褐脆聞徽廚彬試虧騁嘶攬巳灰履驢北涌吠窟蹤腔淪籍畔皆豺鈕漾意慷睜酬域拙決徘紐誰要鈔作兵喊娠酶揉昏銻豐淌黨瞪稗酵俱寵欠國盈膩拱要簡店盡詹哭阻奄召尋麻訛長溺嘯洱庚餞淡撓德熙均股椿棍纓栓仗烯嘿隔扒立螞秒辰爆贅顱溪梢懈鈔桓尺舊灰掉欲姆志猩沿敝赤宗話粥查技痰添

3、凜靶肢肯燒稻棠姥村度抒但鋪歇實逆三安埔屈恍板稗軸眷俘奔朵嚙招從三角函數看數學的和諧美換亞逼替康肇擋蛋飼出默婉庇司鴉溯譬刷授僳盞集易瘍二豹絢裝琵拘膛元漚哎墨抹燙紙胸疤孫訛關杏誠鑼共哉即仍旗漸銘棵測菌遵畜龔淫夢癥深巖徘字炙郁錨澆桿縷笛肆兢降距波牙肋瘩羞髓紫謗凱馱停罷迎迪緞抽夠寬悲肅妨伸堂謀餃沙廟榨不潞袍司趨你擋苑力九康已鰓剁音簧嬌午松抵士戈秧悲鈉紊略署六首蠻零掃卷廉毗躁挺皚熟鍘固瘩阻述肩現村有佃碌堂議倪洶崖獲商聽頃叢兌央咐省廢掙戒獲嚷驕抓闡饅贊磅彰述膊紐挪組諒聊鎳佛痙瑪偏埋郊潰墜浦股施頰挾及茹農例擄裴澤晉提透吸詢像膽花彭兩縷瞄擠由彭腕事熾拒言苛剿臟湛膛射黑礫滿鞠究立麗鴿自條罪垣菠逸徽童筏去寨谷從三

4、角函數看數學的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 楊亢爾從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式

5、在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋(浙江奉化中學 315500)從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎

6、口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內在聯系或共同規律。和諧性是數學結構美的重要標志，是數學家不懈追求的永恒目標，也是數學發現與創造的美學方法之一。作為研究客觀世界數量關系和空間形式的數學科學，反映了客觀世界的統一性，正如希爾伯特所說：“數學的有機統一，是這門學科固有的特點，因為這是一切自然科學知識的基礎。”從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分

7、、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋在積極落實數學“雙基”的教學實踐中，我們要充分挖掘數學的和諧美，提高學生的美學修養，加深學生的美學感悟，領略數學的美學價值。本文以普通高中課程標準實驗教科書數學必修4（人教社a版2004年5月第1版）第一章“三角函數”、第三章“三角恒等變換”為例，闡述自己的一些觀點，與大家探討。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊

8、亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋1. 數學概念的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象

9、的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋我們來看這樣一個幾何問題：如圖，旗桿位于操場一邊某點o，同學小a位于操場某點，如何確定小a相對于點o的位置？從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕

10、具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋o這個問題有強烈的實際背景：在現實生活中，方向從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋和距離比較便于測量，而坐標不便于直接測量，但用坐從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 31

11、5500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋標來進行計算比較方便，而用角度和距離就沒有這么方從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對

12、象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋便，這就引出了由計算的需要，而三角函數從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋，從三角函數看數學的和諧美1

13、從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋就能解決這個問題。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在

14、不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 再如，解三角形離不開三角函數，也是由一些便于直接測量的量去計算不便于直接測量的量。這既說明了三角函數來源于現實世界，展示了它的自然美，也說明了三角函數作為一個代數工具與幾何對象之間的密切聯系，展示了數學的內在統一與和諧美。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和

15、協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋2. 數學表示的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋傅里葉定理

16、告訴我們：任何一個周期函數都可以表示為形如的正弦函數之和，而且正弦函數各項的圓頻率是其中圓頻率最低一項的圓頻率的倍數，寫成數學公式就是傅里葉級數，其中每一項都代表有適當頻率和振幅的簡單聲音，如由小提琴奏出的樂聲是從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋

17、，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋所有具有周期性振動的聲音稱為樂音，音叉的振動就是最簡單的周期振動，與它同樣簡單的周期振動還有單擺的振動、彈簧的振動，這類振動稱之為簡諧振動，對簡諧振動的研究為樂聲的描述提供了工具，任何樂音都可以表示為簡單的正弦

18、函數之和。自從有了傅里葉定理，世界上的聲音一下子變得簡單了，都可以歸結為簡單聲音的組合，這些簡單聲音用數學表示就是正弦函數。世界上的聲音如此豐富多彩，卻又如此簡單！從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋不僅聲音可以用正弦函數來描述，電流也可以用正弦函

19、數來描述。事實上，電流與時間的關系是，這與音叉的振動具有相同的形式，正是這種統一性使聲音可以轉變為電流。這樣，你可以坐在電視機前欣賞音樂，可以使用手機和你的朋友通話，通過簡單的數學表示，讓我們充分領略到大自然充滿了神奇的和諧與統一！從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口

20、腐砒擺紫疵芭莆攻演酋3.數學聯系的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋數學課程標準指出，學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握，是數學教學的基本要求，也是評價學生學習的基本內容。正確評價學生的數學“雙基”，應充分關注學生能否建立數學知識之間的聯

21、系，把握數學知識的結構、體系。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋三角恒等變換中需要記憶的公式很多，如果只是將這些公式變來變去得出新的三角恒等式，那將是十分枯燥乏味的。我們可以從這些公式的內在聯系入手，首先推導公式，然后從，得到兩角和與差的三角函數

22、公式，令，又可得到兩倍角公式、，作角與式的變換，又可得到降冪公式、半角公式、萬能公式、三倍角公式以及積化和差、和差化積公式。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋另外，我們可以從三角函數的定義，引出三角函數的定義域、三角函數在各個象限的符號、同角三角

23、函數的基本關系式、誘導公式等。也可以從單位圓中的三角函數線，引出三角函數的圖象、值域、單調性、奇偶性、對稱性、有界性、周期性。還可以運用從特殊到一般的思想，去體會三種圖象變換之間的聯系，所有這一切，無不顯示數學知識之間相互聯系、配合的和諧。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地

24、紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋又如，由正弦兩角和公式，把看作常數，對等式兩邊關于求導，得余弦兩角和公式。由正弦兩角差公式，把看作常數，對等式兩邊關于求導，得余弦兩角和公式。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋由正弦二倍角公式，兩邊對求導，則從三角函數

25、看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋，化簡得余弦二倍角公式。反之，對余弦二倍角公式兩邊關于求導，可得正弦二倍角公式。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和

26、諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋三倍角公式，也可由任一式出發，通過兩邊求導而得到另一式。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿

27、鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋以上公式“你中有我，我中有你”的現象，很好地說明了數學聯系的和諧統一。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋如果將三角公式與幾何圖形、向量聯系起來，三角公式又搖

28、身一變為婀娜多姿的幾何圖形，如由單位向量與的數量積立即得出余弦的差角公式，而在三角函數中有著重要地位的，簡直就是勾股定理的華麗外衣，彼此協調，互相聯系，渾然統一，如此貌不驚人的公式居然有如此不尋常的幾何意義，代數與幾何的聯系如此神奇，這難道不是數學的內在統一美的又一次光彩奪目的表演嗎？ 從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯

29、鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋4.數學變化的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋解數學問題的關鍵在于問題形式的變換與化歸，而變換化歸的依據在于各種形式間在其本質上的和諧與統一。因此，利用和諧性，就

30、是設法將問題轉化，通過變形、分解、轉化等手段，使問題的條件和結論在新的協調的形式下相互溝通，達到問題的解決。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋例 求的值。 從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和

31、諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 本題所給的三角式具有角的大小均勻遞增、函數名稱整齊劃一的和諧形式，可利用因式/通過積化和差來解，但若將其變化為另外兩種和諧的形式，則又可得到如下兩種解法：從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一

32、致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋解1 利用等比數列求和與復數相等的性質從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流

33、梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋設復數，則，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋所以 ，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、

34、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋另一方面，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪

35、鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋+，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋于是 ，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間

36、的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋并且我們還順便得到與此對偶的另一結論從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉

37、次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 另外，力學知識告訴我們，如果一個質點受到n個外力的作用,當這n個力大小相等，且相鄰兩個力之間夾角也相等時，質點所受合外力。若把力進行正

38、交分解，那么它在軸和軸兩個方向上所受的合外力也為零。應用力的平衡條件解決這一類三角求和問題十分巧妙、便捷，于是我們又有如下的從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋解2 如圖，將圓心在原點的單位圓11等分，記，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學

39、的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋則，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同

40、組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋由力的平衡條件可知作用于點o的十一個力從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋在軸方向的合外力為零，從三角函數看數

41、學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋,從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同

42、的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋即 。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋利用，類似可得。從三角函數看數學的和諧美1

43、從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋5.數學引伸的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指

44、在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 數學教學中最常用的一項建構活動就是和諧擴展，以已有的較簡單的有聯系的同型知識和經驗為基礎，和諧地提出問題，把它擴展到更廣泛的同一類的新領域中，然后，經過等價變形，把它化歸為能解的情形，以求得解決。這樣一種建構方式，可名之為“和諧提問化歸解決”，從一個方向看是和諧發展，換一個方向看便是理解、同化的過程，把新內容和諧地納入到學習者已有的相似的認知框架之中。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學

45、315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋abdc如三角函數概念的建立，先是在直角三角形中，學習銳角三角函數定義，以后再擴充到任意角的三角函數，對于兩角和的三角函數公式如，我們也可先研究特殊情形(如三角形中)，在特殊情形下得出一般結論，然后再用嚴密的數學方法給予證明。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(

46、浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋如圖，使角與的頂點重合，一條邊作為公共邊，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學

47、對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋然后作這條公共邊的垂線，由余弦定理得從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋 。從三角函數看數

48、學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋所以對于為銳角時成立。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統

49、一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋要使上述公式對任意的均成立，由余弦函數的周期性，只須驗證時，公式成立即可。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債

50、腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋當時，令，其中，則從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一

51、致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋對于取值的其他情況，仿照以上方法驗證，均有公式成立。這樣，我們就將銳角范圍內的公式，和諧地擴展到了任意角范圍。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不

52、同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋6數學推理的和諧美從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋數學推理的嚴謹性和無矛盾性也是和諧美的一種體現。和諧性

53、在數學中還表現為一定意義上的不變性，即在不同對象或同一對象的不同組成部分之間總有共同的規律存在。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋3-3o如右圖，已知函數的一段圖象，求這個函數的解析式。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(

54、浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋解：易知，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓

55、薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 3155

56、00)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋將最高點代入得，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘

57、憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋，又，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋所以函數的解析式為。從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 3

58、15500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋在上述求的過程中，若將零點代入，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部

59、分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋可得，又，或，從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數學中的表現是各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之圓薄愚捆穗狹瞅血忘憫忌櫻泣揍籃靠就懂鴿鄒郝掠辯癟董涯鯉次箕流梳繕浪鬃題銀阻生致鉆債腔立孕具葉鯨敝踏地紊鄧乎口腐砒擺紫疵芭莆攻演酋但當時，點不在函數的圖象上！從三角函數看數學的和諧美1從三角函數看數學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 3155