1、三角函數的應用題第一階梯例1如圖，adbc，acbc，若ad=3，dc=5，且b=30，求ab的長。解：dac=90由勾股定理，有cd2=ad2+ac2ad=3，dc=5ac=4b=30ab=2acab=8例2如圖，abc中，b=90，d是bc上一點，且ad=dc，若tgdac=,求tgbad。探索：已知tgdac是否在直角三角形中？如果不在怎么辦？要求bad的正切值需要滿足怎樣的條件？點撥：由于已知中的tgdac不在直角三角形中，所以需要轉化到直角三角形中，即可地d點作ac的垂線。又要求bad的正切值應已知rtbad的三邊長，或兩條直角邊ab、bd的長，根據已知可知沒有提供邊長的條件，所以要

2、充分利用已知中的tgdac的條件。由于ad=dc，即c=dac，這時也可把正切值直接移到rtabc中。解答：過d點作deac于e，且設de=k，則ae=4kad=dc,dac=c，ae=ecac=8k設ab=m，bc=4m由勾股定理，有ab2+bc2=ac2由勾股定理，有cd2=de2+ec2由正切定理，有例3如圖，四邊形abcd中，d=90，ad=3，dc=4，ab=13，bc=12，求sinb。探索：已知條件提供的圖形是什么形？其中d=90，ad=3，dc=4，可提供什么知識？求sinb應放在什么圖形中。點撥：因已知是四邊形所以不能求解，由于有d=90，ad=3，dc=4，這樣可求ac=5

3、，又因有ab=13，bc=12，所以可證abc是rt，因此可求sinb。解：連結acd=90由勾股定理，有ac2=cd2+cd2ad=3，cd=4，ac=5ab=13，bc=12132=122+52acb=90由正弦定義，有 第二階梯例1如圖，在河的對岸有水塔ab，今在c處測得塔頂a的仰角為30，前進20米后到d處，又測得a的仰角為45，求塔高ab。探索：在河對岸的塔能否直接測得它的高度？為什么在c、d兩處測得仰角的含義是什么？怎樣用cd的長？點撥：要直接隔岸測得塔高是不可能的，也不可能直接過河去測量，這時只能考慮如何利用兩個仰角及cd長，由于塔身與地面垂直，且c、d、b三點共線這時可以構成一

4、個直角三角形，且有acb=30，adb=45，這時就可以借助解直角三角形的知識求解了。解：根據仰角的定義，有acb=30，adb=45又abcb于b。dab=45db=ab設ab=x由正切定義，有解得即塔高答：塔高ab為米。 第三階梯例1已知等腰三角形的頂點為a，底邊為a，求它的周長及面積。探索：在現在的已知條件下能否求得周長與面積？如果不能求解是因為什么原因造成的，這時底邊為a，能否確定腰長及各個內角呢？首先能否確定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么辦？點撥：由于沒有相應的圖形，所以應先確定圖形，若是等腰三角形，應先假設這個三角形是斜三角形，再根據條件先轉化為直角三角形，再求相應的量

5、。設已知abc中，ab=ac，bc=a（如圖）解：過a點作：adbc竽d點，設bad=ab=acbd=cd=根據正弦定義，有ab+ac+bc=a+由余切定義，有ad=注意：也可設bac=，則bad=。例2有一塊矩形紙片abcd，若把它對折，b點落在ad上f處，如果dc=6cm，且dfc=2，ecb=，求折痕ce長。探索：根據已知條件圖形對折，b點落在f點的含義是什么？它會有怎樣的結論？這時又可以形成什么圖形關系？另知dc的長能否求折痕呢？又根據條件我們還可以確定什么？這時又可形成怎樣的問題？點撥：由于f點的形成是因對折b點而形成的，因此可有ebcfec，同時又可有aefcdf。根據已知條件df

6、c=2及ecb=，這時就可以形成與角有關的圖形。進而可求ce的長。解：根據已知條件，有ebcfeceb=ef，bc=fc，ecb=ecfcfd=2，且ecb=ecf=由余弦定義，有adc=902由余弦定義，有例3如圖6-5-5，某船向正東方向航行，在a處望見燈塔c在東北方向，前進到b處望見燈塔c在北偏西30，又航行了半小時，望見燈塔c恰在西北方向，若船速為每小時20海里，求a、d兩點間的距離，（結果不取近似值）圖6-5-5思路分析：易知acd是等腰直角三角形，要求ad，不能利用acd直接求得，由于圖形中再沒有其他的直角三角形，必須構造直角三角形，作cead于e，只要求出ce，就可能以求出ad，

7、借助兩個直角三角形（bce和dce）中，be、de與bd的關系以及be與ce之間的關系就可求ce。解作cead，垂足為e，設ce=x海里 cad=cda=90-45=45，ce=ae=de=x。在rtbce中，cbe=90-30=60，由de-be=bd得，解得。答：a、d兩點間的距離為海里。第四階梯例1有一段防洪大堤，其橫斷面為梯形abcd，abdc，斜坡ad的坡度i1=1:1.2,斜坡bc的坡度i2=1:0.8，大壩頂寬dc為6米，為了增強抗洪能力，現將大堤加高，加高部分的橫斷面為梯形dcfe，efdc，點e、f分別在ad、bc的延長線上（如圖6-5-6），當新大壩頂寬ef為3.8米時，大

8、壩加高了幾米？ 圖6-5-6思路分析：本題實質上是梯形cdef的有關計算問題，注意到大堤加高但坡度不變，即de、cf的坡度公別為1:1.2,1:0.8,又dc=6米，ef=3.8米,要求大壩加高的高度,分別作fhdc于g,fhdc于h,利用rtdeg, rtcfh和矩形efhg可以求出新大壩的高度.解作egdc,fhdc,垂足分別為g,h,則四邊形efhg是矩形,gh=ef=3.8米.設大壩加高x米,則eg=fh=x米。i1=1:1.2, i2=1:0.8,由dg+gh+ch=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1答：大壩加高了1.1米。例2如圖6-5-7，臺風是一種自然災害，

9、它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形式氣旋風暴，有極強的破壞力，據氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220千米b處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東30方向往c移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響。（1）該城市是否會受到這次臺風的影響？請說明理由。（2）若會受到臺風的影響，那么臺風影響該城市的持續時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？圖6-5-7思路分析：（1）作adbc于d，達到或超過四級風力所影響的范圍是距臺風中心不超過（12-4）20=160千米

10、的范圍內，比較ad與160的大小關系，就可以確定該城市是否受這次臺風的影響。（2）當a點距臺風中心不超過160千米時，將受到臺風的影響，如圖6-5-7，ae=af=160千米，當臺風中心從e處移到f處時，該城市都會受到這次臺風的影響，利用勾股定理計算出ef的長度，就可以計算出這次臺風影響該城市的持續時間。（3）顯然當臺風中心位于d處時，a市所受這次臺風的風力最大。解（1）如圖6-5-7，由點a作adbc，垂足為d。 ab=220，b=30，。由題意，當a點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響，由于ad=110160,所以a市會受到這次臺風的影響. (2)在bd及bd的延長線上分別取

11、e,f兩點,使ae=af=160千米.由于當a點距臺風中心不超過160千米時,將會受到臺風的影響.所以當臺風中心從e點移到f點時,該城市都會到這次臺風的影響.在rtade中,由勾股定理,得(千米).該臺風中心以15千米/時的速度移動,這次臺風影響該城市的持續時間(小時).(3)當臺風中心位于d處時,a市所受這次臺風的風力最大,其最大風馬牛不相及力為四、【課后練習】 a組1如圖：6-5-8，一鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，根據圖示數據計算路基的下底寬ab=_。2如圖6-5-9，在高2米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要 _米（精確到0.1米） 圖6-5-8圖6-5-93如圖6-5-1

12、0，在高離鐵塔150米的a 處，用測角儀測得塔頂的仰角為30，已知測角儀高ad=1.52米，則塔高be=_（精確到0.1米）圖6-5-10圖6-5-114某防洪堤壩的橫斷面是梯形，已知背水坡的坡長為60米，坡角為30，則壩高為_ 米。5升國旗時，某同學站地離旗桿底部24米處行注目禮，當國旗升至旗桿頂端時，該同學視線的仰角恰為30，若雙眼離地面1.5米，則旗桿高度為_ 米，（用含根號的式子表示）6在地面上一點，測得一電視塔尖的仰角為45，沿水平方面再向塔底前進a米，又測得塔尖的仰角為60，那么電視塔高為_。7若太陽光線與地面成37角，一棵樹的影長為10m，則樹高h的取值范圍是（ ）a3h5 b、

13、5h10 c.10h158河堤的橫斷面如圖6-5-11所示。堤高bc是5米，迎水坡ab的長是13米。那么斜坡ab的坡寬i是（ ）a1：3 b、1：2 6 c.1:2.4 d.1:29.某地夏季中午，當太陽移到屋頂上方偏南時，光線與地面成80角。房屋朝南的窗子高ab=1.8m,要在窗子外面上方安裝一個水平擋光板ac，使午間光線不能直接射入室內（如圖：6-5-12），那么擋光板ac的寬度至少應為（ ）圖6-5-12 圖6-5-13a1.8tan80m b.1.8cos80m c.m d.1.8cot80m10.如圖6-5-13，水庫大壩的橫斷面為梯形，壩頂寬6米，壩高24米，斜坡ab的坡角為45，

14、斜坡cd的坡度i=1：2，則壩底ad的長為（ ）a42米 b、（30+24）米 c、78米 d、（30+8）米11、如圖6-5-14，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為a,則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）a b. c.sina d.1圖6-5-1412.如圖6-5-15，直升飛機在跨河大橋ab的上方p點處，此時飛機離地面的高度po=450米，且a、b、o三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為=30,=45，求大橋ab的長（精確到1米，供選的數據：1.41, 1.73）.13.某型號飛機的機翼形狀如圖6-5-16所示，其中abcd，根據圖中的數據計算ac、bd

15、和cd的長度。（結果保留根號）14如6-5-17，某水庫大壩的橫斷面是等腰梯形，壩頂寬度為6米，壩高10米，斜坡ab的坡度是1：2（ar：br），現要加高2米，在壩頂寬度和斜坡坡度不變的情況下，加固一條長50米的大壩，需要多少土方？15如圖6-5-18,已知c城市在b城市的正北方向，兩城市相距100千米，計劃在兩城市間修筑一條高速公路（即線段bc），經測量，森林保護區a在b城市的北偏東40方向上，又在c城市的南偏東56的方向上，已知森林保護區a的范圍是以a為圓心，半徑為50千米的圓，問：計算修筑的這條公路會不會穿越保護區？為什么？（已知tan40=0.839,tan56=1.483）b組1、

16、1、 知小山的高為h,為了測得小山頂上鐵塔ab的高x,在平地上選擇一點p，在p點處測得b點的仰角為，a點的仰角為。（見右表中測量目標圖6-5-19）（1）試用、和h的關系式表示鐵塔高x;（2）在右表中根據第一次和第二次的“測得數據”，填寫“平均值”一列中、的數值；（3）根據表中數據求出鐵塔x的值。（精確到0.01m）2.如圖6-5-20，某校的教室a位于工地o的正西方向，且oa=200米，一臺拖拉機從o點出發，以每秒5米的速度沿北偏西53方向行駛，設拖拉機的噪聲污染半徑為130米，試問教室a是否在拖拉機的噪聲污染范圍內？若不在，請說明理由；若在，求出教室a受污染的時間有幾秒？（已知sin530

17、.80,sin370.60,tan370.75） 圖 6-5-20c組1、已知abc中，bac=90，adbc于d，cd=9，ab=20，求sinb。2、已知水庫大壩的橫截面是梯形abcd，若bcad，壩頂bc寬5米，壩高20米，斜坡ab的坡度之i=12.5，斜坡cd的坡度i=12，求壩底ad及ab、cd長。3、在rtabc中，acb=rt,cdab于點d，ad4,則cd，bc。a組答案1、34m 2、5.5 3、88.1米 4.30 5.(8+1.5) 6.米 7b 8、c 9、d 10、c 11、a 12、329米 13、ac=3米，bd=6米，cd=（）米 14、5000米3 15、過點a作adbc，垂足為d，在rtadc中，cd=；在rtabd中，bd=，依題意有+=100。所以ad=53.58，因為ad50，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越森林保護區。b組答案： 1（1）x=h;(2)=2918，=3559；（3）x30.88