1、一元二次不等式及其解法【知識梳理】1一元二次不等式我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集. 3一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如表判別式b24ac000)的根有兩相異實根x1，x2，(x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數根二次函數yax2bxc (a0)的圖象ax2bxc0(a0)的解集或xx2rax2bxc0)的解集【常考題型

2、】題型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因為72423250，所以方程2x27x30有兩個不等實根x13，x2.又二次函數y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為x|x，或x3(2)原不等式可化為(x5)(x1)0，所以原不等式的解集為x|1x5(3)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(4)原不等式可化為x26x100，(6)24040，所以方程x26x100無實根，又二次函數yx26x10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(5)原不等式可化為2x

3、23x20，因為942270，所以方程2x23x20無實根，又二次函數y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為r.【類題通法】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數大于零；(2)計算對應方程的判別式；(3)求出相應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程沒有實根；(4)根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集【對點訓練】1解下列不等式：(1)x25x60；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程x25x60的兩根為x11，x26.結合二次函數yx25x6的圖象知，原不等式的解集為x|x6(2)原不等式可化為x27x60.解方程x27

4、x60得，x11，x26.結合二次函數yx27x6的圖象知，原不等式的解集為x|1x0.方程(x2)(x3)0兩根為2和3.結合二次函數y(x2)(x3)的圖象知，原不等式的解集為x|x2(4)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等價于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.結合二次函數y9x212x4的圖象知，原不等式的解集為x|x.題型二、解含參數的一元二次不等式【例2】解關于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解為x11，x2a，函數yx2(1a)xa的圖象開口向上，則當a1時，原不等式解集為x|ax1；當a1時，原不等式解集為；當a1時，原不等式

5、解集為x|1xa【類題通法】解含參數的一元二次不等式時：(1)若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0與小于0進行討論；(2)若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式進行討論；(3)若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論【對點訓練】2解關于x的不等式：ax2(a1)x10(ar)解：原不等式可化為：(ax1)(x1)0，當a0時，x1，當a0時(x1)0x1.當a1時，x1，當1a0時，(x1)0，x或x1.當a1時，1，x1或x，綜上原不等式的解集是：當a0時，x|x1；當a0時，；當a1時，x|x1；當1a0時，.當a1時，題型三、一元二次不等式與相應函數、方程的關系【例

6、3】已知關于x的不等式x2axb0的解集為x|1x2，求關于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集為x|1x2，1,2是x2axb0的兩根由韋達定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集為(1，)【類題通法】1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數yax2bxc與x軸交點的橫坐標2二次函數yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構成的，三者之間相互依存、相互轉化【對點訓練】

7、3已知方程ax2bx20的兩根為和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的兩根為和2，由根與系數的關系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可變為2x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集為x|x1【練習反饋】1不等式x(2x)0的解集為()ax|x0bx|x2cx|x2或x0dx|0x2解析：選d原不等式化為x(x2)0，故0x2.2已知集合mx|x23x280，nx|x2x60，則mn為()ax|4x2或3x7bx|4x2或3x7cx|x2或x3dx|x2或x3解析：選amx|x23x280x|4x7，nx|x2x60x|x2或x3，mnx|4x2或3x73二次函數yx24x3在y0時x的取值范圍是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集為，則實數a_，實數b_.解析：由題意可知，2是方程ax2bx20的兩個根由根與系數的關系得解得a2，b3.答案：235解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等