1、課時素養(yǎng)評價 三十距離、直線與平面所成的角 (20分鐘35分)1.在正三棱錐p-abc中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,側(cè)棱長為a,則點p到平面abc的距離為()a.ab.ac.ad.a【解析】選c.作ph平面abc于h,連接ch并延長,交ab于d,連接pd,由phcd=pcpd,求得ph=a.2.在棱長為1的正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別為棱aa1,bb1的中點,g為棱a1b1上的一點,且a1g=(01),則點g到平面d1ef的距離為()a.b.c.d.【解析】選d.a1b1面d1ef,所以g到面d1ef的距離為a1到面d1ef的距離.在a1d1e中,過a1作a1hd1e交d1e于h

2、,顯然a1h面d1ef,則a1h即為所求,在rta1d1e中,a1h=.3.在三棱柱abc-a1b1c1中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點d是側(cè)面bb1c1c的中心,則ad與平面bb1c1c所成角的大小是_.【解析】如圖所示,取bc的中點e,連接de,ae,則ae平面bb1c1c.所以aede,因此ad與平面bb1c1c所成角即為ade,設(shè)ab=a,則ae=a,de=,即有tanade=,所以ade=60.答案:604.已知正方形abcd的邊長為1,線段pa垂直于平面abcd,且pa=1,則點p到點c的距離為_.【解析】如圖,連接ac,則ac=.又pa平面abcd,ac平面abcd.所以paa

3、c,又pa=1,所以在rtpac中,pc=.答案:5.如圖,邊長為2的正方形abcd在上的射影為efcd,且ab到的距離為,則ad與所成的角為_.【解析】在rtaed中,ae=,ad=2,所以ade=30.答案:306.如圖所示,在abc中,acb=90,ab=8,bac=60,pc平面abc,pc=4,m為ac邊上的一個動點,則pm的最小值為_.【解析】作chab交ab于h,連接ph.因為pc平面abc,所以phab,則當點m在h處時,ph最小.因為ac=8cos 60=4,所以ch=4sin 60=2,所以ph=2,即pm的最小值為2.答案:2 (30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共

4、20分)1.空間四點a,b,c,d每兩點的連線長都等于a,動點p在線段ab上,動點q在線段cd上,則點p與q的最小距離為()a.b.ac.ad.a【解析】選b.當p,q為中點時,pq為ab和cd的公垂線,此時最短,求出得pq=a.2.如圖所示,aa平面abb,bbab,bab=,aba=,則abab等于()a.21 b.31 c.32 d.43【解析】選a.由bab=,aba=,設(shè)ab=2a,經(jīng)計算bb=a,ab=a,所以在rtbba中得ab=a,所以abab=21.3.在四面體abcd中,已知abac,bdac,那么點d在平面abc上的射影h必在()a.直線ab上b.直線bc上c.直線ac上

5、d.abc內(nèi)部【解析】選a.在四面體abcd中,因為abac,bdac,abbd=b,所以ac平面abd,又ac平面abc,所以平面abc平面abd,又平面abc平面abd=直線ab,故點d在平面abc上的射影h必在直線ab上.4.已知平面平面,直線m,直線n,點am,點bn,記點a,b之間的距離為a,點a到直線n的距離為b,直線m和n的距離為c,則()a.bcab.acbc.cabd.cba【解析】選d.如圖:,考慮m,n異面時,m和n的距離等于,間的距離,點a到n的距離為:過a作ao于o,過o作ocn于c,則ac為a點到直線n的距離,顯然,此時cba.二、多選題(每小題5分,共10分,全部

6、選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.已知平面外兩點a,b到平面的距離分別是2和4,則a,b的中點p到平面的距離可能是()a.1b.2c.3d.4 【解析】選ac.若a,b在同側(cè),如圖,則p到的距離為3;若a,b在異側(cè),如圖,則p到的距離為po-oo=3-2=1.6.如圖,四棱錐s-abcd的底面是正方形,sd底面abcd,則在下列說法中,正確的是()a.acsbb.ab平面scdc.sa與平面abd所成的角等于sc與平面abd所成的角d.acso【解析】選abcd.連接so,如圖所示:因為四棱錐s-abcd的底面是正方形,所以acbd,因為sd底面abcd,所以sdac,因為b

7、dsd=d,所以ac平面sbd,因為sb平面sbd,所以acsb,則a正確;因為abcd,ab平面scd,則b正確;因為sd底面abcd,所以sad和scd分別是sa與平面abd所成的角、sc與平面abd所成的角,因為ad=cd,sd=sd,所以sad=scd,則c正確;因為ac平面sbd,so平面sbd,所以acso,則d正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.下列說法:平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是;直線與平面所成的角的取值范圍是;若兩條直線與一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行;若兩條直線互相平行,則這兩條直線與一個平面所成的角相等.其中正確的是_(填序號).【解析】應(yīng)為

8、;中這兩條直線可能平行,也可能相交或異面.答案:8.如圖,在四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,底面是邊長為2的菱形,且abc=45,pa=ab,則直線ap與平面pbc所成角的正切值為_.【解析】作aebc于點e,連接pe,則bc平面pae,可知點a在平面pbc上的射影在直線pe上,故ape為所求的角.ae=absin 45=,所以tanape= =.答案:四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在棱長均為a的正三棱柱中,d為ab中點,連接a1d,dc,a1c.(1)求證:bc1平面a1dc;(2)求bc1到平面a1dc的距離.【解析】(1)如圖所示,連接ac1交a1c于e,連接

9、de,則debc1,而de平面a1dc,bc1平面a1dc,所以bc1平面a1dc.(2)由(1)知bc1平面a1dc,所以bc1上任一點到平面a1dc的距離等于bc1到平面a1dc的距離.所以求c1到平面a1dc的距離即可.因為平面a1dc過線段ac1的中點,所以a到平面a1dc的距離等于c1到平面a1dc的距離.由題意知cdab,cdaa1,abaa1=a,所以cd平面abb1a1.過a作平面a1dc的垂線,垂足h在a1d上.在rta1ad中,a1aad=a1dah,解得ah=a,即bc1到平面a1dc的距離為a.10.如圖,已知abcd是矩形,ab=a,ad=b,pa平面abcd,pa=

10、2c,q是pa的中點,連接qb,qd,bd.求:(1)q到bd的距離;(2)p到平面bqd的距離.【解析】(1)在矩形abcd中,作aebd,e為垂足,連接qe,因為qa平面abcd,所以qabd,又aeqa=a,所以bd平面aeq,得qebd,所以qe的長為q到bd的距離.在矩形abcd中,ab=a,ad=b,所以ae=.在rtqae中,qa=pa=c,所以qe=.所以q到bd的距離為.(2)因為平面bqd經(jīng)過pa的中點q,所以p到平面bqd的距離等于a到平面bdq的距離.在aqe中,作ahqe,h為垂足.因為bdae,bdqe,所以bd平面aqe.所以bdah,所以ah平面bqe,即ah為

11、a到平面bqe的距離.在rtaqe中,因為aq=c,ae=,所以ah=.所以p到平面bqd的距離為.1.如圖,在正三棱柱abc-a1b1c1中,ab=aa1=1,則點c到平面abc1的距離為()a.b.c.d.【解析】選c.如圖,取ab的中點e,連接ce,c1e,過點c作cfc1e,在正三棱柱abc-a1b1c1中,cc1平面abc,則abcc1,因為abc是等邊三角形,所以abce,又cecc1=c,所以ab平面cc1e,因為cf平面cc1e,所以cfab,所以cf平面abc1,則cf的長即為所求.在rtcec1中,cc1=1,ce=ab=,所以c1e=,由等面積得cf=.2.如圖,已知ab是圓o的直徑,c為圓上一點,ab=2,ac=1,p為o所在平面外一點,且pa垂直于o所在平面,pb與平面abc所成的角為45.(1)求證:bc平面pac;(2)求點a到平面pbc的距離.【解析】(1)因為pa平面abc,所以pabc.因為ab是o的直徑,c為圓上一點,所以bcac.又