1、課時素養評價 四十七獨立事件的概率 (20分鐘35分)1.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為1,2,3元).甲、乙租車費用為1元的概率分別是0.5,0.2,甲、乙租車費用為2元的概率分別是0.2,0.4,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()a.0.18b.0.3c.0.24d.0.36【解析】選b.由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是0.3,0.4,所以甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為p=0.50.2+0.20.4+0.30.4=0.3.2.某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為,則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為()a

2、.b.c.d.【解析】選d. 設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事件a,b,c,則p(a)=, p(b)=,p(c)=,停車一次即為事件bc+ac+ab的發生,故概率p= +=.3.2019年10月20日,第六屆世界互聯網大會發布了15項“世界互聯網領先科技成果”,其中有5項成果均屬于芯片領域,分別為華為高性能服務器芯片“鯤鵬920”、清華大學“面向通用人工智能的異構融合天機芯片”“特斯拉全自動駕駛芯片”寒武紀云端ai芯片“思元270”賽靈思“versal自適應計算加速平臺”.現有3名學生從這15項“世界互聯網領先科技成果”中分別任選1項進行了解,且學生之間的選擇互不影響,則至少有1名學生選擇“

3、芯片領域”的概率為()a.b.c.d.【解析】選d.根據題意可知,1名學生從15項中任選1項,其選擇“芯片領域”的概率為=,故其沒有選擇“芯片領域”的概率為,則3名學生均沒有選擇“芯片領域”的概率為=,因此至少有1名學生選擇“芯片領域”的概率為1-=.4.設兩個獨立事件a和b都不發生的概率為,a發生b不發生的概率和b發生a不發生的概率相同,則事件a發生的概率p(a)=_.【解析】因為p()p()=,p()p(b)=p()p(a),設p(a)=x,p(b)=y,所以,所以x=.答案:5.甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼.已知甲、乙、丙各自獨立破譯出密碼的概率分別為,且他們是否破譯出密碼互不影響,

4、則至少有1人破譯出密碼的概率是_.【解析】依題意,設事件a表示至少有1人破譯出密碼,則事件a的對立事件表示三人都沒有破譯出密碼,則p(a)=1-p()=1-=.答案:6.袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個,從中任取1只,有放回地抽取3次.求:(1)3只全是紅球的概率;(2)3只顏色全相同的概率;(3)3只顏色不全相同的概率.【解析】由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均為.(1)3只全是紅球的概率為p1=.(2)3只顏色全相同的概率為p2=2p1=2=.(3)3只顏色不全相同的概率為p3=1-p2=1-=. (30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.下列各對事

5、件中,是相互獨立事件的是()a.運動員甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”b.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環”與“乙射中9環”c.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”d.甲、乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”【解析】選b.在a中,甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”兩個事件不可能同時發生,二者是互斥事件,不獨立;在b中,甲、乙各射擊一次,“甲射中10環”發生與否對“乙射中9環”的概率沒有影響,二者是相互獨立事件;在c中,甲,乙各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”不可能同時發生,二者是

6、互斥事件,不獨立;在d中,設“至少有1人射中目標”為事件a,“甲射中目標但乙未射中目標”為事件b,則ab=b,因此當p(a)1時,p(ab) p(a)p(b),故a、b不獨立.2.下列對各事件發生的概率判斷正確的是()a.某學生在上學的路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為b.三人獨立地破譯一份密碼,他們能單獨譯出的概率分別為,假設他們破譯密碼是彼此獨立的,則此密碼被破譯的概率為c.甲袋中有8個白球,4個紅球,乙袋中有6個白球,6個紅球,從每袋中各任取一個球,則取到同色球的概率為d.設兩個獨立事件a和b都

7、不發生的概率為,a發生b不發生的概率與b發生a不發生的概率相同,則事件a發生的概率是【解析】選c.對于a,該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為=,故a錯誤;對于b,用a,b,c分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則p(a)=,p(b)=,p(c)=,“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為=,所以此密碼被破譯的概率為1-=,故b不正確;對于c,設“從甲袋中取到白球”為事件a,則p(a)=,設“從乙袋中取到白球”為事件b,則p(b)=,故取到同色球的概率為+=,故c正確;對于d,易得p(a)=p(b),即p(a)p()=p(b)p(),即p(a)1-

8、p(b)=p(b)1-p(a),所以p(a)=p(b),又p( )=,所以p()=p()=,所以p(a)=,故d錯誤.3.某電視臺的夏日水上闖關節目一共有三關,第一關與第二關的過關率分別為,.只有通過前一關才能進入下一關,每一關都有兩次闖關機會,且通過每關相互獨立.一選手參加該節目,則該選手能進入第三關的概率為()a.b.c.d.【解析】選c.設ai=“第i次通過第一關”,bi=“第i次通過第二關”,其中i=1,2;由題意選手能進入第三關的事件為:a1b1+a2b1+a1b2+a2b2,所以概率為p=+=.4.設m,n為兩個隨機事件,給出以下命題:(1)若m,n為互斥事件,且p(m)=,p(n

9、)=,則p(m+n)=;(2)若p(m)=,p(n)=,p(mn)=,則m,n為相互獨立事件;(3)若p()=,p(n)=,p(mn)=,則m,n為相互獨立事件;(4)若p(m)=,p()=,p(mn)=,則m,n為相互獨立事件;(5)若p(m)=,p(n)=,p( )=,則m,n為相互獨立事件;其中正確命題的個數為()a.1b.2c.3d.4【解析】選d.若m,n為互斥事件,且p(m)=,p(n)=,則p(m+n)=+=,故(1)正確;若p(m)=,p(n)=,p(mn)=,則由相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故(2)正確;若p()=,p(n)=,p(mn)=,則p(m)=1-p

10、()=,p(mn)=p(m)p(n),由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故(3)正確;若p(m)=,p()=,p(mn)= ,當m,n為相互獨立事件時,p(n)=1-p()=,p(mn)=,故(4)錯誤;若p(m)=,p(n)=,p( )=,則p(mn)=p(m)p(n)=,p( )=1-p(mn),由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故(5)正確. 二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.從甲袋中摸出一個紅球的概率是,從乙袋中摸出一個紅球的概率是,從兩袋各摸出一個球,下列結論正

11、確的是()a.2個球都是紅球的概率為b.2個球不都是紅球的概率為c.至少有1個紅球的概率為d.2個球中恰有1個紅球的概率為【解析】選acd.設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件a1,“從乙袋中摸出一個紅球”為事件a2,則p(a1)=,p(a2)=,且a1,a2獨立;在a中,2個球都是紅球為a1a2,其概率為=,a正確;在b中,“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件,其概率為,b錯誤;在c中,2個球中至少有1個紅球的概率為1-p()p()=1-=,c正確;2個球中恰有1個紅球的概率為+=,d正確.6.如圖所示的電路中,5只箱子表示保險匣分別為a,b,c,d,e.箱中所示數值表示通電時保險

12、絲被切斷的概率,下列結論正確的是()a.ab所在線路暢通的概率為b.abc所在線路暢通的概率為c.de所在線路暢通的概率為d.當開關合上時,整個電路暢通的概率為【解析】選bd.由題意知,a,b,c,d,e保險閘被切斷的概率分別為p(a)=,p(b)=,p(c)=,p(d)=,p=,所以a、b兩個箱子暢通的概率為=,因此a錯誤;d、e兩個箱子并聯后暢通的概率為1-=1-=,因此c錯誤;a、b、c三個箱子混聯后暢通的概率為1-=1-=,b正確;根據上述分析可知,當開關合上時電路暢通的概率為=,d正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.投到某出版社的稿件,先由兩位初審專家進行評審,若能通過兩位初

13、審專家的評審,則直接予以錄用,若兩位初審專家都未予通過,則不予錄用,若恰能通過一位初審專家的評審,則再由第三位專家進行復審,若能通過復審專家的評審,則予以錄用,否則不予錄用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為,復審的稿件能通過評審的概率為,各專家獨立評審,則投到該出版社的1篇稿件被錄用的概率為_.【解析】記a表示事件:稿件能通過兩位初審專家的評審;b表示事件:稿件恰能通過一位初審專家的評審;c表示事件:稿件能通過復審專家的評審;d表示事件:稿件被錄用,則d=a+bc,p(a)=,p(b)=2=,p(c)=,所以p(d)=p(a+bc)=p(a)+p(bc) =p(a)+p(b)p(c)=+=

14、.答案:8.甲、乙兩人同時參加公務員考試,甲筆試、面試通過的概率分別為和;乙筆試、面試通過的概率分別為和.若筆試、面試都通過則被錄取,且甲、乙錄取與否相互獨立,則該次考試甲、乙同時被錄取的概率是_,只有一人被錄取的概率是_.【解析】甲被錄取的概率為p1=,乙被錄取的概率為p2=,則該次考試甲、乙同時被錄取的概率是p=p1p2=,只有一人被錄取的概率是p=p1+p2(1-p1)=+=.答案: 四、解答題(每小題10分,共20分)9.在校體育運動會中,甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊比賽一場),共賽三場,每場比賽勝者得3分,負者得0分,沒有平局.在每場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率

15、為,乙勝丙的概率為.(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率;(2)求在該次比賽中甲隊至少得3分的概率.【解析】(1)若甲隊獲第一名且丙隊獲第二名,即甲勝乙,甲勝丙,且丙勝乙,即p=,即甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率是;(2)當甲隊恰得3分,即甲隊勝了一場時,甲勝乙且丙勝甲,或甲勝丙且乙勝甲,p=+=,當甲恰得6分,即甲隊勝了2場,即p=,那么該次比賽中甲隊至少得3分的概率p=+=.10.某項選拔共有四輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2 . 已知各輪問題能否正確回答互不影響

16、.(1)求該選手被淘汰的概率;(2)求該選手在選拔中至少回答了2個問題被淘汰的概率.【解析】(1)記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件ai(i=1,2,3,4),則p(a1)=0.6,p(a2)=0.4,p(a3)=0.5,p(a4)=0.2.該選手被淘汰的概率:p=p(+a1+a1 a2+a1 a2 a3)=p()+p(a1)p()+p(a1)p(a2)p()+p(a1)p(a2)p(a3)p()=0.4+0.60.6+0.60.40.5+0.60.40.50.8=0.976.(2) p=p(a1+a1 a2+a1 a2 a3)=p(a1)p()+p(a1)p(a2)p()+p(a1)p

17、(a2)p(a3)p()=0.60.6+0.60.40.5+0.60.40.50.8=0.576.1.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設現在青蛙在a葉上,則跳三次之后停在a葉上的概率是()a.b.c.d.【解析】選a.若按照順時針方向跳的概率為p,則按逆時針方向跳的概率為2p,可得p+2p=3p=1,解得p=,即按照順時針方向跳的概率為,按逆時針方向跳的概率為,若青蛙在a葉上,則跳3次之后停在a葉上,則滿足3次逆時針或者3次順時針.若先按逆時針開始從abc,則對應的概率為=;若先按順時針開始從acb,則對應的概率為=,則概率為+=.2.甲、乙兩名射擊運動員一次射擊命中目標的概率分別是0.7,0.6,且每次射擊命中與否相互之間沒有影響,求:(1)甲射擊三次,第三次才命中目標的概率;(2