1、14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數 必備知識必備知識自主學習自主學習1.1.一組數據的極差、樣本方差、樣本標準差一組數據的極差、樣本方差、樣本標準差(1)(1)一組數據的極差一組數據的極差我們把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差我們把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差. .(2)(2)樣本方差和樣本標準差樣本方差和樣本標準差設一組樣本數據設一組樣本數據x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n, ,其平均數為其平均數為 , ,則稱則稱s s2 2= = 為這個樣本的方為這個樣本的方差差. .其算術平方根其算術平方根s=s= 為樣本的標準差為樣本的標準差, ,分別簡稱樣本方差、樣本標

2、分別簡稱樣本方差、樣本標準差準差. .導導思思1.1.什么是標準差、方差和極差什么是標準差、方差和極差? ?2.2.如何用樣本估計總體的離散程度如何用樣本估計總體的離散程度? ?n2ii 11xxn （ ）xn2ii 11xxn （ ）(3)(3)一個方差的計算公式一個方差的計算公式一般地一般地, ,若取值為若取值為x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n的頻率分別為的頻率分別為p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n, ,則其方差為則其方差為p p1 1(x(x1 1 ) )2 2+p+p2 2(x(x2 2- - ) )2 2+ +p+pn n(x(xn n- - ) )2 2.

3、.2.2.分層抽樣數據的方差分層抽樣數據的方差一般地一般地, ,如果總體分為如果總體分為k k層層, ,第第j j層抽取的樣本為層抽取的樣本為x xj1j1,x,xj2j2, , , , ,第第j j層的樣本量為層的樣本量為n nj j, ,樣本平均數為樣本平均數為 , ,樣本方差為樣本方差為 ,j=1,2,j=1,2,k.,k.記記 n nj j=n,=n,那么那么, ,所有數據的樣所有數據的樣本方差為本方差為 = = . .xxxjjnxjx2jskj 1k22jjjj 11n sxxn（） jink2jj 1i 11xxn （ ）2s總【思考【思考】(1)(1)對一組數據進行統計分析對一

4、組數據進行統計分析, ,應該從哪幾個方面進行應該從哪幾個方面進行? ?提示提示: :用平均數反映數據的平均水平用平均數反映數據的平均水平, ,用眾數反映數據的最大集中點用眾數反映數據的最大集中點, ,用中位數用中位數反映數據的集中趨勢和一般水平反映數據的集中趨勢和一般水平, ,用標準差或方差反映數據的離散程度用標準差或方差反映數據的離散程度. .(2)(2)對比兩組數據時對比兩組數據時, ,要從哪幾個方面進行要從哪幾個方面進行? ?提示提示: :從眾數、中位數、平均數和方差等幾個方面從眾數、中位數、平均數和方差等幾個方面. .(3)(3)數據數據x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n的平

5、均數是的平均數是 , ,方差為方差為s s2 2, ,數據數據x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n, , 的方差為的方差為 , ,那那么么s s2 2與與 的大小關系如何的大小關系如何? ?提示提示: :因為數據因為數據x x1 1,x,x2 2,x,xn n, , 比數據比數據x x1 1,x,x2 2,x,xn n相對集中相對集中, ,所以方差變小了所以方差變小了, ,即即 s ,s,sa assb b b. b. ssb bc.c. ,s,sa assb b d. d. ,s,sa assb baxaxaxaxbxbxbxbxaxbx【解析【解析】選選b.b. = = (2.5+

6、10+5+7.5+2.5+10)=6.25,(2.5+10+5+7.5+2.5+10)=6.25, = = (15+10+12.5+10+12.5+10)=(15+10+12.5+10+12.5+10)= 11.67.11.67. = = (2.5-6.25)(2.5-6.25)2 2+(10-6.25)+(10-6.25)2 2+(5-6.25)+(5-6.25)2 2+(7.5-6.25)+(7.5-6.25)2 2+(2.5-6.25)+(2.5-6.25)2 2+ +(10-6.25)(10-6.25)2 29.90,9.90, = = (15-11.67)(15-11.67)2 2+

7、(10-11.67)+(10-11.67)2 2+(12.5-11.67)+(12.5-11.67)2 2+(10-11.67)+(10-11.67)2 2+ +(12.5-11.67)(12.5-11.67)2 2+(10-11.67)+(10-11.67)2 23.47.3.47.故故 ssb b. .axaxbxbx2as161616163532bs3.3.已知一組數據已知一組數據:87,x,90,89,93:87,x,90,89,93的平均數為的平均數為90,90,則該組數據的方差為則該組數據的方差為_._.【解析【解析】由題意知由題意知 (87+x+90+89+93)=90,(87+

8、x+90+89+93)=90,解得解得x=91,x=91,所以方差所以方差s s2 2= = (87-(87-90)90)2 2+(91-90)+(91-90)2 2+(90-90)+(90-90)2 2+(89-90)+(89-90)2 2+(93-90)+(93-90)2 2=4.=4.答案答案: :4 41515【解題策略【解題策略】標準差、方差的意義標準差、方差的意義(1)(1)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小. .標準差、方差越大標準差、方差越大, ,數據的離散程度越大數據的離散程度越大; ;標準差、方差越小標準差、方差越小

9、, ,數據的離散程度越小數據的離散程度越小, ,標準差的大小標準差的大小不會超過極差不會超過極差. .(2)(2)標準差、方差的取值范圍標準差、方差的取值范圍:0,+).:0,+).標準差、方差為標準差、方差為0 0時時, ,樣本各數據相等樣本各數據相等, ,說明數據沒有波動幅度說明數據沒有波動幅度, ,數據沒有離散性數據沒有離散性. .【補償訓練【補償訓練】1.1.某學員在一次射擊測試中射靶某學員在一次射擊測試中射靶1010次次, ,命中環數如下命中環數如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,則則:(1):(1)平均命中環數為平均命中環數為

10、_;_;(2)(2)命中環數的標準差為命中環數的標準差為_._.【解析【解析】(1)(1)平均命中環數平均命中環數 = =7.= =7.(2)s(2)s2 2= = (7-7)(7-7)2 2+(8-7)+(8-7)2 2+(7-7)+(7-7)2 2+(9-7)+(9-7)2 2+(5-7)+(5-7)2 2+(4-7)+(4-7)2 2+(9-7)+(9-7)2 2+(10-7)+(10-7)2 2+ +(7-7)(7-7)2 2+(4-7)+(4-7)2 2=4,=4,所以所以s=2.s=2.答案答案: :(1)7(1)7(2)2(2)2x1107879549 10 7410 2.2.某

11、校醫務室抽查了高一某校醫務室抽查了高一1010個同學的體重個同學的體重( (單位單位:kg):kg)如下如下:74,71,72,68,76,:74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.73,67,70,65,74.(1)(1)求這求這1010個學生體重數據的平均數、中位數、方差、標準差個學生體重數據的平均數、中位數、方差、標準差; ;(2)(2)估計高一所有學生體重數據的平均數、中位數、方差、標準差估計高一所有學生體重數據的平均數、中位數、方差、標準差. .【解析【解析】(1)(1)這這1010個學生體重數據的平均數個學生體重數據的平均數 = = (74+71+72+68+7

12、6+73+67+70+65+74)=71.(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71.這這1010個學生體重數據從小到大依次為個學生體重數據從小到大依次為65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中位于中間的兩個數是間的兩個數是71,72,71,72,所以這所以這1010個學生體重數據的中位數為個學生體重數據的中位數為 =71.5.=71.5.這這1010個學生體重數據的方差個學生體重數據的方差s s2 2= = (74-71)(74-71)2 2+(71-71)+(71-71)2 2+

13、(72-71)+(72-71)2 2+(68-+(68-71)71)2 2+(76-71)+(76-71)2 2+(73-71)+(73-71)2 2+(67-71)+(67-71)2 2+(70-71)+(70-71)2 2+(65-71)+(65-71)2 2+(74-71)+(74-71)2 2=11,=11,這這1010個學生體重數據的標準差個學生體重數據的標準差s=s= = = . .(2)(2)由樣本估計總體得高一所有學生體重數據的平均數為由樣本估計總體得高一所有學生體重數據的平均數為71,71,中位數為中位數為71.5,71.5,方方差為差為11,11,標準差為標準差為 . .

14、x11071722110112s11類型二分層隨機抽樣的方差類型二分層隨機抽樣的方差( (數據分析數據分析) )【典例【典例】甲、乙兩支田徑隊體檢結果為甲、乙兩支田徑隊體檢結果為: :甲隊體重的平均數為甲隊體重的平均數為60 kg,60 kg,方差為方差為200 kg200 kg2 2, ,乙隊體重的平均數為乙隊體重的平均數為70 kg,70 kg,方差為方差為300 kg300 kg2 2, ,又已知甲、乙兩隊的隊員又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為人數之比為14,14,那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么? ?四步四步內容內容理解理

15、解題意題意條件條件: :甲、乙兩支田徑隊平均體重、方差以及兩隊的隊員人數之甲、乙兩支田徑隊平均體重、方差以及兩隊的隊員人數之比比. .結論結論: :兩隊全部隊員的平均體重和方差兩隊全部隊員的平均體重和方差思路思路探求探求按照公式直接計算即可按照公式直接計算即可. .書書寫寫表表達達由題意可知由題意可知 =60 kg,=60 kg,甲隊隊員在所有隊員中所占權重為甲隊隊員在所有隊員中所占權重為 = , = , =70 kg, =70 kg,乙隊隊員在所有隊員中所占權重為乙隊隊員在所有隊員中所占權重為 = ,= ,則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為 = = 60+ 60

16、+ 70=68(kg),70=68(kg),甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為s s2 2= 200+(60-68)= 200+(60-68)2 2+ 300+(70-68)+ 300+(70-68)2 2=296(kg=296(kg2 2).).題后題后反思反思 分層抽樣的均值以及方差的計算分層抽樣的均值以及方差的計算, ,一定要注意各層數據所占的權重一定要注意各層數據所占的權重, ,否則會出現計算錯誤否則會出現計算錯誤. .x乙x甲1141541445x15451545【解題策略【解題策略】計算分層計算分層( (兩層兩層) )抽樣的方差抽樣的方差s s2 2的

17、步驟的步驟(1)(1)確定確定 , , , , , , , ,其中其中 , , 為各層的平均值為各層的平均值, , , , 為各層的方差為各層的方差; ;(2)(2)確定總體均值確定總體均值 ; ;(3)(3)應用公式應用公式 . .計算計算s s2 2, ,其中其中s s2 2為總體方為總體方差差,n,n1 1,n,n2 2,n,n分別為各層樣本量分別為各層樣本量, ,總體樣本量總體樣本量. .22222121212nnssxxsxxnn （ ） （ ） 1x2x21s22sx1x2x21s22s【跟蹤訓練【跟蹤訓練】1.1.在高一期中考試中在高一期中考試中, ,甲、乙兩個班的數學成績統計如

18、表甲、乙兩個班的數學成績統計如表: :其中其中 = ,= ,則兩個班數學成績的方差為則兩個班數學成績的方差為( () )a.3a.3 b.2 b.2 c.2.6 c.2.6 d.2.5 d.2.5班級班級人數人數平均分數平均分數方差方差甲甲2020 2 2乙乙3030 3 3x乙x甲x乙x甲【解析【解析】選選c.c.由題意可知兩個班的數學成績的平均數為由題意可知兩個班的數學成績的平均數為 = = = = , ,則兩個班數學成績的方差為則兩個班數學成績的方差為s s2 2= = =2.6.=2.6.xx甲x乙22203020302xx3xx2320 3020 3020 3020 30甲乙 （ ）

19、 （ ） 2.2.已知某省二、三、四線城市數量之比為已知某省二、三、四線城市數量之比為136,2019136,2019年年8 8月份調查得知該省月份調查得知該省二、三、四線城市房產均價為二、三、四線城市房產均價為1.21.2萬元萬元/ /平方米平方米, ,方差為方差為20(20(萬元萬元/ /平方米平方米) )2 2, ,二、二、三、四線城市的房產均價分別為三、四線城市的房產均價分別為2.42.4萬元萬元/ /平方米平方米,1.8,1.8萬元萬元/ /平方米平方米,0.8,0.8萬元萬元/ /平平方米方米, ,三、四線城市房價的方差分別為三、四線城市房價的方差分別為10(10(萬元萬元/ /平

20、方米平方米) )2 2,8(,8(萬元萬元/ /平方米平方米) )2 2, ,則則二線城市的房價的方差為二線城市的房價的方差為_. _. 【解析【解析】設二線城市的房價的方差為設二線城市的房價的方差為s s2 2( (萬元萬元/ /平方米平方米) )2 2, ,由題意可知由題意可知 20= s20= s2 2+(1.2-2.4)+(1.2-2.4)2 2+ + 10+(1.2-1.8)10+(1.2-1.8)2 2+ 8+(1.2-0.8)+ 8+(1.2-0.8)2 2,解得解得s s2 2=118.52(=118.52(萬元萬元/ /平方米平方米) )2 2, ,即二線城市的房價的方差為即

21、二線城市的房價的方差為118.52(118.52(萬元萬元/ /平方平方米米) )2 2. .答案答案: :118.52(118.52(萬元萬元/ /平方米平方米) )2 26136 3136 1136 類型三類型三 數據的數字特征的綜合應用數據的數字特征的綜合應用( (數據分析數據分析) )角度角度1 1數據的數字特征的綜合運算數據的數字特征的綜合運算【典例【典例】某人某人5 5次上班途中所花時間次上班途中所花時間( (單位單位:min):min)分別為分別為x,y,10,11,9x,y,10,11,9若這組數據若這組數據的平均數為的平均數為10,10,方差為方差為2,2,則則=_.=_.【

22、思路導引【思路導引】先由平均數計算出先由平均數計算出x+yx+y的值的值, ,再依據方差求出再依據方差求出x,yx,y的值的值, ,進而得出結進而得出結論論. .【解析【解析】由題意得由題意得 =10,=10,所以所以x+yx+y=20,=20,所以所以y=20-x.y=20-x.又因為方差為又因為方差為2,2,所以所以 =2,=2,(x-10)(x-10)2 2+(10-x)+(10-x)2 2=8,(x-10)=8,(x-10)2 2=4,x=8=4,x=8或或x=12,x=12,則則y=12y=12或或y=8,y=8,所以所以|x-y|x-y|=4.|=4.答案答案: :4 4xy 10

23、 11 9522222x1020 x100115（）（）【變式探究【變式探究】典例中的條件方差為典例中的條件方差為2 2去掉去掉, ,其他條件不變其他條件不變, ,試求試求xyxy取最小值時的方差取最小值時的方差. .【解析【解析】由題意得由題意得 =10,=10,所以所以x+yx+y=20.=20.所以所以20=x+y2 ,20=x+y2 ,即即xy100,xy100,當且僅當當且僅當x=y=10 x=y=10時取時取“=”.=”.此時方差為此時方差為 (10-10)(10-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2+(11-10)+(11-10

24、)2 2+(9-10)+(9-10)2 2=0.4.=0.4. xy 10 11 9515xy角度角度2 2 數據的數字特征在現實生活中的應用數據的數字特征在現實生活中的應用【典例【典例】在一次科技知識競賽中在一次科技知識競賽中( (滿分滿分100100分分),),某學校的兩組學生的成績如表某學校的兩組學生的成績如表: :請根據你所學過的統計知識請根據你所學過的統計知識, ,判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優誰劣判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優誰劣, ,并說并說明理由明理由. .【思路導引【思路導引】分別求出這兩組數據的眾數、中位數、平均數和方差分別求出這兩組數據的眾數、中位數、平均數和方差

25、, ,從這幾個從這幾個方面進行統計分析方面進行統計分析. .分數分數50506060707080809090100100人數人數甲組甲組2 25 51010131314146 6乙組乙組4 44 416162 212121212【解析【解析】(1)(1)甲組成績的眾數為甲組成績的眾數為9090分分, ,乙組成績的眾數為乙組成績的眾數為7070分分, ,從成績的眾數比較看從成績的眾數比較看, ,甲甲組的成績好些組的成績好些. .(2) = (50(2) = (502+602+605+705+7010+8010+8013+9013+9014+10014+1006)= 6)= 4 000=80(4

26、000=80(分分),), = (50 = (504+604+604+704+7016+8016+802+902+9012+10012+10012)= 12)= 4 000=80(4 000=80(分分).). = 2 = 2(50-80)(50-80)2 2+5+5(60-80)(60-80)2 2+10+10(70-80)(70-80)2 2+13+13(80-(80-80)80)2 2+14+14(90-80)(90-80)2 2+6+6(100-80)(100-80)2 2=172(=172(分分2 2),),x甲x乙125 10 13 146 144 162 12 12 150150

27、2s甲125 10 13 146 = 4 = 4(50-80)(50-80)2 2+4+4(60-80)(60-80)2 2+16+16(70-80)(70-80)2 2+2+2(80-(80-80)80)2 2+12+12(90-80)(90-80)2 2+12+12(100-80)(100-80)2 2=256(=256(分分2 2).).因為因為 = , ,= , ,所以甲組成績較乙組成績穩定所以甲組成績較乙組成績穩定, ,故甲組的成績好些故甲組的成績好些. .(3)(3)甲、乙兩組成績的中位數、平均數都是甲、乙兩組成績的中位數、平均數都是8080分分. .其中其中, ,甲組成績在甲組成

28、績在8080分以上分以上( (包括包括8080分分) )的有的有3333人人, ,乙組成績在乙組成績在8080分以上分以上( (包括包括8080分分) )的有的有2626人人. .從這一角度看從這一角度看, ,甲組的成績較好甲組的成績較好. .(4)(4)從成績統計表看從成績統計表看, ,甲組成績大于等于甲組成績大于等于9090分的有分的有2020人人, ,乙組成績大于等于乙組成績大于等于9090分的有分的有2424人人, ,所以乙組成績集中在高分段的人數多所以乙組成績集中在高分段的人數多. .同時同時, ,乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人數多數多6 6人人.

29、.從這一角度看從這一角度看, ,乙組的成績較好乙組的成績較好. .2s乙144 162 12 12 x甲x乙2s甲2s乙【解題策略【解題策略】數據分析的要點數據分析的要點(1)(1)要正確處理此類問題要正確處理此類問題, ,首先要抓住問題中的關鍵詞語首先要抓住問題中的關鍵詞語, ,全方位地進行必要的全方位地進行必要的計算、分析計算、分析, ,而不能習慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好而不能習慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好, ,像這像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析樣的實際問題還得從實際的角度去分析, ,如本例的如本例的“滿分人數滿分人數”; ;其次要在恰當其次要在恰

30、當地評估后地評估后, ,組織好正確的語言作出結論組織好正確的語言作出結論. .(2)(2)在進行數據分析時在進行數據分析時, ,不同的標準沒有對和錯的問題不同的標準沒有對和錯的問題, ,也不存在唯一解的問題也不存在唯一解的問題, ,而是根據需要來選擇而是根據需要來選擇“好好”的決策的決策, ,至于決策的好壞至于決策的好壞, ,是根據提出的標準而定的是根據提出的標準而定的. .【補償訓練【補償訓練】1.1.已知樣本已知樣本9,10,11,x,y9,10,11,x,y的平均數是的平均數是10,10,標準差是標準差是 , ,則則xyxy=_.=_.【解析【解析】由平均數得由平均數得9+10+11+x

31、+y=50,9+10+11+x+y=50,所以所以x+yx+y=20,=20,又由又由(9-10)(9-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2+ +(11-10)(11-10)2 2+(x-10)+(x-10)2 2+(y-10)+(y-10)2 2=(=( ) )2 25=10,5=10,得得x x2 2+y+y2 2-20(x+y)=-192,(x+y)-20(x+y)=-192,(x+y)2 2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.答案答案: :9696222.2.某社區準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓某社

32、區準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓, ,兩人各射了兩人各射了5 5箭箭, ,他們的總成績他們的總成績( (單位單位: :環環) )相同相同, ,小宇根據他們的成績繪制了尚不完整的統計圖表小宇根據他們的成績繪制了尚不完整的統計圖表, ,并計算了甲成績的平均數和方差并計算了甲成績的平均數和方差( (見小宇的作業見小宇的作業).).小宇的作業小宇的作業: : = = (9+4+7+4+6)=6(9+4+7+4+6)=6(環環),),= = (9-6)(9-6)2 2+(4-6)+(4-6)2 2+(7-6)+(7-6)2 2+(4-6)+(4-6)2 2+(6-6)+(6-6)2 2=

33、(9+4+1+4+0)=3.6(9+4+1+4+0)=3.6(環環2 2).).甲、乙兩人射箭成績統計表甲、乙兩人射箭成績統計表 x甲152s甲1515第第1 1次次第第2 2次次第第3 3次次第第4 4次次第第5 5次次甲成績甲成績/ /環環9 94 47 74 46 6乙成績乙成績/ /環環7 75 57 7a a7 7(1)a=_;(1)a=_; =_;=_;(2)(2)請完成圖中表示乙成績變化情況的折線請完成圖中表示乙成績變化情況的折線; ;(3)(3)觀察圖觀察圖, ,可看出可看出_的成績比較穩定的成績比較穩定( (填填“甲甲”或或“乙乙”).).參照小宇參照小宇的計算方法的計算方法

34、, ,計算乙成績的方差計算乙成績的方差, ,并驗證你的判斷并驗證你的判斷.請你從平均數和方差的角度分析請你從平均數和方差的角度分析, ,誰將被選中誰將被選中. .x乙【解析【解析】 (1)(1)由題意得由題意得: :甲的總成績是甲的總成績是:9+4+7+4+6=30(:9+4+7+4+6=30(環環),),則則a=30-7-7-5-7=4, a=30-7-7-5-7=4, =30 =305=6(5=6(環環).).答案答案: :4 46 6環環(2)(2)如圖所示如圖所示: :x乙(3)(3)觀察圖觀察圖, ,可看出乙的成績比較穩定可看出乙的成績比較穩定, , = (7-6) = (7-6)2

35、 2+(5-6)+(5-6)2 2+(7-6)+(7-6)2 2+(4-6)+(4-6)2 2+(7-6)+(7-6)2 2=1.6(=1.6(環環2 2),),由于由于 ,ss1 1ss2 2b.sb.s2 2ss1 1ss3 3c.sc.s1 1ss2 2ss3 3d.sd.s3 3ss2 2ss1 1【解析【解析】選選d.d.題中所給的圖是成績分布圖題中所給的圖是成績分布圖, ,平均分是平均分是7575分分, ,在題圖在題圖1 1中中, ,集中在集中在7575分附近的數據最多分附近的數據最多, ,題圖題圖3 3中從中從5050分到分到100100分均勻分布分均勻分布, ,所有成績不集中在任何一所有成績不集中在任何一個數據附近個數據附近, ,題圖題圖2 2介于兩者之間介于兩者之間. .由標準差的意義可得由標準差的意義可得s s3 3ss2 2ss1 1. .4.4.從某項