1、一、 MATLAB軟件簡介 MATLAB（矩陣實驗室）是MATrix LABoratory的縮寫，是一款由美國The MathWorks公司出品的商業數學軟件。MATLAB是一種用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境。除了矩陣運算、繪制函數/數據圖像等常用功能外，MATLAB還可以用來創建用戶界面及與調用其它語言（包括C，C+和FORTRAN）編寫的程序。盡管MATLAB主要用于數值運算，但利用為數眾多的附加工具箱（Toolbox）它也適合不同領域的應用，例如控制系統設計與分析、圖像處理、信號處理與通訊、金融建模和分析等。MATLAB和Mathematic

2、a、Maple并稱為三大數學軟件。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，在新的版本中也加入了對C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。可以直接調用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數庫中方便自己以后調用。二、理論分析2.1連續時間信號 連續信號是指自變量的取值范圍是連

3、續的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續點以外，信號都有確定的值與之對應。嚴格來說，MATLAB并不能處理連續信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續信號。當取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續信號。 在一定條件下，一個連續時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復過來。這樣，抽樣定理為連續時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了理論依據。通過觀察采樣信號的頻譜，發現它只是原信號頻譜的線性重復搬移，只要給它乘以一個門函數，就可以在頻域恢復原信號的頻譜，在時域是否也能恢復原信號時，利用頻域時域的對稱關系，得到了信號。本課程

4、設計采用作為連續時間信號進行抽樣與重構，由于函數不是嚴格的帶限信號，其帶寬可根據一定的精度要求做一近似。 2.2 連續信號的采樣定理 模擬信號經過 (A/D) 變換轉換為數字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復出現一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時域采樣定理從采樣信號恢復原信號必需滿足兩個條件： (1) 必須是帶限信號，其頻譜函數在 各處為零；（對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理。）(2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2）。（對取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得

5、的樣值要足夠多，才能恢復原信號。）如果采樣頻率大于或等于，即（為連續信號的有限頻譜），則采樣離散信號能無失真地恢復到原來的連續信號 。一個頻譜在區間（- ，）以外為零的頻帶有限信號，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點值所確定。根據時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理直接推出頻域采樣定理。一個時間受限信號，它集中在（）的時間范圍內，則該信號的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號的條件為重復周期，或頻域間隔（其中）。采樣信號 的頻譜是原信號頻譜 的周期性重復，它每隔 重復出現一次。當2 時，不會出現混疊現象，原信號的頻譜的形狀不會發生變化，從而能從采樣信號

6、中恢復原信號 。（注：2 的含義是：采樣頻率大于等于信號最高頻率的2倍；這里的“不混疊”意味著信號頻譜沒有被破壞，也就為后面恢復原信號提供了可能）。 圖1 等抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊） 圖2 高抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊） 圖3低抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（混疊）2.3 信號抽樣如圖4所示，給出了信號采樣原理圖由圖4可見，其中，沖激采樣信號的表達式為： 其傅立葉變換為，其中。設，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設是帶限信號，帶寬為， 經過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當時，頻譜不發生混疊；而當時，頻譜發生混疊。一個理

7、想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續輸入信號調制在載波上的結果，如圖5所示。圖5用數學表達式描述上述調制過程，則有理想單位脈沖序列可以表示為 其中是出現在時刻，強度為1的單位脈沖。由于的數值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設所以又可表示為 2.4 信號重構設信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構是指由經過內插處理后，恢復出原來信號的過程。又稱為信號恢復。若設是帶限信號，帶寬為，經采樣后的頻譜為。設采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線。現選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。顯然，與之對應的

8、時域表達式為 （10）而 將及代入式（10）得 （11）式（11）即為用求解的表達式，是利用MATLAB實現信號重構的基本關系式，抽樣函數在此起著內插函數的作用。例：設，其為：即的帶寬為，為了由的采樣信號不失真地重構，由時域采樣定理知采樣間隔，取（過采樣）。利用MATLAB的抽樣函數來表示，有。據此可知：通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts/wm, 該取樣間隔又稱為奈奎斯特間隔。 根據時域卷積定理，求出信號重構的數學表達式為： 式中的抽樣函數Sa(wct)起著內插函數的作用，信號的恢復可以視為將

9、抽樣函數進行不同時刻移位后加權求和的結果，其加權的權值為采樣信號在相應時刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數來表示Sa(t)，有，于是，信號重構的內插公式也可表示為： 三、MATLAB仿真3.1 設計連續信號sa(t)先設計一個程序，使之產生一個連續信號。程序1如下：t=-20:0.5:20;f=sinc(t/pi);plot(t,f);xlabel(t);ylabel(x(t);title(時域連續信號sa(t)=sinc(t/pi)波形); grid;產生的圖形如圖6 圖63.2 設計連續信號sa(t)的頻譜再設計一個頻譜程序，使其產生連續信號的頻譜波形圖。程序2如下： t=-20:0

10、.5:20;f=sinc(t/pi); N=1000;k=-N:N;w1=10;w=k*w1/N;F=f*exp(-j*t*w)*0.5; plot(w,F); xlabel(x);ylabel(x(w);title( sa(t)=sinc(t/pi)信號的頻譜圖);產生的圖形如圖7.圖七3.3 設計連續信號sa(t)的采樣與信號重構1 臨界抽樣情況當采樣頻率等于一個連續的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣，此時設置，。設計一個程序完成Sa信號的抽樣以及重構信號與誤差信號的變化。程序3如下：wm=1; %升余弦脈沖信號帶寬wc=wm; %頻率Ts=pi/wm; %周期ws=2*pi/Ts

11、; %理想低通截止頻率n=-100:100; %定義序列的長度是201nTs=n*Ts %采樣點f=sinc(nTs/pi); %抽樣信號Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); %信號重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號);subplot(212);plot(t,fa)

12、xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構sa(t);grid; 產生的圖形如圖8.圖8分析：為了比較由采樣信號恢復后的信號與原信號的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當t選取的數據越大，起止的寬度越大。2 過抽樣情況當采樣頻率大于一個連續的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。此時，設置，。設計一個程序完成Sa信號的抽樣，并觀察在不同采樣頻率的條件下對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。程序4如下：wm=1;wc=1.1wm; Ts=0.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nT

13、s=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi); m=-20:20; N=41; %設采樣點的N值Xw=abs(fft(f,N); subplot(2,2,1);plot(m,Xw); axis(-20 20 1.1*min(Xw) 1.1*max(Xw); %可用axis函數來調整圖軸的范圍 xlabel(w);

14、ylabel(|Xw|);title(抽樣后頻譜波形圖);subplot(2,2,2);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號);subplot(2,2,3);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)過采樣信號重構sa(t);grid;subplot(2,2,4);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(過采樣信號與原信號的誤差);產生圖形如圖9.圖九分析：驗證了抽樣定理的內容，過抽樣情況波形恢復良好。

15、3 欠采樣情況當采樣頻率小于一個連續的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。此時設置，。鑒于此過程難以實現重構，故省去此步驟。設計一個程序完成Sa信號的抽樣，并觀察在不同采樣頻率的條件下對應采樣信號的時域和頻域特性。程序5如下：wm=1;wc=wm; Ts=2 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);t1=-20:0.5:20f1=sinc(t1/pi);m=-20:20;N=41; %設采樣點的N值Xk=abs(fft(f,N); subplot(2,1,1);plot(m,Xw); axis(-20 20 1.1*min(X

16、w) 1.1*max(Xw); %可用axis函數來調整圖軸的范圍xlabel(w); ylabel(|Xw|);title(抽樣后頻譜波形圖);subplot(2,1,2);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t);產生的圖形如圖10.圖十分析：因采樣信號的頻譜混疊，使得在區域內的頻譜相互“干擾”導致波形難以恢復。 5、 總結通過本次仿真課程設計，讓我們熟悉了MATLAB進行通信仿真的過程，對一些過去沒有弄懂或認識模糊的概念、理論有了正確的認識，為以后的工作和學習打下基礎。本次設計所仿真的內容都是通信仿真中非常基礎的實驗，通過對這些實