1、高等數(shù)學基礎第一次作業(yè)第1章函數(shù)第 2 章 極限與連續(xù)（一）單項選擇題下列各函數(shù)對中，（C ）中的兩個函數(shù)相等A.f (x)(x ) 2， g( x)xB.f (x)x2， g( x)xC. f (x) ln x3 ， g ( x) 3 ln xD. f (x)x 1 ， g( x)x21x1設函數(shù) f (x) 的定義域為 ( ,) ，則函數(shù)f (x)f ( x) 的圖形關于（ C）對稱A.坐標原點B.x 軸C.y 軸D.yx下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B ）A.yln(1x 2 )B.yxcos xC.ya xaxD.yln(1x)2下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）A.yx1B.yxC.yx 2D

2、.y1 ,x01 ,x0下列極限存計算不正確的是（D ）A.limx21B.lim ln(1x)0x22xx0C.lim sin x0D.lim x sin 10xxxx當 x0 時，變量（C ）是無窮小量A.sin xB.1xx1C.D.ln( x2)xsinx若函數(shù) f (x) 在點 x0 滿足（ A），則 f ( x) 在點 x0 連續(xù)。A.limf (x)f (x0 )B.f (x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義x x0C.limf (x)f (x0 )D.limf (x)lim f ( x)x x0xx0x x0（二）填空題函數(shù) f ( x)x29ln(1x) 的定義域是 （3，

3、+)x 3x 2x2 - x已知函數(shù) f ( x 1)x ，則 f ( x) lim (11 ) xe1/ 2x 2 x1若函數(shù) f (x)(1x) x, x0 ，在 x0 處連續(xù)，則 kexk ,x0x 1 , x 0的間斷點是 x=0 函數(shù) y0sin x , x若 lim f ( x)A，則當 xx0 時， f ( x)A 稱為無窮小量x x0（三）計算題設函數(shù)f ( x)ex ,x0求： f (2) , f (0) ,f (1) x ,x0解： f(-2) = -2 ， f(0)= 0 ， f(1) = e求函數(shù) y lg lg 2x 1的定義域x2x1，函數(shù)定義域為 (-， 0) (

4、1/2， +)解：由0 解得 x1/2x在半徑為 R 的半圓內內接一梯形， 梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，b試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)解：如圖梯形面積A=(R+b)h ，其中 bR2h2h RA( RR2h2)hRR3 sin 3xlim sin 3x3求lim3xx0 sin 2xx0sin 2x22x22xlim1limx1( x1)21)1)x1 sin( xx1 sin( x求limtan 3xlim 3 sin 3x cos3x3求x0xx03xlim1 x21( 1 x21)( 1 x21)求sin xlim2x0x0(1x1) sin xlim(

5、1 x2 ) 1limxxx2x20x0(11) sin xx011 sin x求lim ( x 1) xlim ( x34) xlim (14 ) xxx3xx3xx34x34求2(1)4 4limx6x8limlim( x2)( x34)2ex2x3x 45x 4 xx 4 ( x 1)( x 4)3(14設函數(shù)x3( x2)2 ,x1f ( x)x ,1x1討論 f (x) 的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間x1 ,x1解：limf ( x)(12)21limf ( x)1x1x1limf ( x) 1f (1)函數(shù)在 x=1 處連續(xù)f ( x) 1 1 0limf ( x)1limx1x1x1

6、lim f ( x)不存在，函數(shù)在x=-1處不連續(xù)x 1高等數(shù)學基礎第二次作業(yè)第 3 章導數(shù)與微分（一）單項選擇題設 f ( 0) 0 且極限 limf (x) 存在，則 lim f ( x)（B）x 0xx 0xf (0)f (0)A.B.C.f (x)D.0設 f ( x) 在 x0 可導，則 limh0A. 2 f (x0 )C. 2 f (x0 )設 f ( x)ex ，則 limf (1x0A. ef ( x02h)f ( x0 ) （ D）2hB.f ( x0 )D.f ( x0 )x) f (1)（A ）xB. 2eC.1D.1ee24設 f ( x) x(x 1)( x2) (

7、 x99) ，則 f (0)（D）A.99B.99C.99!D.99!下列結論中正確的是（C ）A.若 f ( x) 在點 x0 有極限，則在點x0 可導B.若 f (x) 在點 x0 連續(xù)，則在點x0 可導C. 若 f ( x) 在點 x0 可導，則在點 x0 有極限D. 若 f ( x) 在點 x0 有極限，則在點x0 連續(xù)（二）填空題設函數(shù) f (x)x2 sin 1 ,x0x，則 f (0)0 0 ,x0設 f (ex ) e2 x5ex ，則 d f (ln x)(2/x)lnx+5/x dx曲線 f ( x)x 1在 (1, 2) 處的切線斜率是1/2曲線 f ( x)sin x

8、在 (y=1, 1) 處的切線方程是4設 yx2 x ，則 y2x2x(lnx+1) 設 yxln x ，則 y1/x （三）計算題求下列函數(shù)的導數(shù)y ： y(x x 3)ex y=(x 3/2+3)ex，y=3/2x1/2ex+(x 3/2+3)ex =(3/2x1/2+x3/2+3)ex y y y y y ycot xx 2 ln xy=-csc2x + 2xlnx +xx 2y=(2xlnx-x)/ln 2xln xcos x2 xy=(-sinx+2 xln2)x 3-3x2(cosx+2x)/x 6x3ln xx2=(12x)sin x (ln x x2)cos xxsin xsi

9、n2 xx4sin x ln xy=4x3-cosxlnx-sinx/xsin xx 2y=(cosx+2x)3 x-(sinx+x 2)3x ln3/32x3 x=cosx+2x-(sinx+x 2)ln3/3 x y ex tan x ln x y=extanx+ex sec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x 求下列函數(shù)的導數(shù) y ： ye 1 x2 y ln cos x3yxx xy=x 7/8y=(7/8)x -1/8y3 xxycos2 exycosex2ysin nxcos nxy=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nxy 5sin x

10、2y esin 2 xyxx2x2eyxexexe在下列方程中，yy( x) 是由方程確定的函數(shù)，求y ： y cos xe2 y y cos y ln xx 2 2 x sin yy2y方程對 x 求導： ycosx-ysinx=2 ye方程對 x 求導： y = y (-siny)lnx +(1/x)cosy y =(1/x)cosy / (1+sinylnx)方程對 x 求導： 2siny + y2xcosy=(2xy-x2 y)/y 2y =2(xy y2siny) /(x 2+2xy2cosy) yxln y方程對 x 求導： y=1+ y /y， y =y /(y-1) ln xe

11、 yy 2方程對 x 求導： 1/x+ y ey=2y y， y =1/x(2y-ey) y 21ex sin y方程對 x 求導： 2y y =exsiny + y excosyy = exsiny/(2y- excosy) eyexy 3方程對 x 求導： yey =ex -3y2 y， y =ex/ey+3y2 y 5x2 y方程對 x 求導： y=5xln5 + y 2yln2， y=5xln5 /(1-2 yln2)求下列函數(shù)的微分d y ：ycot xcscxln xysin xy arcsin1x1xy31x1x2xysine3ytan ex求下列函數(shù)的二階導數(shù)： y x ln

12、x y x sin x y arctanx y 3x2（四）證明題設 f (x) 是可導的奇函數(shù)，試證 f ( x) 是偶函數(shù)證明：由 f(x)= - f(-x) 求導 f(x)= - f (-x)(-x) f (x)= f (-x)， f(x)是偶函數(shù)高等數(shù)學基礎第三次作業(yè)第 4 章導數(shù)的應用（一）單項選擇題若函數(shù) f (x) 滿足條件（ D ），則存在(a , b) ，使得 f (f (b)f ( a)A. 在 (a , b) 內連續(xù)baB. 在 (a , b) 內可導C. 在 (a , b) 內連續(xù)且可導D. 在 a , b 內連續(xù)，在 (a , b) 內可導函數(shù) f ( x)x 24x

13、1 的單調增加區(qū)間是（D）A.( ,2)B.(1, 1)C.(2,)D.(2,)函數(shù) yx24 x5在區(qū)間 (6, 6)內滿足（ A ）A.先單調下降再單調上升B. 單調下降C. 先單調上升再單調下降D. 單調上升函數(shù) f ( x) 滿足 f( x)0 的點，一定是f ( x) 的（ C）A.間斷點B. 極值點C. 駐點D. 拐點設 f ( x) 在 (a , b) 內有連續(xù)的二階導數(shù)，x0( a, b) ，若 f ( x) 滿足（ C ），則 f ( x) 在 x0 取到極小值A. f (x0 )0, f ( x0 )0B. f (x0 )0 , f ( x0 )0C. f (x0 )0 ,

14、 f ( x0 )0D. f (x0 )0 , f ( x0 )0設 f ( x) 在 (a , b) 內有連續(xù)的二階導數(shù)，且f (x) 0,f ( x)0 ，則 f (x) 在此區(qū)間內是（A）A.單調減少且是凸的B. 單調減少且是凹的C. 單調增加且是凸的D. 單調增加且是凹的設函數(shù) f (x)ax3(ax) 2axa 在點 x1處取得極大值2 ，則 a（）A.1B.13C.0D.13（二）填空題設 f ( x) 在 (a , b) 內可導， x0(a , b) ，且當 x x0 時 f ( x)0 ，當 xx0 時 f ( x) 0，則 x0 是f (x) 的極小值點若函數(shù)f (x) 在點

15、 x0 可導，且 x0 是 f (x) 的極值點，則f (x0 )0函數(shù) yln(1x2 ) 的單調減少區(qū)間是(-， 0) 函數(shù) f ( x) ex2的單調增加區(qū)間是(0， +) 若函數(shù) f (x) 在 a , b 內恒有 f (x)0 ，則 f (x) 在 a , b 上的最大值是f(a)函數(shù) f ( x) 25x3x 3 的拐點是x=0若點 (1, 0) 是函數(shù) f ( x) ax3bx 22 的拐點，則 a， b（三）計算題3( x 5) 2 的單調區(qū)間和極值求函數(shù) y ( x 1) 22解： y =(x-5) +2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)列表x(-， 1)1(1，

16、5)5(5， +)y+00+yY max=32Ymin =0(- ， 1)和 (5，+)為單調增區(qū)間，(1， 5)為單調減區(qū)間，極值為Y max =32， Y min=0。求函數(shù) y3 ( x 22x) 2 在區(qū)間 0, 3 內的極值點，并求最大值和最小值解： y =2x-2 ，駐點 x=1 是極小值點，在區(qū)間0， 3上最大值為y(3)=6 ，最小值為y(1)=2 。x0(0，1)1(1，3)3y-0+y326試確定函數(shù) y ax 3bx2cxd 中的 a , b , c , d ，使函數(shù)圖形過點 ( 2, 44) 和點 (1,10) ，且 x2 是駐點， x 1是拐點求曲線 y22x 上的點

17、，使其到點 A( 2 , 0)的距離最短解：曲線 y2=2x 上的點 (x，y)到點 A(2 ，0)的距離 d(x2) 2( 2x 0) 2d 2= x2-2x+4 ，( d 2 )=2x-2 ，由 (d 2) =0 求得 x=1，由此得所求點有兩個：(1, 2) , (1,2)圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L ，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？R解右圖為圓柱體的截面，由圖可得 R2=L 2 -H2圓柱體的體積222V=RH= (L -H )HLH22)，由 V =0 解得 H3V = (L-3HL ，3此時 R6 L ，圓柱體的體積 V2 3L3 最大。39一體積為 V

18、的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小？解：圓柱體的表面積2S=2R+2 RH22由體積 V=RH解得 H=V /R2 S=2R+2V/R232=2(2S =4 R- 2V / RR-V) /R由 S=0 解得 RV，此時 HV 4 28V33V 232R22答：當高與底面直徑相等時圓柱體表面積最小。RH欲做一個底為正方形，容積為62.5 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設長方體底面邊長為a 高為 h表面積 S=a 2+4ah a 2h =62.5， h =62.5/ a 2S=a 2+250/a， S =2a - 250/a 2 =(2a 3 250)/a 2，由 S =0

19、 解得 a =5m， h =2.5m，此時 S=75m2 最小，即用料最省。a h從面積為 S 的所有矩形中，求其周長最小者從周長為 L 的所有矩形中，求其面積最大者（四）證明題當 x0時，證明不等式 xln(1x) 證明：令 f(x)=x-ln(1+x) ， f(x)=1-1 / (1+x)=x / (1+x)當 x0 時有 f (x) 0，f(x) 為增函數(shù)，又 f(0)=0當 x0 時 f (x) 0，即 xln(1+x)當 x0時，證明不等式 exx1 證明：令 f(x)=ex/ (x+1) ，f (x)= e x(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2當 x0 時

20、有 f (x) 0，f(x) 為增函數(shù)，又 f(0)=1 當 x0 時 f (x) 1，即 ex x+1高等數(shù)學基礎第四次作業(yè)第 5章 不定積分第 6 章 定積分及其應用（一）單項選擇題若 f ( x) 的一個原函數(shù)是1 ，則 f ( x)（ D）x1A.ln xB.x2C.1D.2x3x下列等式成立的是（D）A.f(x)dxf (x)B.df ( x)f ( x)C.df ( x)dxf ( x)D.df (x)dx f (x)dx若 f ( x)cos x ，則f( x)dx（ B）A.sin xcB.cos x cC.sin xcD.cos xc dx2 f ( x3 )dx （ D）d

21、xA. f (x3 )B. x2 f (x 3 )C.1 f ( x)D.1 f ( x3 )313若f ( x)dxF ( x)c ，則x)dx（B）f (xA.F ( x ) cB.2F ( x ) cC.F (2 x) cD.1 F ( x) cxg(x) 以及兩條直線 xa 和 xb 所圍成的平面區(qū)由區(qū)間 a , b 上的兩條光滑曲線yf (x) 和 y域的面積是（）bg( x)dxbf (x)d xA. f ( x)B. g( x)aabf ( x) g (x) dxbg(x)dxC.aD. f ( x)a下列無窮限積分收斂的是（D ）A.11 dxB.exdxx011C.1x dxD.1 x 2 dx（二）填空題函數(shù) f ( x) 的不定積分是f ( x) dx若函數(shù) F ( x) 與 G(x) 是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F ( x) 與 G( x) 之間有關系式F(x)=G(x)+c d ex2 dx ex 2 dx (tan x) dxtanx+c若f ( x) dxcos3xc ，則 f( x)-9cos3x31 )dx3(sin 5 x321若無窮積分dx收斂，則 p 11xp（三）計算題cos 1cos 1 (12cox 1 d ( 1)sin 1x2x dx)