1、第四節 泰勒級數與幕級數教學目的：理解幕級數收斂半徑的概念，并掌握幕級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；了解幕級數在其收斂區間內的一些根本性質(和函數的連續性、逐項微分和逐項積分)會求一些幕級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些常數項級數的和；了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件、掌握ex,si nx,cosx, I n(1 x)和(1 x)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成幕級數。教學重點：幕級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；ex,sin x,cos x , ln(1 x)和(1 a)的麥克勞林展開式。教學難點：幕級數的收斂域及和函數。教學時數：4教學內容：一、函數項

2、級數的概念1 函數項級數的定義定義：設函數Un(x)(n 1,2,3 )都在D上有定義，那么稱表達式Un(x) 5(X)U2(X)卅n 1為定義在D上的一個函數項級數，un(X)稱為通項，Sn(x)Uk(x)稱為局部和函數.k 1X。 D，假設數項級數Un(X。)收斂,n 12. 收斂域定義：設un(x)是定義在D上的一個函數項級數,n 1那么稱X。是un(x)的一個收斂點所有收斂點構成的集合稱為級數的收斂域.n 13. 和函數定義：設函數項級數un(x)的收斂域為1，那么任給x I，存在唯一的實數 S(x)，使得n 1S(x)un(x)成立定義域為I的函數S(x)稱為級數 un(x)的和函數

3、.n 1n 1評注：求函數項級數收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關的數項級數的判別法.、幕級數1 幕級數的定義定義：設 an (n 0,1,2,)是一實數列，那么稱形如an(x x0)n的函數項級數為x0處的n 0幕級數.滄0時的幕級數為anxn n 02.阿貝爾定理定理：對幕級數an(xn 0x)n有如下的結論: 如果該幕級數在點x1收斂，那么對滿足x怡N x0的一切的x對應的級數an(x x0)n都絕對收斂;n 0 如果該幕級數在點x2發散，那么對滿足x x0x2 x0的一切的x對應的級數an(x x0)n都發散.n 0例1：假設幕級數an(x 2)n在x1處收斂，問此級數在 x 4處是

4、否收斂，假設收斂，是n 0絕對收斂還是條件收斂解：由阿貝爾定理知，幕級數an(x 2)n在x 1處收斂，那么對一切適合不等式n 0x 2123 (即1 x 5 )的x該級數都絕對收斂.故所給級數在 x 4處收斂且絕對收斂.3.幕級數收斂半徑、收斂區間如果幕級數an(x Xo)n不是僅在x Xo處收斂，也不是在整個數軸上收斂，那么必定n 0存在一個正數R，它具有下述性質：當xX。R時，an(xn 0x0)n絕對收斂；當xX。R時，an(xn 0x0)n發散.如果幕級數an(xx0)n僅在x x。處收斂，定義 R 0 ；如果幕級數an(x x)n 在n 0n 0(,)內收斂，那么定義R那么稱上述

5、R為幕級數an(x x0)n的收斂半徑稱開區間(x0 R, x0 R)為幕級數n 0an(x x0)n的收斂區間.n 04. 幕級數收斂半徑的求法求幕級數an(x x0)n的收斂半徑Rn 0法一：求極限(x x0)limnan 1(X x0)n1an(x x0)n令(x x0) 1 x x0m那么收斂半徑為R m；法二：假設an滿足an 0 ,那么Rlimnanan 1法三；(1)求極限(x x0) lim n an(x x0)n n令(x x0)1 x x0 m那么收斂半徑為R m.例2：求以下幕級數的收斂域n n 1 2nn!(x 5)nn 1、nx2n2n1 2n解：收斂半徑Rlimli

6、mn12n 1( n 1)!2nn!所以收斂域為(收斂半徑Rlimnanan 1limn1/n當x 51時，對應級數為(9這是收斂的交錯級數,n 1 Jn當x 51時，對應級數為1L這是發散的pn 1 n級數,于是該幕級數收斂域為4,6)；由于 (x) limnn2n 1 2n 2n 1 x2n 22(2n 1)x令(x)1，可得x.2，所以收斂半徑為 R當x x 2時，對應的級數為2n 1n 12，此級數發散,于是原幕級數的收斂域為5. 幕級數的性質設幕級數an(xn 0x0)n收斂半徑為Ri；bn(x x0)n收斂半徑為n 01an(xn 0xo)nbn(xn 0xo)n(ann 0bn)

7、(x Xo)n，收斂半徑Rmin(Ri, R?)；2. an(xn 0X)n bn(xn 0n“(n 0 i 1aibn i)(x x0)n ,收斂半徑R min( R, R2)；3幕級數nan(x xo)n的和函數S(x)在其收斂域I上連續;R 即4幕級數在其收斂區間內可以逐項求導，且求導后所得到的幕級數的收斂半徑仍為S(x) an(x Xo)nan(x Xo)nn a.(x x)n1 -n 0n 0n 15幕級數在其收斂區間內可以逐項積分，且積分后所得到的幕級數的收斂半徑仍為R 即有xxS(x)dx an(x x)ndxx0冷 n 0xx an(x x)ndxx0= an(x x)n10

8、n 13:用逐項求導或逐項積分求以下幕級數在收斂區間內的和函數 nxn 1(n 11 x 1)x4n1)解：令S(x)nxn 1(x 1)，那么x0 S(x)dxxo(nnx1)dxn所以S(x)冷(1 x)2,(1)令S(x)4n 1-(1 n 1 4n 11)，那么4n 1xS(x)()n 1 4n 14n xx41x4x x4x所以 S(x)4dx0 1 xo( 111 x22)dx1 1In41 x1arcta nx x ,2(1 x 1) 例4：求幕級數(2nn 01)xn的收斂域，并求其和函數。解：易求得收斂域為(1,1)=2x1 x n 0n】x 因為 (2n 1)xn =2n

9、xn + xn = 2x (xn)n0n0n0n0111 X2x(丄)丄, x ( 1,1)。1 x 1 x (1 x)1 x所以和函數為s(x) 丄2，x ( 1,1)。(1 x)三、函數展開成幕級數1. 函數展開成幕級數的定義定義：設函數f(x)在區間I上有定義，X。I，假設存在幕級數an(x xo)n，使得n 0f(x)an(x Xo)n, x In 0那么稱f (x)在區間I上能展開成x0處的幕級數.2. 展開形式的唯一性定理：假設函數f (x)在區間I上能展開成x0處的幕級數f (x)an(x x)n, x In 0那么其展開式是唯一的，且(n 0,1,2,|).n!M3. 泰勒級數

10、與麥克勞林級數泰勒級數與麥克勞林級數的定義f(n)(X)n!(x定義：如果f(x)在X。的某一鄰域內具有任意階導數，那么稱幕級數f(x)X)川f一(x X)n川1!M1 n!為函數f (X)在X0點的泰勒級數.當X0 0時稱冪級數。普xn f(0)晉III為函數f(x)的麥克勞林級數.函數展開成泰勒級數的充要條件定理：函數f(x)在X。 I處的泰勒級數在I上收斂到f(x)的充分必要條件是：f(x)在X。處的泰勒公式f(x) n4(x X0)k R(x)k 0 k!的余項Rn(x)在I上收斂到零，即對任意的 x I，都有lim R(x)0 .n4. 函數展開成幕級數的方法直接法利用泰勒級數的定義

11、及泰勒級數收斂的充要條件，將函數在某個區間上直接展開成指定點的泰勒級數的方法.間接法通過一定的運算將函數轉化為其它函數，進而利用新函數的幕級數展開將原來的函數展開成幕級數的方法.所用的運算主要是四那么運算、(逐項)積分、(逐項)求導、變量代換.利 用的幕級數展開式是以下一些常用函數的麥克勞林展開公式.幕級數常用的七個展開式sin x2n 11六cosx1)2n n x(2n)!ln(1x)n 11)nn 1(1 x)(1)2!x2III(,),)1 x 1(1)( 2川l( n J I, x ( 1,1)n!r 1x ( 1,1)(1)nxn, x ( 1,1).例5:將f(X)-展開成x 1的幕級數。x解：由于f (x)In xln(1 x)，而In xln1(x1)(1)n1(1n1)；ln(1x)ln2(x1)x 1In 2