1、2.4.1 保守力及保守力的功保守力及保守力的功2.4 勢能勢能 機械能轉換及守恒定律機械能轉換及守恒定律2.4.2 勢能勢能2.4.3 功能原理功能原理2.4.5 能量轉化和能量守恒定律能量轉化和能量守恒定律2.4.4 機械能和機械能守恒定律機械能和機械能守恒定律2.4.6 例題分析例題分析2.4.1 保守力及保守力的功保守力及保守力的功1. 萬有引力的功萬有引力的功rmmfl d drrrmmgf3 21rrl dfw引引 213rrl drrmmg 21cos2rrdlrmmg 2. 重力的功重力的功 212rrdrrmmg 12rmmgrmmgw引引所以所以xoy1y2yrd gmgm

2、g 21yyrdgw重重 21yyrdgm 21cosyydrmg 21yymgdy)(12mgymgyw 重重所所以以3. 彈性力的功彈性力的功xofikxf 21xxidxfw彈彈 21222121kxkxw彈彈所所以以 21xxidxikx 把保守力存在的空間稱之為把保守力存在的空間稱之為保守力場保守力場；保守力和非保守力屬于系統保守力和非保守力屬于系統（質點組質點組）的內的內力力. . 根據做功的特點我們可以把保守力與非根據做功的特點我們可以把保守力與非保守力定義為：保守力定義為： 若某種力做功僅與起末位置有關而與路若某種力做功僅與起末位置有關而與路徑無關，則這種力稱之為徑無關，則這種

3、力稱之為保守力保守力； 若某種力做功不僅與起末位置有關而且若某種力做功不僅與起末位置有關而且還與路徑有關，則這種力稱之為還與路徑有關，則這種力稱之為非保守力非保守力. .2.4.2 勢能勢能 功是能量改變的量度，把保守力做功所功是能量改變的量度，把保守力做功所改變的能量稱之為改變的能量稱之為勢能勢能（這種能量僅與位置這種能量僅與位置有關，所以也稱有關，所以也稱位能位能）. . crmmgep引力cymgep重力ckxep221彈力pppeeew )(12保保守守內內力力21222121kxkxw彈)(12mgymgyw重12rmmgrmmgw引勢能是一相對量勢能是一相對量. . 對于萬有引力勢

4、能，通常取無窮遠處作對于萬有引力勢能，通常取無窮遠處作為零勢能點，即為零勢能點，即0)( rpe引引力力 對于重力勢能，通常取地面作為零勢能對于重力勢能，通常取地面作為零勢能點，即點，即0)0( ype重力重力 對于彈性勢能，通常取彈簧無形變處作對于彈性勢能，通常取彈簧無形變處作為零勢能點，即為零勢能點，即0)0( xpe彈力彈力2.4.3 功能原理功能原理 pkmpkmeeeeee非非保保守守內內力力保保守守內內力力內內力力www kewww 非非保保守守內內力力保保守守內內力力外外力力kpewew 非非保保守守內內力力外外力力 )()(00pkpkmpkeeeewweeeww非保守內力非保

5、守內力外力外力非保守內力非保守內力外力外力或者或者2.4.4 機械能和機械能守恒定律機械能和機械能守恒定律 0000pkpkmmeeeeeeww或或則則若若非保守內力非保守內力外力外力,1 nikikee其其中中.1 nipipee 若外力和非保守內力均不做功，或質點若外力和非保守內力均不做功，或質點組在只有保守內力做功的條件下，質點組內組在只有保守內力做功的條件下，質點組內部的機械能相互轉化，但總的機械能守恒部的機械能相互轉化，但總的機械能守恒. . 這就是這就是機械能轉化和機械能守恒定律機械能轉化和機械能守恒定律. . 2.4.5 能量轉化和能量守恒定律能量轉化和能量守恒定律 能量既不能消

6、滅，也不能產生；它只能能量既不能消滅，也不能產生；它只能從一個物體傳遞給另一個物體，或物體的一從一個物體傳遞給另一個物體，或物體的一部分傳遞給另一部分，由一種形式轉化為另部分傳遞給另一部分，由一種形式轉化為另一種形式一種形式. . 這稱之為能量轉化和能量守恒定這稱之為能量轉化和能量守恒定律律. . 2.4.6 例題分析例題分析(p47)（2）如果如果 和和 交換位置，結果如何？交換位置，結果如何？1m2m（1）對上面的木板必須施加多大的正壓力對上面的木板必須施加多大的正壓力 ，以便在力以便在力 突然撤去而上面的木板跳起來時，突然撤去而上面的木板跳起來時，恰好使下面的木板提離地面？恰好使下面的木

7、板提離地面？ff 1.如圖所示，用一彈簧把質量分別為如圖所示，用一彈簧把質量分別為 和和 的兩塊木板連接在一起，放在地面上，彈的兩塊木板連接在一起，放在地面上，彈簧的質量可忽略不計，且簧的質量可忽略不計，且 . . 問：問：12mm 1m2m1m2m1m2m1m2mf2x 1x 0 重重pe0 彈彈pe 解解 設彈簧的彈性系數為設彈簧的彈性系數為k , ,上面的木板上面的木板處于最低狀態時的位置為重力勢能零點，彈處于最低狀態時的位置為重力勢能零點，彈簧處于自然長度時的位置為彈性勢能零點簧處于自然長度時的位置為彈性勢能零點 , , 如圖所示如圖所示. . 則上跳使彈簧必須伸長，則上跳使彈簧必須伸

8、長， 才能使下面的木板恰能提起，才能使下面的木板恰能提起， 1mkgmx21 正壓力正壓力 壓上面的木板時，彈簧壓縮壓上面的木板時，彈簧壓縮量量 ，突然撤去外力，突然撤去外力 后，后，上面的木板由這一位置從靜止開始向上運動，上面的木板由這一位置從靜止開始向上運動，因為系統因為系統（兩塊木板、彈簧、地球兩塊木板、彈簧、地球）只有重只有重力、彈性力做功，所以系統遵守機械能守恒力、彈性力做功，所以系統遵守機械能守恒定律定律. . f kgmfx12 f 若上面的木板運動到最高點時，彈簧恰若上面的木板運動到最高點時，彈簧恰能伸長能伸長 ，則以上各量必須滿足，則以上各量必須滿足 1x 211212221

9、21xxgmxkxk 把把 和和 代入上式，化簡可得代入上式，化簡可得 1x 2x 2212gmgmf gmmf21 所所以以因為因為 不是壓力，故舍去不是壓力，故舍去. . gmmf21 所得結果具有對稱性，因此所得結果具有對稱性，因此 和和 交換交換位置結果是不會改變的位置結果是不會改變的. . 1m2m 2.如圖所示，質量為如圖所示，質量為m 的物塊從離平板的物塊從離平板高為高為h 的位置下落，落在質量為的位置下落，落在質量為m 的平板上的平板上. . 已知輕質彈簧的彈性系數為已知輕質彈簧的彈性系數為k ，物塊與平板，物塊與平板的碰撞為完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的的碰撞為完全非彈性碰撞

10、，求碰撞后彈簧的最大壓縮量最大壓縮量. . 解解 該問題可分解為三個過程加以處理，該問題可分解為三個過程加以處理，即物塊下落的過程、物快與平板碰撞的過程、即物塊下落的過程、物快與平板碰撞的過程、物塊與平板碰撞后彈簧繼續被壓縮的過程物塊與平板碰撞后彈簧繼續被壓縮的過程. . 在物塊下落的過程中，物塊是自由下落，在物塊下落的過程中，物塊是自由下落，所以到達物塊與平板碰撞前，物塊的速度為所以到達物塊與平板碰撞前，物塊的速度為 ghv21 h1x2x 在物塊與平板碰撞過程中，由于碰撞過在物塊與平板碰撞過程中，由于碰撞過程時間極為短促，此時重力、彈性力比碰撞程時間極為短促，此時重力、彈性力比碰撞時相互作

11、用的沖力小得多，可以忽略不計，時相互作用的沖力小得多，可以忽略不計，若碰撞后物塊和平板共同前進的速度為若碰撞后物塊和平板共同前進的速度為 ，則由動量守恒定律可得則由動量守恒定律可得 2v21)(vmmmv 在碰撞后彈簧繼續壓縮的過程中，取物在碰撞后彈簧繼續壓縮的過程中，取物塊、平板、彈簧和地球構成的質點組為研究塊、平板、彈簧和地球構成的質點組為研究對象，由于質點組僅有保守力對象，由于質點組僅有保守力（重力、彈性重力、彈性力力）做功，所以由機械能守恒定律得做功，所以由機械能守恒定律得 pkmeee 由于彈簧處于最大壓縮時，物塊和平板由于彈簧處于最大壓縮時，物塊和平板的速度等于零，所以達到最大壓縮

12、時質點組的速度等于零，所以達到最大壓縮時質點組的動能變化為的動能變化為 22)(210vmmek 質點組的勢能變化為質點組的勢能變化為21222121)()(21kxgxmmxxkep 021)()(21)(2121222122 kxgxmmxxkvmm所所以以1kxmg 又又因因為為聯立以上各式，并整理可得聯立以上各式，并整理可得 02222 kmghxkmgxhkmgkmgkmgx 22解之可得解之可得 因為要求因為要求 ，所以舍去負根，則碰，所以舍去負根，則碰撞后彈簧的最大壓縮量為撞后彈簧的最大壓縮量為 02 xhkmgkmgkmgxxx 221max2 3.如圖是打樁的示意圖如圖是打樁

13、的示意圖. . 設錘和樁的質設錘和樁的質量分別為量分別為 和和 ，錘的下落高度為，錘的下落高度為h ，假定，假定地基的阻力恒定不變，落錘一次，木樁打進地基的阻力恒定不變，落錘一次，木樁打進土中的深度為土中的深度為d ，求地基的阻力，求地基的阻力f 等于多大？等于多大？ 1m2m1m2mhd 解解 以錘為研究對象，錘以錘為研究對象，錘打擊樁前作自由落體運動打擊樁前作自由落體運動, ,則則 ghv21 以錘和樁為研究對象，則以錘和樁為研究對象，則錘與樁構成的質點組動量守恒錘與樁構成的質點組動量守恒. . 設錘打擊樁后不回跳，錘和樁設錘打擊樁后不回跳，錘和樁以共同的速度以共同的速度v 進入土中，則進

14、入土中，則 vmmvm)(2111 以錘、樁和地球構成的質點組為研究對以錘、樁和地球構成的質點組為研究對象由功能原理可得象由功能原理可得 22121)(21)(vmmgdmmfd 聯立以上各式，并求解可得聯立以上各式，并求解可得dmmghmgmmf)()(212121 4. 一質量為一質量為m = =3500kg 鋁制人造地球衛鋁制人造地球衛星繞地球做圓周運動，軌道高度為星繞地球做圓周運動，軌道高度為h = =100km，關閉發動機后，由于空氣阻力，它將逐漸減關閉發動機后，由于空氣阻力，它將逐漸減速，最后撞回到地面速，最后撞回到地面. . （1）求衛星在正常軌道時的總能量和落求衛星在正常軌道時

15、的總能量和落回到地面后的總能量回到地面后的總能量. . （2）如果衛星落地后減少的能量全部以如果衛星落地后減少的能量全部以熱量的形式被衛星所吸收，它能被全部熔化熱量的形式被衛星所吸收，它能被全部熔化嗎？它能被全部蒸發嗎？嗎？它能被全部蒸發嗎？ 已知鋁的熔解熱是已知鋁的熔解熱是 ，鋁的蒸發熱為鋁的蒸發熱為 15kgj1098. 3 c.kgj1005. 117 c 解解（1）衛星做圓周運動時，地球對衛衛星做圓周運動時，地球對衛星的引力提供衛星做圓運動的向心力，則星的引力提供衛星做圓運動的向心力，則eeerhvmrhmmg 22)( 因此衛星做圓周運動時的總能量為因此衛星做圓周運動時的總能量為 e

16、epkmrhmmgmveee 221eeeerhmmgrhmmg )(2)(2eerhmmg j101 . 111 衛星落回到地面衛星落回到地面（v = 0，h = 0）時的總時的總能量為能量為 eemrmmge j102 . 211 （2）衛星由軌道上落回到地面后，能量衛星由軌道上落回到地面后，能量的減少為的減少為 mmmeee j101 . 111 衛星全部熔化所需要的熱量為衛星全部熔化所需要的熱量為 ej104 . 19 mcq 如果衛星落地后減少的能量全部以熱量如果衛星落地后減少的能量全部以熱量的形式被衛星所吸收，則衛星將被全部熔化的形式被衛星所吸收，則衛星將被全部熔化. .衛星全部被蒸發所需要的熱量為衛星全部被蒸發所需要的熱量為 qcmq m10ej107 . 3 5.如圖所示如圖所示, ,勁度系數為勁度系數為k 的輕彈簧水平的輕彈簧水平放置放置, ,一端固定一端固定, ,另一端系一質量為另一端系一質量為m 的物體，的物體，物體與水平面間的摩擦系數為物體與水平面間的摩擦系數為 . . 開始時彈開始時彈簧沒有伸長，現以恒力簧沒有伸長，現以恒力f 將物體自平衡位置將物體自平衡位置開始向右拉動，試求系統的最大勢能為開始向右拉動，試求