1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第六節一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系 空間直線及其方程三三、實實例分析例分析目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyx0 x0yo),(0000zyxm2. 對稱式方程對稱式方程故有說明說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.mxx000yyxx設直線上的動點為 則),(zyxmnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程

2、對稱式方程(也稱為點向式方程點向式方程)直線方程為已知直線上一點),(0000zyxm),(zyxm例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms smm/0s目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 參數式方程參數式方程設得參數式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 1.用對稱式及參數式表示直線解解: :先在直線上找一點.043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3,

3、 1,2(2n21ns,ns21nns目錄 上頁 下頁 返回 結束 故所給直線的對稱式方程為參數式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji是直線上一點)2,0, 1(目錄 上頁 下頁 返回 結束 2l1l二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設直線 l1, l2 的方向向量分別為 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms212

4、1cosssss 1s2s目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別有特別有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss),(),(22221111pnmspnms2l1l1s2s2l1l1s2s目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. . 求以下兩直線的夾角解解: 直線l1的方向向量為直線l2的方向向量為二直線夾角 的余弦為13411:1zyxl0202:2zxyxl cos22從而4) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、當直線與平面垂直時,規定其夾角為線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;l2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線 l 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222cbapnmpcnbma直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別有特別有: :l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求過點(1,2

6、 , 4) 且與平面目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 相關的幾個問題相關的幾個問題(1) 過直線00:22221111dzcybxadzcybxal的平面束)(1111dzcybxa0)(2222dzcybxa方程0,21不全為12目錄 上頁 下頁 返回 結束 kji),(0000zyxm到直線的距離pzznyymxxl111:為(2) 點2221pnm010101 zzyyxxpnm dssmmd10),(pnms ),(1111zyxm),(0000zyxml目錄 上頁 下頁 返回 結束 三三、實實例分析例分析例例1. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線

7、提示提示: 所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程. kji21nns目錄 上頁 下頁 返回 結束 241312zyx例例2. 求直線與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數方程代入平面方程得 1t從而確定交點為（1，2，2）.tztytx2432t目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求過點( 2 , 1 , 3 ) 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直線交點 p. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數方程, 代入 式, 可

8、得交點),(7371372p最后利用點向式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011) 1, 2 , 3(s過已知點且垂直于已知直線, ) 1,2,3(p目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.提示提示：過已知直線的平面束方程從中選擇 使其與已知平面垂直,01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx從而得投影直線方程, 1故應有：這是給定的平面目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000 內容小結內容小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1111111pzznyymxxl：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 線與線的關系線與線的關系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21ll 21/ ll021ss2121cosssss 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 0dzc