1、 5.1 5.1 靜態場的場與源的時間特性靜態場的場與源的時間特性 5.2 5.2 電磁感應定律及其數學方程電磁感應定律及其數學方程 5.3 5.3 位移電流與時變場中的安培環路定律位移電流與時變場中的安培環路定律 5.4 5.4 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 5.5 5.5 不同介質分解面上的邊界條件不同介質分解面上的邊界條件 5.6 5.6 波動方程波動方程 5.7 5.7 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 5.8 5.8 標量位和矢量位標量位和矢量位第第5 5章章 時變電磁場時變電磁場5.1 靜態場的場與源的時間特性 1、 靜電場和恒定磁場對源的依賴關系在時間上具有即靜電場和

2、恒定磁場對源的依賴關系在時間上具有即時性時性 ，即，即 靜電場：靜電場： 恒定磁場恒定磁場： 2、靜電場與恒定磁場均有對靜電荷和恒定電流的即時依、靜電場與恒定磁場均有對靜電荷和恒定電流的即時依賴關系的特點。賴關系的特點。 3、靜電場與恒定磁場在空間中彼此獨立。、靜電場與恒定磁場在空間中彼此獨立。30|)(41rrdrrrEldrrrrrJB30|)()(4 若空間中分布的是時變的電荷和時變的電流，若空間中分布的是時變的電荷和時變的電流， 則則 不能完全確定空間中的電場和磁場分布。不能完全確定空間中的電場和磁場分布。 在本章中我們將看到：隨時間變化的電場和磁場在本章中我們將看到：隨時間變化的電場

3、和磁場彼此不能獨立，時變的電場將激勵磁場，時變的磁場彼此不能獨立，時變的電場將激勵磁場，時變的磁場也將激勵電場，時變電場與時變磁場的相互激勵將形也將激勵電場，時變電場與時變磁場的相互激勵將形成向遠方傳播的電磁波。成向遠方傳播的電磁波。30|)(,(41),(rrdrrtrtrEldrrrrtrJtrB30|)(),(4),(5.2 電磁感應定律及其數學方程電磁感應定律及其數學方程 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律 當當 時，即穿過線圈的磁通增加時，時，即穿過線圈的磁通增加時， 0，這時感，這時感應電動勢的實際方向與選定的參考方向相同。應電動勢的實際方向與選定的參考方向相同。indtd0dt

4、d0dtdinineI 結論：時變的磁場激勵電場，且感應電場與時變磁結論：時變的磁場激勵電場，且感應電場與時變磁場存在于同一空間場存在于同一空間 我們知道感應電動勢是感應電場強度沿閉合回路的線我們知道感應電動勢是感應電場強度沿閉合回路的線積分于是積分于是 所以所以dtdl dElSlSdBdtdl dEdSBS 又因為又因為 這就是法拉第電磁感應定律的積分形式時變的磁場這就是法拉第電磁感應定律的積分形式時變的磁場將激勵電場，而且這種感應電場是一種旋渦場，即感應電將激勵電場，而且這種感應電場是一種旋渦場，即感應電場不再是保守場，感應電場在時變磁場中的閉合曲線上的場不再是保守場，感應電場在時變磁場

5、中的閉合曲線上的線積分等于此閉合曲線圍成的面上磁通的負變化率。線積分等于此閉合曲線圍成的面上磁通的負變化率。 若積分回路若積分回路l是空間中一條固定回路，則是空間中一條固定回路，則 可轉化為可轉化為 由斯托克斯定律可得由斯托克斯定律可得 SlSdBdtdl dESdtBl dElSlSSSdtBSdEl dE 積分回路是任意選取的，所以有積分回路是任意選取的，所以有 此為法拉弟電磁感應定律的微分形式此為法拉弟電磁感應定律的微分形式.tBE法拉弟電磁感應定律為：法拉弟電磁感應定律為：SdtBl dElStBE 例5.2.1 如圖5.2.1所示，邊長為0.60m的正方形線圈，在磁感應強度 的場中以

6、 的轉速繞y軸轉動。求線圈在輸出端口上的感應電壓。 0.80 xBaT 60/rad s 解：任意時刻線圈平面與軸的夾角，線圈平面投射到平面上的面積為：2)60cos(6 . 06 . 0mtS任意時刻線圈平面上穿過磁鏈為WbtSB)60cos(6 . 06 . 08 . 0線圈在輸出端口上的感應電壓為Vtdtdv)60sin(3 .545.3位移電流與時變場中的安培環路定律 1.安培環路定律在時變場中出現的矛盾圖5.3.1 含有電容器的電路中電流不連續 lSiSdJl dH1lSSdJl dH20 由于傳導電流在電容器極板間中斷，對于以閉合曲線L為邊界的S1和S2兩個曲面來說，電流只穿過曲面

7、S1而不穿過曲面S2，因此出現的矛盾與 在電流對電容器的充放電過程中，電容器極板間的電場隨著極板上電量的變化而變化，而且電場變化的方向與電流的方向一致。 充電時電場增強, 由正極指向負極，與傳導電流方 向相同；放電時電場減弱， 由負極指向正極，與傳導電流方向也相同。tDtD2 .麥克斯韋位移電流假說 將 也視為一種電流 . 根據電流連續性方程 利用高斯定律 可得: 定義 為位移電流密度 則位移電流強度為tDtJ D0tDJtDJdSSddSdDtSdJI 將位移電流密度代入（1）方程中,得 任一體積上積分，并應用高斯定律可得： 即通過閉合曲面的全電流的通量恒等于零，全電流在空間任選的閉合面上是

8、連續的。 0dJJ0)()(SdJJdJJsdd 麥克斯韋以全電流代替傳導電流，進而把恒定磁場中的安培環路定律推廣到時變場，得到 稱為全電流安培環路定律全電流安培環路定律，簡稱安培環路定律安培環路定律。 在任一閉合面S上積分后，可得時變場的安培環路定 律： 根據stokes定理，上式可寫為tDJHSSSdStDSdJSdH)( 3.時變場中的安培環路定律 全電流安培定律的積分形式全電流安培定律的積分形式 麥克斯韋關于位移電流的假說的實質是：變化的電場要激勵磁場。 需要說明的是：位移電流是電流概念的擴展，與傳導電流一樣，位移電流要激勵磁場，但它與傳導電流不同的是，它不是帶電粒子定向運動形成的，不

9、能直接用實驗測出。 SdlSdtDIIIl dH 由 可知 可見，位移電流的一部分為 ，這是介質分子的電極化強度隨時間改變引起的極化電流，也稱為運流電流；另一部分位移電流僅對應于電場的變化。由此可得出結論：位移電流激勵的磁場為真空中變化的電場（即真空中的位移電流）激勵的磁場，與電介質在時變電場中被極化引起的極化電流激勵的磁場的迭加。 tPPED0tPtEtD0 例5.3.1 潮濕土壤的電導率為 , 且 ，其中 求土壤中的傳導電流密度 和位移電流密度 。 解：傳導電流密度為 ，因此 位移電流密度 ，因此 由此可見，在潮濕土壤中，位移電流密度較傳導電流密度大三個數量級。mS /1035 . 2r6

10、96.0 10sin(9.0 10 )EtcJdJEJc)100 . 9sin(100 . 699tJctEtDJrd0)100 . 9cos(1020. 196tJd5.4 麥克斯韋方程組 麥克斯韋將時變電磁場的場源關系總結為： tDJHtBE0 B D 其積分形式包括如下的四個方程： I+lDH dldStlsSdtBl dESSdB0SqSdD 上述四個方程依次稱為麥克斯韋第一、二、三、四方程。 麥克斯韋第一方程就是時變電磁場中的安培環路定律，它的物理意義為：磁場是由電流和時變的電場激勵的；第二方程為法拉弟電磁感應定律，它說明了時變的磁場激勵電場這一事實；第三方程為時變磁場的磁通連續性方

11、程，它說明了磁場是一個旋渦場；第四方程為高斯定律，它的物理意義為：時變電磁場中的發散電場分量是由電荷激勵的。 麥克斯韋方程中沒有寫進電流連續性方程, 可從 和 導出. 把 兩邊同時取散度得 由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得 再把 代入上式，即得 此即電流連續性方程。 tDJH DtDJH)(tDJH0tDJ D0tJ 上述給出麥克斯韋方程組的微分形式和積分形式描述了時變電磁場在任意空間中的一般運動規律，但它不能限定時變電磁場在某一確定空間中的運動規律。因此，上述給出的麥克斯韋方程通常被稱為麥克斯韋方程的非限定麥克斯韋方程的非限定形式形式，因為它沒有限定 和 之間及 和 之間的關系，故適用于任

12、何介質。DEBH 在線性和各向同性的介質中，有關場量之間的關系為 稱為媒質的本構關系。這里， 只代表介質中的傳導電流，而不包括空間中的源電流分布。如果空間中還存在源電流 ，則空間中的總電流為 一般情況下，源電流 都省去下標而直接用 表示。 EEDorHHBr0EJccJsJEJJJJscssJJ 此時，麥克斯韋方程可用 和 兩個場量寫出 上式稱為麥克斯韋方程組的限定形式麥克斯韋方程組的限定形式。EHtEJHtHE0HE 總結： 麥克斯韋方程是描述客觀存在的宏觀電磁現象的總規律，對靜態場當然也適用，只是關于時間導數的項為零而已，可見前述靜電場和恒定磁場的基本方程其實都只是麥克斯韋方程的特例。 t

13、BEtBEzyxaaayzyx00tBztEax)cos(0)sin(0ztEaBx可得對時間積分可得即解：由麥克斯韋方程H)sin(0ztEaEyEH例 已知自由空間中,求時變電磁場的磁場分量 并說明場構成了一個沿+z方向傳播的行波。, 圖5.4.1 時刻沿軸變化的場量分布 EH)sin(00ztEaHx0t 由此可見，場 和 相互垂直，它們隨時間和空間是按正弦波的方式傳播的，它是一個行波。 這里積分常數忽略不計，于是 圖5.4.1給出了一個在 時刻沿 軸變化的場量分布。由圖可看出：場 和 同時按 變化，所以 和 在某一時刻的某一位置滿足 或 這是一個平面方程，這個平面的移動速度為 它就是此

14、行波的傳播速度。0tzEH)sin(ztEH0tconstzt)(0ttzpv0t5.5 不同介質分解面上的邊界條件 1.兩種不同介質界面（1） 的邊界條件 右圖所示為兩種媒質的分界面，1區媒質的參數為 、 和 ；2區媒質的參數為 、 和 。111222HH1H21324lh 21Ht SdtDlaJlHlHshss021limH1H21324lh 21HtlDH dlIdSt即lhtDlaJlHlHhss|lim021由于是有限量，Dt0h0|lim0lhtDh當由于小矩形閉合回路的選取具有任意性，則可得lnalslaJlnaHHsss)(21laJlaHHnsss)(21SJHHn)(21

15、H1H21324lh 21Ht于是得12ssHlHlJal 又因為：經過簡單的矢量混合積變換得 若分界面上不存在面電流（即 ）時，則有 由此可見，當分界面上分布有源面電流時， 從一種媒質跨過另一種媒質時，其切向分量會發生突變。其突變量就等于分界面上的面電流密度。若分界面上沒有面電流，則 的切向分量是連續的。0SJ0)(21HHnHHH1H21324lh 21Ht EEE1E21324lh 21Bt圖5.5.2 的邊界條件將麥克斯韋第二方程的積分形式用于圖5.5.2所示的無窮小矩形閉合回路，可得lhtBlElEh|lim021（2） 的邊界條件式中的 是有限量，當Bt 0h0|lim0lhtBh

16、0)(21lnaEEs0)(21EEn即說明 在分界面上，其切向分量總是連續的。E B（3） 的邊界條件在不同媒質的分界面上取一小扁形閉合柱面，如圖5.5.3所式。hSB1B2u2u1en圖5.5.3 的邊界條件B將麥克斯韋第三方程的積分式應用與此閉合面可得：021SnBSnBSdBs因此可得0)(21BBn即021nnBB這說明 在分界面上的法向分量總是連續的。B dSdSDndSDnSdDss21sDDn)(21021nnDD0)(21DDnDhSD1D2u2u1en（4） 的邊界條件將麥克斯韋第四方程的積分式，即式應用于分界面上所取的一小扁形閉合柱面上可得由此可得若分界面上不存在源面電荷

17、，則或 當分界面上存在自由面電荷時， 的法向分量不連續，其增量就等于分界面上自由電荷面密度。若分界面上沒有自由面電荷分布，則 的法向分量在分界面上連續。DD sJsSJHHn)(210)(21HHn0)(21EEn0)(21EEn0)(21BBn0)(21BBnsDDn)(210)(21DDn在不同媒質的分界面上的邊界條件可歸納為：分界面上存在源 和分界面上無源分布2. 空氣與理想導體的分界面 理想導體的 中 不可能為無窮大，理想導體中勢必處處 。 再又麥克斯韋第二方程 可得 如果不考慮導體中恒定磁場的存在，則理想導體中磁場也處處為零。因此，理想導體內部電磁場都為零。于是，在理想導體表面上有

18、EJccJ0EtBE0tB SJHnstJH0 En0tE0Bn0nB0sEn0snE n式中 是導體表面法線方向的單位矢量。 或在理想導體表面上有 在理想導體與空氣的分界面上，如果導體表面上分布有電荷，則在導體表面上有電場的法向分量，則由式 或 決定，導體表面上電場的切向分量總為零；導體表面上磁場的法向分量總為零，如果導體表面上分布有電流，則在導體表面上有磁場的切向分量，則由式 或 決定。0sEn0snE SJHnstJH 例5.5.1 如圖所示，在兩導體平板（ ， ）限定的空氣中傳播的電磁波，已知波的電場分量為 0zdz )cos(cos0 xktdzEaExzxk式中， 為常數。（1）試

19、求波的磁場分量；（2）驗證波的各場分量滿足邊界件；（3）求兩導體表面上的面電荷和面電 流分布。圖 兩導體平板間傳播的電磁波解：（1） 由麥克斯韋第二方程 可得 于是tHE0 xEayEatHzyzx01)sin(cos00 xktdzEkaxxydtxktdzEkaHxxy)sin(cos00)cos(cos00 xktdzEkaxxy （2） 由導體與空氣的邊界條件可知，在 ，和 的導體表面上應該有電場強度的切向分量 和磁感應強度的法向分量 。而當 和 時， 和 可見電磁波的場分量自然滿足邊界條件。0zdz0tE0nB0zdz 0tyxEEE0nzBB（3）由導體與空氣的邊界條件可知，在導體

20、的表面上有 nsE0HnJs0zzan)cos(|0000 xktEExzzs)cos()(|000 xktEkaaHaJxxyzzzs)cos(00 xktEkaxxx在 的表面上， 。于是 在 的表面上， 。于是 dz zan)cos(|000 xktEExdzzs)cos()()(|)(00 xktEkaaHaJxxyzdzzs)cos(00 xktEkaxxx5.6 波動方程 靜態場的特點是場對源具有即時性，即源出現則場出現，源撤消則場撤消。在時變電磁場中，變化的電場將激勵起磁場，變化的磁場將激勵起電場，于是，這種電磁場的相互激勵可使場脫離源，形成向遠方傳播的電磁波。 若無源空間（ ，

21、 ）中充滿線性、均勻媒質，則麥克斯韋方程組可寫成0J0 tEHtHE0 B0 H0 D0 E或 或 tEH)(EttEHHHHH2)(222)(tHHHH0222tHH0222tEE兩端取旋度則有對式可展開為于是即同理稱為三維空間中的矢量齊次波動方程。 波動方程是電磁波理論的最基本的方程。是研究電磁波傳播規律的理論依據。 0222tEE02222tEzExx)(uf)()(vztfvztfEx例5.6.1 在一維空間中，波動方程退化為若函數 是二階連續可微的，試證明是一維空間變量波動方程的解。 式中 為電磁波在均勻介質中的傳播速度，在這里它是一個常數。1v 證明：令 ，先證 是一維波動方程的解

22、。vztu)()(vztfufEx)()(vztfuf)(1)()(ufvzuuufzuf)(1)(1)(1)( 222ufvzuuufvzufvzuf將對變量z求偏導數有 同樣又可求出： 將所求 和 的結果代入一維波動方程式 可得 這就證明了 是式 的解。 同樣可以證明 也是式 的解。)()( 22uftuf22)(zuf22)(tuf0)()()()(1 22222ufufufufvtEzExx02222tEzExx)()(vztfuf)()(vztfuf02222tEzExx02222tEzExx 因此， 仍為式 的解。 )()(vztfvztfEx02222tEzExxxE討論： 的兩

23、項解代表的意義？ 先來看 。它表示 為 和 的函數，但沒有具體表明到底是什么函數關系。所以，我們可以為任意的函數圖形，如圖5.6.1所示。)(vztftz圖5.6.1xE它表示在某一瞬間 時，沿空間方向的分布情況。)(vztfExt )(vztf)(vztfconstvztvztvzt )()()(2211)(vztfxEvz)(vztfxEvz觀察波形上任一點P的運動規律。點選定后，在無傳播損耗的情況下，任何瞬間觀察到的P點所對應的函數值 ，總應該等于上圖所給出的P點所對應的函數值 ，亦即如圖5.6.2所示；以速度 沿向 正方向傳播，同樣以速度 沿向 負方向傳播，表示的是表示的是圖5.6.2

24、沿+Z方向的運動規律)(vztfEx5.7 坡印廷定理和坡印廷矢量 電磁波是一種特殊形式的物質，能量是物質的主要屬性之一，從能量角度來看：時變電荷和時變電流將電能轉換成電磁能量，空間中電磁能量分別以電場能和磁場能的形式存在并相互轉換，電磁波將攜帶這些能量在空間中傳播，因此，時變電磁場中一定存在能量的流動。電磁波能量在有耗媒質中傳播時還將受到損耗。 討論電磁波能量在無源導電媒質中的傳播和守恒性質。 在線性、各向同性的無源導電媒質中，若媒質參數為 、 和 ，麥克斯韋方程可以寫成 （1） （2） 將 點乘式(2)再減去 點乘式(1)得tDEHtBEHE tDEEEtBHHEEH)(221)(21Ht

25、tHHtBH221)(21EttEEtDE2)(EEE（3）而于是，式(3)可改寫成 利用矢量恒等式 可得到2222121EHEtHEEHHEEHHE)(2222121)(EHEtHE（4） 221Ewe221Hwm2EpHES2222121EHEtS式中， 為電磁波的電場能量密度為電磁波的磁場能量密度為電磁波在空間中單位體積的焦耳損耗功率若定義矢量稱為坡印廷矢量坡印廷矢量 則可將（4）式改寫成 SHES2222121EHEtSdEdEHtSdHES222)2121(其物理意義為：空間某點空間某點 矢量流入單位體積邊界面的矢量流入單位體積邊界面的流量等于該體積內電磁能量的增加率和焦耳損耗功率。流量等于該體積內電磁能量的增加率和焦耳損耗功率。 顯然，矢量 代表空間中電磁波的功率流動密度，是垂直穿過單位面積的功率，它的單位是瓦/米2。對式兩端對任意體積 求體積分,再利用高斯散度定理可得（5） dEWe221dHWm221dEP2()emSEH dSWWPt式中