1、2021/6/1611.2.1幾個(gè)常用幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-2 第一章第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2021/6/162 一、復(fù)習(xí)： 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1.y =f (x)的導(dǎo)數(shù)2.y =f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0,f(x0)處的切線的斜率.極限 叫f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。 叫平均變化率。3.物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是S=S（t），則物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度為 即瞬時(shí)速度是位移S對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)。xxfxxfxyxfxx)()()(limlim00ttsttsVt)()(lim0 xxfxxfxfx)()()(0

2、000limxy4.用定義法求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：（1）求y （2）求 （3）取極限xylim0txy2021/6/163測(cè)試一下你對(duì)定義法求導(dǎo)掌握了沒(méi)有？（試一試下測(cè)試一下你對(duì)定義法求導(dǎo)掌握了沒(méi)有？（試一試下題：）題：）(1) 一球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是一球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2位移單位：位移單位：m，時(shí)間單位：，時(shí)間單位：s）.求小球在求小球在t=5時(shí)的瞬時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義法求）時(shí)速度（用定義法求）解：解：s=s(5+t)-s(5)=(5+t)2-52=t2+10t 10tts10)10(limlim00ttsvtt2021/6/16

3、4(2)設(shè)f（x）為可導(dǎo)函數(shù)，則的為（ ） B. 2 C. -2 D.0 （3）設(shè)f（x）在x=x0處可導(dǎo)，且 等于（ ）1 B. 0 C. 3 D.（4）在 中，x不能（ ）A. 大于0 B.小于0 C. 等于0 D.小于0或等于0hhxfhxfh)()(000lim)(0 xf )(0 xf )(0 xf )(, 1)()3(0000limxfxxfxxfx則31xxfxxfxfx)()()(0000limCDB2021/6/165思考與練習(xí)思考與練習(xí) 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 x

4、f 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)2021/6/16600()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)x=x0時(shí), f (x0) 是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f (x)的導(dǎo)函數(shù).即:00()6f xx( )6f xx2( )3f xxf(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)x=x0時(shí)的函數(shù)值關(guān)系關(guān)系2021/6/167求函數(shù)求函數(shù)f(x)=2的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；xyo022)()( xfxxfy 解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，. 00limlim2)(00

5、 xxxyxf2021/6/168(2) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=0的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；(3) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).002021/6/169).(01為為常常數(shù)數(shù)公公式式CC ,)(Cxfy 證證明明：()( )=0yf xxf xCC , 0 xy 0( )lim 00.xfxC 2021/6/1610(1) y=x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),)()(xxxxxfxxfy 解解：根根據(jù)據(jù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，00limlim1 ( )1=xxyxxf 2021/6/1611(2) y=x2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),2)()()(222xxxxxxxfxxfy 解解：根根據(jù)據(jù)導(dǎo)

6、導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，00lim( )2 .lim(2)xxyfxxxxx 2021/6/1612(3) y=x3的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).3)()(23xxxf 2021/6/1613220021)1(limlim1)()(11)()(xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxxxxfxxfxyxx 所以所以解：因?yàn)椋航猓阂驗(yàn)椋旱牡膶?dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy1)4( 2021/6/1614( )yf xx（5）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 思考：用定義求導(dǎo)數(shù)有些麻煩！你有什思考：用定義求導(dǎo)數(shù)有些麻煩！你有什么期望？么期望？2021/6/1615匯總以上

7、公式，可以得到統(tǒng)一的公式：匯總以上公式，可以得到統(tǒng)一的公式： 請(qǐng)注意公式中的條件是請(qǐng)注意公式中的條件是 ,但根據(jù)我們所掌握但根據(jù)我們所掌握的知識(shí)的知識(shí),只能就只能就 的情況加以證明的情況加以證明.這個(gè)公式稱(chēng)為這個(gè)公式稱(chēng)為冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.事實(shí)上事實(shí)上n可以是任意實(shí)數(shù)可以是任意實(shí)數(shù). Qn *Nn 公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 2021/6/161621)( )2)( ),3)( ),14)( ),yf xCyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x圖象上每一點(diǎn)處的切線圖象上每一點(diǎn)處的切線斜率都為斜率都為1這又說(shuō)明什么這又說(shuō)明什么?0y 表示

8、表示y=C圖象上每一點(diǎn)處的切線圖象上每一點(diǎn)處的切線斜率都為斜率都為0這又說(shuō)明什么這又說(shuō)明什么?探究：探究：畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù)y=1/x的圖像。根據(jù)圖像，的圖像。根據(jù)圖像，描述它的變化情況。并求出曲線在描述它的變化情況。并求出曲線在點(diǎn)（點(diǎn)（1,1）處的切線方程。）處的切線方程。x+y-2=02021/6/1617：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11234533(1)(2)1(3)(4)1(5)(6)yxyxyyxxxyxyx算一算算一算2021/6/1618公式公式3:3:公式公式4:4:xxcos)(sinxxsin)(cos2021/6/1619公式公式5:5:對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

9、1(1) (log)(0,1).lnaxaax a1(2)(ln ).xx2021/6/1620公式公式6:6:指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)().xxee (1) ( )ln (0,1).xxaaa aa2021/6/1621注意注意: :關(guān)于關(guān)于 是兩個(gè)不同是兩個(gè)不同的函數(shù)的函數(shù), ,例如例如: :axxa 和 )3)(1 (x )(2(3xaxln323x2021/6/1622我們今后可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式我們今后可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),(

10、 )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則不需推導(dǎo)，但要注意符號(hào)的運(yùn)算不需推導(dǎo)，但要注意符號(hào)的運(yùn)算.2021/6/1623例例1 1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxyxy) 2 () 1 (52021/6/1624).2(,) 1 (3fxy求已知213333)(xxxy 解解：12) 2 (3) 2 (2f312222)( xxxy解解

11、：2722712) 3(2) 3(3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:2021/6/1625例例3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù))2cos()3(3sin)2()2sin() 1 (xyyxy2021/6/1626練習(xí)練習(xí)(1) 5x4 ;(2) 6x5 ;(3) cost ;(4) -sinx .;3)5(4x .31)6(32x1(7).2yx2021/6/16272.選擇題選擇題（1）下列各式正確的是）下列各式正確的是（ ）56.(sin)cos(66. cos )sin.(sin )cos1.()5ABxxCxxD xx 為常數(shù)）（C2021/6/1628（2）下列各式

12、正確的是（）下列各式正確的是（ ）1.(log) ln 10.(log) .(3 ) 3.(3 ) 3ln 3aaxxxAxxBxxCxDD2021/6/16293.填空填空(1) f(x)=80，則，則f (x)=_;_;)2(32的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是xy _)1(_;)(,)()3(等等于于等等于于則則fxfexfx 03132 xxee_)1()4( xogaaxln12021/6/1630例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲線是曲線y=x2上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)P的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(2)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)Q的曲線的曲線y=x2的切線方程的切線

13、方程。(3)求與直線求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。三三.典例分析典例分析題型：求曲線的切線方程題型：求曲線的切線方程2yx解(1),(2)：2( 1,1),(2,4)PQyx都是曲線上的點(diǎn)。11|2,xPy 過(guò) 點(diǎn)的切線的斜率k22|4,xy過(guò)Q點(diǎn)的切線的斜率k12(1),210Pyxxy 過(guò) 點(diǎn)的切線方程:即：。44(2),440yxxy過(guò)Q點(diǎn)的切線方程:即：。2021/6/1631例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲線是曲線y=x2上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)P的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(2)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)Q的曲線的曲線y=x2的切線方程的切線方程。(3)求與直線求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。三三.典例分析典例分析題型：求曲線的切線方程題型：求曲線的切線方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直線的斜率k11,440214yxxy 與PQ平行的切線方程:即：。00|21,x xyx切線的斜率k01,2x1 1( , )2 4M切點(diǎn)2021/6/1632;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲線在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程12()()yxx解1)：1:1(1).2yx 2)切線方程11212x1.2 x1212x22x11即：y=20