1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法空間空間“角角”問題問題空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角復習回顧 直線的方向向量:兩點 平面的法向量：三點兩線一方程 設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)則(1)ab. a1b1a2b2a3b3 設直線l1、l2的方向向量分別為a、b，平面、的法向量分別為n1、n2.則l1l2或l1與l2重合 . l1l2 . 或與重合 . . l或l . l .復習回顧aba tbaba b 0n1n2n1tn2n1t an1 an1n2n1 n2 0n1 an1 a 0a b c d6s aa b c ds

2、 a = 8,ms amb cs dn .如 圖 所 示 ， 四 邊 形是 邊長 為的 正 方 形 ，平 面，是的 中 點 ，過和的 平 面 交于引例：(1)求二面角m-bc-d的平面角的正切值； (2)求cn與平面abcd所成角的正切值；(3)求cn與bd所成角的余弦值；(4)求平面sbc與sdc所成角的正弦值 范圍：范圍： 0,2abcd1d|一、線線角：一、線線角： ab，ab，設直線的方向向量為 ，的方向向量為caabbdaabb異面直線所成的銳角或直角異面直線所成的銳角或直角思考：思考：空間向量的夾角與空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關系？異面直線的夾角有什么關系？結論：結論：c

3、oscos,cd ab |x xz zy y 向量法向量法a ad dc cb bd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1e e1 1f f1 1 傳統法：平移傳統法：平移例例1.如圖所示的正方體中，已知如圖所示的正方體中，已知f1與與e1為四等分點，為四等分點，求異面直線求異面直線df1與與be1的的夾角余弦值？夾角余弦值？所以 與 所成角的余弦值為a1ab1bc1c1d1fxyz解：如圖所示，建立空間直角坐標 系 ,如圖所示，設 則： cxyz11cc(1,0,0), (0,1,0),ab1111 1( ,0,1),( ,1)22 2fd所以：11(,0,1),2 af111( ,

4、1)22 bd11cos, af bd1111|afbdafbd 113041053421bd1af3010練習：練習：090 ,中，現將沿著rt abcbcaabc平面的法向量abc1，bccacc11求與所成的角的余弦值.bdaf111平移到位置，已知abc111111取、的中點、 ，abacdf悟一法悟一法 利用向量求異面直線所成的角的步驟為：利用向量求異面直線所成的角的步驟為： (1)確定空間兩條直線的方向向量；確定空間兩條直線的方向向量； (2)求兩個向量夾角的余弦值；求兩個向量夾角的余弦值； (3)確定線線角與向量夾角的關系；當向量夾角為銳角時，確定線線角與向量夾角的關系；當向量夾

5、角為銳角時，即為兩直線的夾角；當向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向即為兩直線的夾角；當向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角量夾角的補角直線與平面所成角的范圍： 0,2結論：結論：sin|cos,| n ab二、線面角：二、線面角：直線和直線在平面內的射影所成的直線和直線在平面內的射影所成的，叫做這條直線和這個平面所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？表示線面角呢？n例例2、如圖，在正方體如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1 中，中，求求a1b與平面與平面a1b1cd所成的角所成的角abcda1b1c1d1o向量法

6、向量法 傳統法傳統法abcd1a1b1c1dmxyzbcd1a1b1c1dmn解：如圖建立坐標系a-xyz,則(0,0,0),a)6 , 2 , 6(m可得由, 51na)3 , 4 , 0(n).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(nama由的法向量設平面),(zyxn 00nnanma0340626zyzyx即在長方體在長方體 中，中，adanm求與平面所成的角的正弦值.練習練習：1111abcdabc d1112,mbcb m 為上的一點,且1nad點 在線段上，15,an , 61aa, 8, 6adababcd1a1b1c1dmnxyzbcd1a1b1c1dmn)34, 1

7、, 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),ad 又又adanm與平面所成角的正弦值是34343在長方體在長方體 中，中，adanm求與平面所成的角的正弦值.練習：練習：1111abcdabc d1112,mbcb m 為上的一點,且1nad點 在線段上，15,an , 61aa, 8, 6adab悟一法悟一法 利用向量法求直線與平面所成角的步驟為：利用向量法求直線與平面所成角的步驟為： (1)確定直線的方向向量和平面的法向量；確定直線的方向向量和平面的法向量； (2)求兩個向量夾角的余弦值；求兩個向量夾角的余弦值； (3)確定線面角與向量夾角的關系：向量夾角為銳

8、角確定線面角與向量夾角的關系：向量夾角為銳角時，線面角與這個夾角互余；向量夾角為鈍角時，線面角時，線面角與這個夾角互余；向量夾角為鈍角時，線面角等于這個夾角減去等于這個夾角減去90.二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內角的兩邊分別在兩個面內 以二面角的以二面角的棱上任意一點棱上任意一點為端點，為端點，在在兩個面內兩個面內分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 loab:0,范 圍

9、三、面面角：三、面面角：ll三、面面角：三、面面角：向量法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n關鍵：觀察二面角的范圍關鍵：觀察二面角的范圍 證明：以證明：以 為正交基底，為正交基底，建立空間直角坐標系如圖。則可得建立空間直角坐標系如圖。則可得1da dc dd 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)acmbo， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)mamcbo 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220bo mabo mc ，11bomabomc 所以 ，

10、 11bomabomcmamcc即 ， 。又1bomac所以平面 例例3.3.已知正方體已知正方體 的邊長為的邊長為2 2，o為為ac和和bd的交點，的交點，m為為 的中點的中點 （1 1）求證：）求證： 直線直線 面面mac; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111dcbaabcd1ddob11bma c b1a1 c1d1dcbaomxyz1bomac由知 平面 b1a1 c1d1dcbaomxyz1bomac所以是平面的一個法向量1(2 0 0)(0 01)(2 2 2)amb由， ， ， ，得1()b manxyz設平面的一個法向量為， ，1(2 01)(2 21

11、)mamb ， ， ， ，10020021-2220n man mbxzzxyxyz 所以，即 取 = 得 = ， =1(12 2)b man 所以平面的一個法向量為， ，1( 112)bo 且， ，11246cos669bo n ，166bmac所以二面角的余弦值為。由圖可知二面角為銳角由圖可知二面角為銳角悟一法悟一法 利用法向量求二面角的步驟利用法向量求二面角的步驟 (1)確定二個平面的法向量；確定二個平面的法向量； (2)求兩個法向量夾角的余弦值；求兩個法向量夾角的余弦值； (3)確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過圖形確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過圖形觀察觀察，法向量一般不能體現

12、法向量一般不能體現練 習：如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形oabc中，中，oabc，aoc=90，so面面oabc，且，且 os=oc=bc=1，oa=2。求：。求： 異面直線異面直線sa和和ob所成的角的余弦值，所成的角的余弦值， os與面與面sab所成角所成角的正弦值的正弦值 ， 二面角二面角baso的余弦值。的余弦值。則a（2，0，0）；于是我們有oabcs解：如圖建立直角坐標系，xyz=（2，0，-1）；sa=（-1，1，0）；ab=（1，1，0）；ob=（0，0，1）；osb（1，1，0）；s（0，0，1），c（0，1，0）； o（0，0，0）；020zxyx令x=1，則y=1，z=2；從而)2 , 1 , 1 (n36612,cossinnosnosnos（2）設面sab的法向量),(zyxn sanabn,顯然有oabcsxyzobsaobsaobsa,cos.510252.由知面sab的法向量 =（1，1，2） 1n又oc面aos，oc 是面aos的法向量，令)0 , 1 , 0(2ocn則有61