1、l第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)的概念及其基本性質(zhì)l第二節(jié) 數(shù)項級的斂散性l第三節(jié) 冪級數(shù)l第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開l第五節(jié) 傅里葉級數(shù)l第六節(jié) 周期為2 的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)l*第二十五章 無窮級數(shù) 和微分、積分一樣，無窮級數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)工具.本章包括常數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)兩部分，介紹無窮級數(shù)的一些基本內(nèi)容，并著重討論如何將函數(shù)展開成冪級數(shù)以及傅里葉級數(shù)的問題.一、數(shù)項級的概念,0.30.3,0.03,0.003,0.0003,在中學(xué)代數(shù)課中 學(xué)習(xí)過無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式,并用于化無限循環(huán)小數(shù)為分數(shù).如可認為是無窮多項的和 即0.310.3=0.3+0.03+0.003+1 0.13().(),

2、.這說明在實際中有時需要計算或研究無窮多數(shù) 項 的和對于這樣的無窮多數(shù) 項 和的表達式 定義如下1231231,nnnnu u uuuuuuu義 設(shè)為一給定的數(shù)列,則表達式:稱為數(shù)項無窮級數(shù),簡稱級數(shù).記作即定11231nnnuuuuu (25-1),nu式中稱為級數(shù)的項或項通一般.?,. 簡單地說 級數(shù)就是無窮多個數(shù)的和的式子,無窮多個數(shù)相加與有限個數(shù)相加有本質(zhì)的不同,有限個數(shù)相加總是有和的,但無窮多個數(shù)相加是否也有 和數(shù) 呢 為回答這個問題 給出以下定義,12311,:;,lim,.nnnnnnnnnunSuuuunnSSSSuS 義 對級數(shù)它的前 項之和稱為級數(shù)的前 項部分和 如果時 部

3、分和構(gòu)成的數(shù)列有極限即則稱級數(shù)收斂,并稱 級數(shù)的和于是 定21231nnnSuuuuu,nnS 如果時 部分和數(shù)列沒有極限 則稱級數(shù)發(fā)散,發(fā)散的級數(shù)無和.,nnSSS 由定義知,級數(shù)式(25-1)是否有和可以轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列是否有極限.當級數(shù)式(25-1)收斂時,可作為和數(shù) 的近似值 此時 稱121nnnnkk nrSSuuu 1(25 1)lim0nnnnur為級數(shù)式的項顯然級數(shù)收斂的充要條件是余.例1 討論等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)）12110,.nnnaqaaqaqaqaq的斂散性,其中是級數(shù)的公比21,1,(),;nnnSaaqaqaqqSnan 由于所以當時時 級數(shù)發(fā)散解0,1,0,;,n

4、nnqSaSa n為偶數(shù)當時因數(shù)列極限不存在 級數(shù)發(fā)散為奇數(shù)(1)| |1,.nqS當時,數(shù)列的極限不存在 級數(shù)發(fā)散,| |PPPnn=1=1當1時,收斂 當時發(fā)散返回2.1;nn 比值審斂法只需對一個正項級數(shù)的第 項與第項的比值求極限后根據(jù)極限值的特點進行判斷 而比較審斂法需要對兩個正項級數(shù)的通項首先進行比較,然后才能通過兩級數(shù)的斂散性相互判斷.返回3.運用萊布尼茨審斂法判斷交錯級數(shù)的斂散性.返回1.解:121limlim1 tantan22nnnnnnnn21111lim11.2222nnnnn.級數(shù)收斂返回2.解:1111nnnn1limlim0.nnnn交錯級數(shù)收斂且是條件收斂.返回0

5、0120,:nnnnaxxaa aa1.形如的級數(shù)稱為冪級數(shù) 其中為常數(shù)它有兩種表達形式0(1),nnnaxx=0一般形式為(2).nnna x=0特殊形式為返回2.其步驟通常為: ,;S x1求出冪級數(shù)的收斂域 設(shè)其和函數(shù)為 2nnnS xa x=0對等式找規(guī)律進行代數(shù)運算; 2.S x3 再進行 的上述運算的逆運算求出返回(:,(),)注 代數(shù)運算是指變量代換 求導(dǎo)或者積分 相加 減拆項等運算13.lim0,.nnnaa 當時它在內(nèi)收斂返回1.解:1,.nnyxn y y =1令則原級數(shù)化為收斂半徑為1,-11所以級數(shù)的收斂區(qū)間為 -2,0 返回2.解:21 1!1 !1 !nnnnnnn

6、nn =1=1=1011122 .2 !1 !nnnennn=2=1返回231.12!3!nxxxxexxn - ,+3521sin13!5!21 !nnxxxxxxn - ,+242cos112!4!2!nnxxxxxn - ,+返回 02.;f xxf xf xf xf xf xf x .不是.因為只要在 某一領(lǐng)域內(nèi)具各階導(dǎo)數(shù)總可以寫出的冪級數(shù) 不考慮是否收斂或是否收斂于而 把展開成冪級數(shù) 是指不僅的冪級數(shù)存在,而且它收斂于返回 3.近似計算、微分方程的冪級數(shù)解法、用冪級數(shù)表達函數(shù).返回1.解:lnxxaae0ln!nxnnaax xn -+返回2.解:1111113333 13313xx

7、xx 013133nnnx x 06返回1.因為正,余弦函數(shù)是我們熟悉的基本初等函數(shù)并且有較好的性質(zhì),所以能把函數(shù)展開成三角級數(shù)在很多問題上會化難為易比如物理學(xué)中用簡諧振動的迭加來研究較復(fù)雜的波形.返回 .f xf x 2.周期函數(shù)在區(qū)間 - ,上滿足狄利克雷條件時的傅里葉級數(shù)就成為傅里葉展開式返回 3.,.f x是根據(jù)的奇偶性 求出傅里葉級數(shù)確定的傅里葉系數(shù)再代公式返回1.解: f x是奇函數(shù)00,1,2nan 返回2.解: 00,1,2nf xan 將延拓成 - ,上的奇函數(shù),則 200221sincossin222nxxbnxdxnxnxnn1nNn 0,f xx延拓后,此時在處間斷故在 0,連續(xù) 即1sin0,2nxnxxn 1sin1000000,200,00.22nnxxffnff 在處收斂于其中返回 01cossin211.cos1sinnnnnan xn xf xabnn xaf xdxn=n xbf xdxn= 0,1,2 1,2返回 2.10,2n xinnn xinf xC eCf x edxn=- 1, 2返回1.解: 001122af x dxdx02cos0,nn xadxl