1、理論力學總結理論力學的內容核心：牛頓定律在工程中的應用mFa 力系簡化、受力分析、平衡問題解法; 運動的幾何理論、運動分析; 運動狀態變化與受力之間的關系.力學模型數學模型(方程)3內容已知運動(或平衡)，求力;已知力，求運動(加速度，速度，位移)。通過動量，動量矩，力等列方程；動靜法列方程；通過動能，勢能等列方程(拉格朗日方程)；剛體運動學。4動力學的基本方法牛頓定律動量定理動量矩定理動能定理達朗貝爾原理/動靜法虛位移原理拉格朗日方程矢量力學分析力學剛體運動分析剛體運動分析剛體一般運動剛體一般運動 平動平動 + + 轉動轉動剛體上力系簡化剛體上力系簡化剛體上力系剛體上力系 ( (作用于質心作

2、用于質心) )力力 + + 力偶力偶剛體一般運動的運動微分方程剛體一般運動的運動微分方程)(dtderiFMLced mdtcivF7剛體動力學問題的一種新解法。剛體動力學問題的一種新解法。動靜法動靜法 按達朗貝爾原理，將動力學問題化成靜力學問題，按達朗貝爾原理，將動力學問題化成靜力學問題，這種方法稱為這種方法稱為動靜法動靜法。質點系運動的每一瞬時有：質點系運動的每一瞬時有：11N1ININI, iiinnnF FFF FFF FF08cca剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化一、平移剛體慣性力系的簡化一、平移剛體慣性力系的簡化imiaI iFicaa平行力系平行力系簡化為過質心的合力：簡化為

3、過質心的合力：ccaIFIcm Fa簡化條件：簡化條件：無無9二、平面運動剛體慣性力系的簡化二、平面運動剛體慣性力系的簡化簡化條件：簡化條件：剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面慣性力向質心簡化：慣性力向質心簡化：IRIII11()nnicciciimJ cFFaMMF1IIIIRI,incFFFFMcaimirctcianciacaimirctcianciacacIRFIcM10A三、定軸轉動剛體慣性力系的簡化三、定軸轉動剛體慣性力系的簡化簡化條件：簡化條件：剛體有質量對稱面，轉動軸垂直于質量對稱面剛體有質量對稱面，轉動軸垂直于質量對稱面1. 向質心C簡化

4、：cacIRFIcM2. 向轉軸點A簡化：cacIRFAIAMIRIII11,()nnicciciimJ cFFa MMFIRIIAI11,()nnicAiAiimJ FFa MMF11四、定軸轉動剛體慣性力系的簡化)(,iiiiiiizyxrrakjir CiimmaaFFi)(IIR將主矢和主矩在隨體坐標軸上投影將主矢和主矩在隨體坐標軸上投影)()(IIoiiiarFrMiim0)()(I2I2IzccyccxFyxmFyxmFzzyzxzyyzxzxJMJJMJJMI2I2Iccyx ,質心坐標質心坐標iiiyziiixzzymJzxmJ剛體對剛體對xy軸和軸和yz軸的慣性積軸的慣性積I

5、RFIoMxyzo簡化條件：簡化條件：無無12五、一般運動剛體慣性力系的簡化與動量矩做比較：與動量矩做比較：()iCCCiiaarr將慣性力系向質心簡化將慣性力系向質心簡化IoI()()CiCim iiiMrFra()()CiCCiCiCmmm iiiirarrrIRI()iiCmm iFFaaCiCm iirr oiomiiLrrJC J()CiCm iirr()()iCCCCm iiiirr rr2()CiCiCmm iiir rr()iCCm ii rr13五、一般運動剛體慣性力系的簡化將慣性力系向質心簡化將慣性力系向質心簡化IoI()()CiCim iiiMrFra()()CiCCiC

6、iCmmm iiiirarrrIRI()iiCmm iFFaaCiCm iirrC J()CiCm iirr()()iCCCCm iiiirr rr2()CiCiCmm iiir rr()iCCm ii rr()CiCm iirrC JICCC MJJ簡化條件：簡化條件：無無一般運動剛體慣性力系的簡化將慣性力系向質心簡化將慣性力系向質心簡化ICCC MJJIRCm FacaIRFIcMC剛體一般運動的運動微分方程剛體一般運動的運動微分方程ed mdtcivFred()dticLM Fe()CimaM F投影到定系：投影到動系：edmmdtccivvF投影到動系：rred()dticcLLM F

7、其中 為動系的角速度。16作用于剛體上力偶的元功作用于剛體上力偶的元功ABAFBFAABBWddFrFrAABddFrrAABdtFvvBArABAdtFrBAAdtrFdtM dM一般運動剛體對固定點的動量矩一般運動剛體對固定點的動量矩rCoCCmLrvLCCCmrvJ剛體動力學剛體動力學動力學普遍定理動力學普遍定理動靜法動靜法ccaIF平移剛體慣性力平移剛體慣性力平移剛體平移剛體(等同質點等同質點)Icm FaccacmaF條件：條件：無無剛體動力學剛體動力學動力學普遍定理動力學普遍定理動靜法動靜法平面運動剛體慣性力平面運動剛體慣性力平面運動剛體運動方程平面運動剛體運動方程Icm Facc

8、acmaF條件：條件：剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面cacIRFIcMIccJ M()cCJMF剛體動力學剛體動力學動力學普遍定理動力學普遍定理動靜法動靜法定軸轉動剛體慣性力定軸轉動剛體慣性力剛體定軸轉動微分方程剛體定軸轉動微分方程0)()(I2I2IzccyccxFyxmFyxmFzzyzxzyyzxzxJMJJMJJMI2I2I()zzJMF條件：條件：無無剛體動力學剛體動力學一般運動剛體慣性力一般運動剛體慣性力剛體運動微分方程剛體運動微分方程ICCC MJJIcm FacaIRFIcMCcmaF()CCCddtMJJF條件：條件：無無例例: (題

9、題8-14)圖示光滑，已知圖示光滑，已知F，求，求M。方法一：動靜法方法一：動靜法方法二：動靜法方法二：動靜法+虛位移虛位移方法三：拉格朗日方程方法三：拉格朗日方程方法四：動能定理方法四：動能定理 (微分形式微分形式)mgmg2mg2rr已知運動，求力已知運動，求力2rr運動分析：運動分析：20Aar20Aar02tBAar20tan30Bar2Ba200tan300.5Aa0.5Ba例：例：在同一鉛垂面內運動的兩個相同的均質桿在同一鉛垂面內運動的兩個相同的均質桿OA和和AB用鉸鏈用鉸鏈O和和A連接，如圖所示。各桿長為連接，如圖所示。各桿長為l，由水平，由水平位置無初速釋放，求釋放的初瞬時兩桿

10、的角加速度。位置無初速釋放，求釋放的初瞬時兩桿的角加速度。 已知力，求運動。已知力，求運動。OAAB例：例：對于具有定常約束的質點系，其動能可以表示成對于具有定常約束的質點系，其動能可以表示成_。 210:;ATTTT2:;BTT21:;CTTT10:DTTT其中：其中： 為廣義速度的為廣義速度的 i 次齊函數次齊函數( i =0,1,2)。iT 例：例：對于具有定常約束的質點系，其動能可以表示成對于具有定常約束的質點系，其動能可以表示成_的函數。的函數。 A：廣義速度；：廣義速度；B：廣義坐標；：廣義坐標；C：時間：時間 t 。 例：例：第二類拉格朗日方程用于研究具有第二類拉格朗日方程用于研

11、究具有_ 質點系的力學問題。質點系的力學問題。A：完整約束；：完整約束；B：定常約束；：定常約束；C：非完整約束；：非完整約束； D：非定常約束。：非定常約束。 27例：例：確定一個正方體在空間的位置需要確定一個正方體在空間的位置需要_ 個獨立的參數。個獨立的參數。 A：3；B：4；C：5；D：6。 28例：例：不論剛體作什么運動，剛體上任意兩點的速度在不論剛體作什么運動，剛體上任意兩點的速度在兩點連線上的投影兩點連線上的投影_。 A：一定相等；：一定相等；B：一定不相等；：一定不相等；C：不一定相等。：不一定相等。 例：例：如圖所示，圓盤以勻角速度如圖所示，圓盤以勻角速度 繞繞CD軸轉動，框

12、軸轉動，框架以勻角速度架以勻角速度 繞鉛垂軸轉動。則該定點運動圓盤角繞鉛垂軸轉動。則該定點運動圓盤角速度的大小速度的大小 =_(方向畫在圖上方向畫在圖上)，角加速，角加速度的大小度的大小 =_(方向畫在圖上方向畫在圖上)。1z29221z1zz130例：例：如圖所示，圓柱固連在水平軸如圖所示，圓柱固連在水平軸 上，并以勻角上，并以勻角速度速度 繞該軸轉動，同時框架以勻角速度繞該軸轉動，同時框架以勻角速度 繞鉛垂軸繞鉛垂軸CO轉動。其中：轉動。其中：x,y,z是圓柱上關于是圓柱上關于 點的三個相互點的三個相互垂直的慣量主軸，且圓柱對這三根軸的轉動慣量分別垂直的慣量主軸，且圓柱對這三根軸的轉動慣量

13、分別為為 。則該瞬時圓柱對。則該瞬時圓柱對 點的動量矩：點的動量矩：12OO3O3O,xyzJJJ x z y xJ3_ _ _OLijkcoszJsinyJ31例：例：如圖所示，圓盤相對正方形框架如圖所示，圓盤相對正方形框架ABCD以勻角速度以勻角速度每分鐘繞每分鐘繞BC軸轉動軸轉動2周，正方形框架以勻角速度每分鐘周，正方形框架以勻角速度每分鐘 繞繞AB軸轉動軸轉動2周。求該圓盤的動能及對周。求該圓盤的動能及對B點的動量矩。點的動量矩。 2 2rad/s602 2rad/s60=45=0212zJmR221()42xyBCJJmRm32BexeyzzJJJLijk,sin sincossin

14、 cossincosxyz2221()2xyzxyzTJJJ x y z,02 2sinsin602 22 2coscos6060 xyz331noBScr12rad/s60n=常數常數2310zJmr22233(4)()804xyJJmrlml例：例：圖示陀螺以勻角速度圖示陀螺以勻角速度 繞繞OB軸轉動，而軸軸轉動，而軸OB又勻又勻速地劃出一圓錐。如果陀螺中心軸速地劃出一圓錐。如果陀螺中心軸OB的轉速為的轉速為n， BOS= =const，求陀螺的動能及對求陀螺的動能及對O點的動量矩。點的動量矩。 12221()2xyzxyzTJJJ=0l34,sin sincossin cossincos

15、xyzOexeyzzJJJLijk1noBScrmg從動力學角度，從動力學角度，三者不獨立。三者不獨立。1,n 35例：例：如圖所示，正方形框架以勻角速度如圖所示，正方形框架以勻角速度 繞水平軸繞水平軸AB轉動，質量為轉動，質量為m半徑為半徑為R的均質圓盤的均質圓盤M以勻角速度以勻角速度 繞繞正方形框架上的正方形框架上的CD軸轉動。且軸轉動。且 ，CD軸到軸承軸到軸承A、B的距離皆為的距離皆為l。若正方形框架和軸。若正方形框架和軸AB的質量不計，求框的質量不計，求框架運動到鉛垂平面內時，圓盤產生的陀螺力矩的大架運動到鉛垂平面內時，圓盤產生的陀螺力矩的大小小 ；以及作用在軸承上的約束力的大小；以

16、及作用在軸承上的約束力的大小 。 =_； =_。00gMgMAFAFAF2012gMMR201142AFMRMgl36例：例：如圖所示，定點運動的圓錐在水平固定圓盤上純如圖所示，定點運動的圓錐在水平固定圓盤上純滾動。若滾動。若圓錐底面中心點圓錐底面中心點D作作勻速圓周運動，則該圓錐勻速圓周運動，則該圓錐的角速度矢量的角速度矢量 與與角加速度矢量角加速度矢量 的關系是的關系是_ 。A： 平行于平行于 ；B： 垂直于垂直于 ； C： 為零矢量為零矢量；D： 為非零矢量為非零矢量。37例：例：如圖所示，具有固定點如圖所示，具有固定點A的圓錐在固定的圓盤上純的圓錐在固定的圓盤上純滾動，圓錐的頂角為滾動

17、，圓錐的頂角為90 ，母線長為，母線長為L，已知圓錐底面，已知圓錐底面中心點中心點D作作勻速圓周運動，其速度為勻速圓周運動，其速度為v，方向垂直平面，方向垂直平面ABC向外。求圓錐的角速度向外。求圓錐的角速度 、角加速度、角加速度 和圓錐底面和圓錐底面上最高點上最高點B的加速度的加速度 的大小。的大小。 =_ ， =_， =_。BaBa38例：例：如圖所示，圓盤相對正方形框架如圖所示，圓盤相對正方形框架ABCD以勻角速度以勻角速度 繞繞BC軸轉動，正方形框架以勻角速度軸轉動，正方形框架以勻角速度 繞繞AB軸軸轉動。求該圓盤的絕對角速度轉動。求該圓盤的絕對角速度 的大小和絕對角加速度的大小和絕對

18、角加速度 的大小。的大小。 =_； =_。00239例：例：如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的圓盤以勻角速度的圓盤以勻角速度 繞繞框架上的框架上的CD軸轉動，框架以勻角速度軸轉動，框架以勻角速度 繞鉛垂軸繞鉛垂軸AB轉動。求：圓盤在圖示位置的最高點速度的大小轉動。求：圓盤在圖示位置的最高點速度的大小v，該點的向軸加速度的大小該點的向軸加速度的大小 和轉動加速度的大小和轉動加速度的大小 。 v =_; =_； =_。1zNaNaRaRa40Cmg例：例：如圖所示，已知質量為如圖所示，已知質量為m的定點運動陀螺做規則進的定點運動陀螺做規則進動動( 0為常量為常量)，其質心，其質心C到球鉸鏈到球鉸鏈O的距離為的距離為L，該陀，該陀螺對質量對稱軸螺對質量對稱軸z的轉動慣量為的轉動慣量為J，且以，且以 繞繞 z 軸高速旋軸高速旋轉，轉，z 軸與軸與 軸的夾角為軸的夾角為 。求：求：陀螺的進動角速度陀螺的進動角速度 、鉸鏈、鉸鏈 O 的約束力在鉛垂方向的分的約束力在鉛垂方向的分量量 和水平方向的分量和水平方向的分量 F 的大小。的大小。要求：畫出