1、高考數學總復習測評最新第二節第二節 排列組合排列組合基礎梳理基礎梳理排列與排列數 組合與組合數定義1. 排列的概念：從n個不同的元素中取出m（mn）個元素, ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2. 排列數的概念：從n個不同元素中取出m（mn）個元素的 ,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Amn表示.3. n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，即 ， 稱為n的 ,通常用n!表示.1. 組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個不同元素 ，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的一個組合.2. 組合數的概念：從n個不同元素中取出m(mn)個

2、元素的 ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數,用符號Cmn表示.按照一定的順序排成一列所有排列的個數階乘nnAnnA并成一組所有組合的個數高考數學總復習測評最新典例分析典例分析題型一題型一 排除法排除法【例1】從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有種.分析 逆向思考，“這3人中至少有1名女生”的否定為“這3人中沒有女生”.解 全部方案有 種，減去只選派男生的方案數 ，合理的選派方案共有 - =186(種).37A37A34A34A高考數學總復習測評最新學后反思 關于“至少”類型組合問題，用間接法較方便.即用總的方案數減去“至少”的

3、否定的方案數.同時要注意：“至少一個”的否定為“一個沒有”;“至多一個”的否定為“至少兩個”;“至少N個”的否定為“至多N-1個”;“至多N個”的否定為“至少N+1個”.舉一反三舉一反三1. (2009全國改編)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有種.答案： 30解析： 間接法: (種).22244430CCC高考數學總復習測評最新題型二題型二 基本排列問題基本排列問題【例2】從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員,則不同的選法共有種（用數字作答）.學后反思 解決某些特殊元素不能排在某些特

4、殊位置的排列問題，主要方法是將這些特殊元素排在其他位置，或將其他非特殊元素排在這些特殊位置來進行解決.分析 先選甲、乙以外的人擔任文娛委員，然后再選其他委員.解先從其余3人中選出1人擔任文娛委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員， =343=36(種).1234A A高考數學總復習測評最新舉一反三舉一反三2. （2008全國改編）如圖，一環形花壇分成A,B,C,D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為 .答案： 84解析： 分三類：種兩種花有2 種種法；種三種花有2 種種法；種四種花有 種種法.共有 +2 + =84（種）.24C

5、34A44A24A34A44A高考數學總復習測評最新題型三題型三 有限制條件的排列有限制條件的排列【例3】有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；（2）甲、乙兩人必須排在兩端；（3）男、女生分別排在一起；（4）男女相間.分析 這是一個排列問題，一般情況下，我們會從受到限制的特殊元素開始考慮，有時也從特殊的位置討論起.對于相鄰問題，常用“捆綁法”；對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）；對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考慮）.高考數學總復習測評最新解 （1）方法一（元素分析法）：先排甲有6種，

6、其余有A88種，故共有6 =241 920(種)排法.方法二（位置分析法）：中間和兩端有 種排法，包括甲在內的其余6人有 種排法，故共有 =336720=241920(種)排法.方法三（間接法）： -3 =6 =241920(種).（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有 =10 080(種)排法.（3）（捆綁法） =5 760(種).（4）（插空法）先排4名男生有 (種)方法，再將5名女生插空，有A55種方法，故共有 =2 880（種)排法.88A38A66A3686AA99A88A88A2727A A245245A A A44A4545A A高考數學總復習測評最新學后反思 本題集排列的多種類型

7、于一題，充分體現了元素分析法（優先考慮特殊元素）、位置分析法（優先考慮特殊位置）、直接法、間接法（排除法）、捆綁法、等機會法、插空法等常見的解題思路.舉一反三舉一反三3. (2007全國改編)從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有種.高考數學總復習測評最新答案： 60解析： 星期五有2人參加，則從5人中選2人的組合數為 ，星期六和星期天從剩余的3人中選2人進行排列，有 種，則共有 =60(種).25C23A2253CA題型四題型四 基本組合問題基本組合問題【例4】（14分）有男運動員6名，女

8、運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5名外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1名參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.高考數學總復習測評最新分析 （1）分步.（2）可分類也可用間接法.（3）可分類也可用間接法.（4）分類.解 （1）第一步：選3名男運動員，有 種選法.第二步：選2名女運動員，有 種選法.共有 =120(種)選法3（2）方法一：“至少有1名女運動員”包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4由分類加法計數原理可得總選法數為： (種).6方法二：“至少有1名女運動員”的反面為“全

9、是男運動員”,故可用間接法求解.24C3466CC1423324146464646264C CC CC CC C36C高考數學總復習測評最新從10人中任選5人有 種選法，其中全是男運動員的選法有 種.4所以“至少有1名女運動員”的選法為 - =246(種).6(3)方法一(可分類求解):“只有男隊長”的選法為 ;“只有女隊長”的選法為 8“男、女隊長都入選”的選法為 .所以共有2 + =196(種)選法.10方法二(間接法)：從10人中任選5人有 種選法.8其中不選隊長的方法有 種.所以“至少有1名隊長”的選法為 - =196(種)10510C56C510C56C48C48C38C38C48C

10、510C58C510C58C高考數學總復習測評最新學后反思 解組合題時，常遇到至多、至少問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運算量.當限制條件較多時，要恰當分類，逐一滿足.（4）當有女隊長時，其他人選任意，共有 種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有 種選法.其中不含女運動員的選法有 種，所以不選女隊長時的選法共有 - 種選法13所以既有隊長又有女運動員的選法共有 + - =191(種)1449C48C45C48C45C49C48C45C高考數學總復習測評最新舉一反三舉一反三4. (2009遼寧改編)從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則

11、不同的組隊方案共有種.答案： 70解析： 直接法：一男兩女，有 =56=30(種);兩男一女,有 =104=40(種)，共計70種.間接法：任意選取C39=84(種)，其中都是男醫生有 =10(種)，都是女醫生有 =4(種)，于是符合條件的有84-10-4=70(種).1254C C2154C C35C34C高考數學總復習測評最新易錯警示易錯警示【例】有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？錯解分析 錯解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.錯解 因為是8個小球的全排列，所以共有 種方法.88A正

12、解 8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有 =56(種)排法.38C高考數學總復習測評最新考點演練考點演練10. (2009湖北改編)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，求不同分法的種數.解析： 用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是 ,順序有 種，而甲、乙被分在同一個班有A33種，所以不同分法有 (種).23343330C AA33A24C高考數學總復習測評最新11. （1）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解析： （1）從5本不同書中選出3本分別是送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同的送法的種數是 =543=60.(2)由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學每人各1本書的不同方法種數是555=125.35A高考數學總復習測評最新12. 某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三種競賽，要求