1、第六章 變異指標統計學statistics高等學校應用型特色規劃教材清華大學出版社第一節 變異指標的基本理論第二節 全距、分位差和平均差第三節 標準差和標準差系數 【學習目標】通過本章的學習和習題演算，掌握變異指標的意義和作用；標準差和標準差系數的計算和應用。了解變異指標的分布特性；極差、平均差和四分位差的概念、計算公式和特點；分布的偏度與峰度。第四節 偏度和峰度第五節 變異指標的應用 第六章 變異指標 一、離種趨勢的涵義第六章 變異指標第一節 變異指標的基本理論指總體中各單位標志值背離分布中心的規模或程度，用標志變異指標來反映。離中趨勢反映統計數據差異程度的綜合指標，也稱為標志變動度變異指標

2、值越大，平均指標的代表性越小；反之，平均指標的代表性越大 二、變異指標的作用第六章 變異指標第一節 變異指標的基本理論衡量和比較平均數代表性的大??；是進行質量控制的基礎；是衡量風險程度的尺度。 例如：某車間有兩個生產小組，各有7名工人，各人日產量如下:甲組：20，40，60，70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73第六章 變異指標第一節 變異指標的基本理論第六章 變異指標第一節 變異指標的基本理論503020100乙廠343432100甲廠鋼廠3月2月1月季度總供貨計劃執行結果供貨計劃完成百分比(%)【專欄61】 國家統計局日前發布的報告稱，與2005年的工資數

3、據相比，2006年全國城鎮單位在崗職工的年平均工資增加了2596元，日平均工資增加了10.36元。（中國證券報3月26日）溫家寶總理在十屆全國人大五次會議記者招待會上曾說：“一個艦隊決定它速度快慢的不是那個航行最快的船只，而是那個最慢的船只。”同樣，決定全國城鎮單位在崗職工工資整體發展速度的是廣大低收入者的增長情況。 別把平均指標看得過重 第六章 變異指標【專欄61】目前，雖然過去15年中，中國居民工資性收入穩步增長，但收入差距的擴大，已成為工資分配中的突出問題。1月31日，國家發改委官方網站公布系列收入分配報告顯示，19902005年，城鄉居民的工資性收入在居民總收入中所占的比重從45.3%

4、逐步提高到63.2%.但也就在這一時期，平均貨幣工資收入最高最低行業之比由1.761擴大為4.881。如果我們不注重行業間的收入差距過大問題，不采取措施彌補這種差距，而是任其擴大，一味追求平均指標的增長，那就無助于“整個社會的生活狀況”的改善，因為一個艦隊的速度，取決于那個最慢的船只。 別把平均指標看得過重 第六章 變異指標第六章 變異指標第一節 變異指標的基本理論二、變異指標的種類以標志值之間相互比較說明變異情況 以平均數為比較標準來說明標志的變異情況 以正態分布為標準說明分配數列偏離情況的指標 平均差標準差平均差系數標準差系數方差峰度偏度全距分位差第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異

5、指標指所研究的數據中，最大值與最小值之差，又稱極差。一、全距最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則一、全距第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標一、全距【例B】某季度某工業公司18個工業企業產值計劃完成情況如下：18 2 310 3企業數（個） 85 95105115組中值（）24 900合計 800 2 500 17 200 4 40090以下90100100110110以上計劃產值（萬元）計劃完成程度（）第二

6、節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標一、全距缺點:僅取決于兩個極端值的水平，不 能反映其間的變量分布情況；受個別極端值的影響過于顯著， 不符合穩健性和耐抗性的要求。全距的特點優點:計算方法簡單、易懂；第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標二、分位差從變量數列中，剔除了一部分極端值后計算的類似于極差的指標。四分位差十六分位差十分位差八分位差三十二分位差百分位差上四分位數下四分位數第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差 簡單平均差適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的離差絕對值的算術平均數，用 表示。計算公式：總體算術平均數總體單位總數第 個單位的變量值第二節

7、全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元。第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差 加權平均差適用于分組資料總體算術平均數第 組變量值出現的次數第 組的變量值或組中值第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差【例B】計算下表中某公司職工月工資的平均差。2 000208314382456305237 78 20職工人數（人）250350450550650750850950組中值（元）合計30

8、0以下300400400500500600600700700800800900900以上月工資（元）第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元。第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差優點:不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，不便于作數學處理和參與統計分析運算。平均差的特點第二節 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標三、平均差平均差系數第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標 簡單標準差適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的

9、離差平方的算術平均數的開平方根，用 來表示；標準差的平方又叫作方差，用 來表示。標準差計算公式：總體單位總數第 個單位的變量值總體算術平均數第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標準差。解：第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標標準差 加權標準差適用于分組資料總體算術平均數第 組變量值出現的次數第 組的變量值或組中值第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標【例B】計算下表中某公司職工月工資的標準差。2 000 208 314 382 456 305 237 78 20職工

10、人數（人）250350450550650750850950組中值（元）合計300以下300400400500500600600700700800800900900以上月工資（元）第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標解：（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標準差為167.9元。第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標由同一資料計算的標準差的結果一般要略大于平均差。證明：當a,b,c0時，有 標準差的特點不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，可方便地用于數學處理和統計分析運算.第三節 標準

11、差和標準差系數第六章 變異指標簡單標準差加權標準差標準差的簡捷計算避免離差平方和計算過程的出現目的:變量值平方的平均數變量值平均數的平方第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標可比變異系數指標第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數可以相互比較可比第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標標準差系數用來對比不同水平的同類現象，特別是不同類現象總體平均數代表性的大小標準差系數小的總體，其平均數的代表性大；反之，亦然。應用:第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標【例】某年級一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標準差分別為

12、15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。解：二班成績的標準差系數為：因為 ，所以一班平均成績的代表性比二班大。第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標是非標志總體合計10具有某一屬性不具有某一屬性變量值單位數分組為研究是非標志總體的數量特征，令指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現形式的標志，又叫交替標志是非標志第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標是非標志總體的指標具有某種標志表現的單位數所占的成數不具有某種標志表現的單位數所占的成數指是非標志總體中具有某種表現或不具有某種表現的單位數占全部總體單位總數的比重。成數第三節 標準差和標準差系數第六章 變

13、異指標是非標志總體的指標均值標準差第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標是非標志總體的指標方差標準差系數第三節 標準差和標準差系數第六章 變異指標是非標志總體的指標【例】某廠某月份生產了400件產品，其中合格品380件，不合格品20件。求產品質量分布的集中趨勢與離中趨勢。解：概 念 計 算 特 點數列中最大值與最小值之差1極差 （R）R=最大值-最小值優點：容易理解， 計算方便缺點：不能反映全部數據分布狀況2平均差 （A.D）各標志值與均值離差絕對值的算術平均簡單：加權：優點：反映全部數據分布狀況缺點：取絕對值 ,數字上 不盡合理第六章 變異指標概 念 計 算 特 點各標志值與均值離差平方

14、的平均。方差的平方根（取正根）3方差（2） 和 標準差()優點：反映全部數據分布狀況，數字上合理。缺點：受計量單位和平均水平影響，不便于比較4標準差系 數 （V）標準差與均值之商，是無量綱的系數簡單：加權：優點：適宜不同數據集的比較缺點：對數據結構變化反應不靈敏第六章 變異指標分布的矩1.矩的基本形式第i個變量常數權數第六章 變異指標第六章 變異指標第四節 偏度與峰度原點矩中心矩未分組資料分組資料未分組資料分組資料第六章 變異指標(對稱分布)正偏態分布（右）負偏態分布(左）1.平均數與眾數比較法第六章 變異指標2.矩法 (m3三階中心矩) 定義M=(X-A)k/n為變量X關于A的k階矩。 當A

15、=0，即以原點為中心，上式稱為“K階原點矩”。K=1，2，3時，有：一階原點矩1=(X-0)1/n=X/n二階原點矩2=(X-0)2/n=X2/n三階原點矩3=(X-0)3/n=X3/n第六章 變異指標2.矩法 當A= ，即以 為中心，上式稱為“K階中心矩”。K=1，2，3時，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩第六章 變異指標K=1，2，3時，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩 所以，3可以測定偏度。為消除量綱，轉變為系數，再除以3。<0負偏態=0對稱分布>0正偏態< 0 0 > 0第六章 變異指標測定分布的偏度(對稱分布)正偏態分布（右）負偏態分布(左）3.分位數法不

16、同分布情形下諸四分位數之間的關系第六章 變異指標3.分位數法由上頁圖可知，當公布為對稱時，中位數與上、下四分位數的距離相等地；當分布為正偏時，中位數與上四分位數的距離大于它與下四分位數的距離；當分布為負偏時，中位數與上四分位數的距離小于它與下四分位數的距離，因此，中位數與上、下四分位數的距離之差可以反映偏斜方向。第六章 變異指標測定分布的偏度3.分位數法0 分布為正偏0 分布為負偏=0 分布為對稱優點：可以排除極端值的干擾缺點：由于從分布中剔除了兩端各四分之一的數據，故只能反映中間半數總體單位的分布形態特征。為減少數據損失，可采用更高程度的分位數，按類似方式定義偏度指標。第六章 變異指標1.矩

17、法測定分布的峰度0 分布為高峰度的0 分布為低峰度的=0 分布為正態峰度的第六章 變異指標第六章 變異指標2.分位數法觀察表明，此式計算的結果數值越小，分布圖形越陡峭；反之，數值越大，分布圖形越平坦。且在理論上可證明，對于正態分布，這樣計算的結果總是0.526，故可定義相應的峰度指標為：第五節 變異指標的應用2. 總方差與組方差相結合 3. 偏度、峰度與公差相結合 1. 平均指標與變異指標相結合第六章 變異指標本章小結：（1）平均指標描述的是總體的集中趨勢，而標志變異指標描述的是總體的離中趨勢。它們從兩方面來反映總體的分布特征。其作用首先是衡量平均指標代表性大小的一種尺度，其次還可以反映社會經

18、濟活動過程的均衡性與協調性。 （2）全距、四分位差、平均差與標準差在反映標志變異程度方面各有優缺點。方差()和標準差()是應用最廣的標志變異指標。標準差與標準差系數是反映標志差異程度的主要指標。它比前面介紹的其它指標都科學。標準差就是標志值與其算術平均數離差的平方的算術平均數的平方根。 第六章 變異指標本章小結：（3）為了對比和分析不同平均水平總體的標志差異程度，就需要使用標準差系數。標準差系數是標準差與其算術平均數之比，它既消除了變量數列水平的影響，是反映標志差異程度方面目前最科學的統計指標之一。（4）要掌握是非標志的平均數與標準差的計算。是非標志的最大值是0.25。 第六章 變異指標復習思

19、考題1. 如何理解標志變異指標是衡量平均數代表性大小的尺度？2. 全距、平均差和標準差各有什么特點？3. 為什么說標準差是各種標志變異指標中最常用的指標？4. 什么是標準差系數，計算標準差系數有何意義？5. 標志變異指標與平均數有何關系？6. 在何種情況下，只需計算標準差而不必計算標志變異系數，就可以比較出不同資料的平均數代表性的大小，為什么？ 7. 某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元。試計算全距。 第六章 變異指標復習思考題 第六章 變異指標8. 已知某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。9. 某車