1、1第三章第三章 功率譜估計功率譜估計2引言引言l作用作用：功率譜起著類似于頻譜的作用：功率譜起著類似于頻譜的作用 l應用應用：遍及通信、噪聲監測、信號檢測與估計、：遍及通信、噪聲監測、信號檢測與估計、模式識別、振動分析等領域模式識別、振動分析等領域 l出發點出發點：觀測數據：觀測數據l理論基礎理論基礎：平穩隨機過程的自相關函數與功率譜：平穩隨機過程的自相關函數與功率譜密度之間存在傅立葉變換關系密度之間存在傅立葉變換關系l注意注意：隨機信號不能直接進行傅立葉變換：隨機信號不能直接進行傅立葉變換l3.1 3.1 經典譜估計經典譜估計l3.2 3.2 AR模型功率譜估計的方法和性質模型功率譜估計的方

2、法和性質l3.3 3.3 最大熵譜估計方法最大熵譜估計方法l3.4 3.4 最大似然譜估計最大似然譜估計l3.5 3.5 特征譜估計？特征譜估計？343.1 3.1 經典譜估計經典譜估計l經典譜估計認為截取數據窗外的數據為周期重復經典譜估計認為截取數據窗外的數據為周期重復 ( (周期圖法周期圖法) )或是為或是為 0 (0 (相關法相關法) )l現代譜估計現代譜估計l以參數模型為基礎，把隨機序列看成是一個具以參數模型為基礎，把隨機序列看成是一個具有特定參數和結果的信源模型發出的。有特定參數和結果的信源模型發出的。5經典譜估計概述經典譜估計概述 v基本思想基本思想：以傅立葉變換為基礎，附以平均、

3、加窗、平滑：以傅立葉變換為基礎，附以平均、加窗、平滑等預處理或后處理等預處理或后處理v優缺點優缺點 優點優點：簡單易行、計算效率高：簡單易行、計算效率高 缺點缺點：分辨率低、旁瓣效應，數據短時缺點更突出：分辨率低、旁瓣效應，數據短時缺點更突出v適用范圍適用范圍：長數據：長數據v主要方法主要方法：BT法、周期圖法法、周期圖法 v相互關系相互關系 二者存在聯系，均采用加窗來改善特性二者存在聯系，均采用加窗來改善特性 FFT的出現使二者獲得新生，并引入細化的出現使二者獲得新生，并引入細化FFT 都存在致命缺點：分辨率低都存在致命缺點：分辨率低6B-TB-T法（間接法）法（間接法）l具體步驟：具體步驟

4、：l（1）從無限長隨機序列）從無限長隨機序列x(n)中截取長度中截取長度N的有限長序列的有限長序列xN(n)。l（2）由）由N長序列長序列xN(n)求求(2M-1)點的自相關函數序列點的自相關函數序列 。即即 是雙邊序列。是雙邊序列。 l（3）由相關函數的傅氏變換求功率譜。即）由相關函數的傅氏變換求功率譜。即 ( )xR m101( )( )()NxNNnR mx n x n mN(1), 1,0,(1)mMM ()xRmMN1(1)()( )MjwjwmxxMMS eR m el7( )xR m8l周期圖法又稱直接法，它是從隨機信號周期圖法又稱直接法，它是從隨機信號x(n)中截取中截取N長的

5、一段，長的一段，把它視為能量有限信號，直接取把它視為能量有限信號，直接取xN(n)的傅氏變換，得到頻譜的傅氏變換，得到頻譜XN(k)，然后再取其幅值的平方，并除以，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為對，作為對x(n)真實功真實功率譜率譜Sx(ejw)的估計的估計 的抽樣的抽樣 。l周期圖法包含了二條假設：周期圖法包含了二條假設：l1. 認為隨機序列是廣義平穩且各態遍歷的，可以用其一個樣本認為隨機序列是廣義平穩且各態遍歷的，可以用其一個樣本x(n)中的一段中的一段xN(n)來估計該隨機序列的功率譜。這必然帶來誤來估計該隨機序列的功率譜。這必然帶來誤差。差。l2. 由于對由于對xN(n)采用采用

6、DFT，就默認，就默認xN(n)在時域是周期的，以及在時域是周期的，以及XN(k)在頻域是周期的。這種方法把隨機序列樣本在頻域是周期的。這種方法把隨機序列樣本x(n)看成是截看成是截得一段得一段xN(n)的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。l有偏估計有偏估計,需要用窗函數對周期圖平滑需要用窗函數對周期圖平滑()jwxS e( )xS k9lB-T法：法：1.當當 對固定的延遲對固定的延遲 ， 是是 的一致估計。的一致估計。2.矩形窗時，矩形窗時， 是是 的有偏估計。但對于滿足一定的有偏估計。但對于滿足一定條件的窗比如三角窗且條件的窗比如三角窗

7、且 時，時， 趨于無偏。趨于無偏。3. MN 時，時， 的方差較小，當的方差較小，當M=N時，方差相對較大。時，方差相對較大。4. 不是不是 的一致估計。的一致估計。l周期圖法：周期圖法：1.當當N有限長時有限長時 是有偏的，當是有偏的，當 時，時， 是無偏的是無偏的，這種情況叫漸進無偏。，這種情況叫漸進無偏。2.當當 時，時， 的方差趨于的方差趨于 ，總大于等于，總大于等于 估值均值估值均值的平方。的平方。3. 不是不是 的一致估計。的一致估計。 N ( )xR m(m )XR()jwxS e(e )jwXSN()jwxS e()jwxSe()jwxS e(e )jwXS()jwxS eN(

8、)jwxS eN( )xS k4x( )xS k( )xSk( )xS k10lB-T法和周期圖法都不是法和周期圖法都不是Sx(ejw)的一致估計，主要問題是的一致估計，主要問題是頻率分辨率和譜估計穩定性之間矛盾。改進方法：主要的頻率分辨率和譜估計穩定性之間矛盾。改進方法：主要的途徑有改善窗口形狀、平均和平滑。途徑有改善窗口形狀、平均和平滑。l相關法的兩次截斷就是兩次加矩形窗，這將造成相關法的兩次截斷就是兩次加矩形窗，這將造成泄漏效應泄漏效應。影響到分辨率和方差。為了減少泄漏和提高譜估計的分辨影響到分辨率和方差。為了減少泄漏和提高譜估計的分辨率，改善窗的形狀是必要的。對窗函數譜的總的要求是希率

9、，改善窗的形狀是必要的。對窗函數譜的總的要求是希望它的主瓣盡可能窄以改善分辨力，旁瓣盡可能小以減少望它的主瓣盡可能窄以改善分辨力，旁瓣盡可能小以減少能量外泄、改善方差。但實現時兩者往往是矛盾的，任何能量外泄、改善方差。但實現時兩者往往是矛盾的，任何減小旁瓣的努力都要以犧牲主瓣寬度為代價，兩者只能兼減小旁瓣的努力都要以犧牲主瓣寬度為代價，兩者只能兼顧，不可兼得。常用的窗有漢寧窗、海明窗、三角窗等。顧，不可兼得。常用的窗有漢寧窗、海明窗、三角窗等。v改進方法11l周期圖法得出的估計譜方差特性不好：當數據長度周期圖法得出的估計譜方差特性不好：當數據長度N太大太大時，譜線的起伏加劇；時，譜線的起伏加劇

10、；N太小時譜的分辨率又不好。太小時譜的分辨率又不好。l對其改進的主要方法有兩種，即平均和平滑，平均就是將對其改進的主要方法有兩種，即平均和平滑，平均就是將截取的數據段截取的數據段xN(n)再分成再分成L個小段，分別計算功率譜后取個小段，分別計算功率譜后取功率譜的平均，這種方法使估計的方差減小，但偏差加大，功率譜的平均，這種方法使估計的方差減小，但偏差加大，分辨率下降。分辨率下降。(Bartlett 法，法， 不重疊！不重疊！) l平滑是用一個適當的窗函數平滑是用一個適當的窗函數W(ejw)與算出的功率譜與算出的功率譜 進進行卷積，使譜線平滑。這種方法得出的譜估計是無偏的，行卷積，使譜線平滑。這

11、種方法得出的譜估計是無偏的，方差也小，但分辨率下降。現比較常用的是方差也小，但分辨率下降。現比較常用的是Welch法法，又，又叫加權交疊平均法（叫加權交疊平均法（WOSA)，它以加窗（加權）求取平，它以加窗（加權）求取平滑，以滑，以分段重疊分段重疊求得平均，集平均與平滑于一體，是一種求得平均，集平均與平滑于一體，是一種折衷折衷。v改進方法改進方法()jwxS e12v算法基礎算法基礎 以隨機過程或信號的的參數模型為基礎以隨機過程或信號的的參數模型為基礎,故稱為故稱為參數模型法參數模型法或參數法或參數法v歷史沿革歷史沿革 從非工程領域從非工程領域(如實驗數據和觀測數據的處理、統計學如實驗數據和觀

12、測數據的處理、統計學) 的時間序列分析的時間序列分析(早已有之早已有之)到工程領域的現代譜估計到工程領域的現代譜估計 現代譜估計始于現代譜估計始于60年代，經歷了從線性預測濾波年代，經歷了從線性預測濾波 最大熵譜估計最大熵譜估計(Burg,1967) 自回歸譜估計方法自回歸譜估計方法(1968) Pisarenko諧波分解諧波分解 多信號分類算法多信號分類算法(MUSIC,1981) HOS方法方法l現代譜估計側重一維譜估計，發展到多譜估計，多通道譜現代譜估計側重一維譜估計，發展到多譜估計，多通道譜估計，高級譜估計估計，高級譜估計13AR模型功率譜估計的方法和性質模型功率譜估計的方法和性質14

13、v參數模型法的基礎參數模型法的基礎: :信號的參數模型信號的參數模型( (即信號模型即信號模型), ),而信而信號模型又以描述信號的離散隨機過程的統計特性為基號模型又以描述信號的離散隨機過程的統計特性為基礎。礎。v離散隨機過程的統計描述離散隨機過程的統計描述 概率描述概率描述 統計平均描述統計平均描述 均值均值 均方差或方差均方差或方差 ( (自自) )相關函數與相關函數與( (自自) )協方差函數協方差函數 功率譜密度功率譜密度( (簡稱功率譜簡稱功率譜) )函數函數 15思路思路 假設所研究的過程假設所研究的過程x(n)是由是由u(n)激勵一個線性系統激勵一個線性系統 H(z) 所產生的輸

14、出；所產生的輸出； 由已知的由已知的x(n)或其自相關函數或其自相關函數rx(n)來估計來估計H(z)的參數；的參數； 由由H(z)的參數來估計的參數來估計x(n)的功率譜。的功率譜。好處好處：對一個研究對象建模是現代工程常用的方法對一個研究對象建模是現代工程常用的方法 使所研究的對象有一個簡潔的數學表達式 通過對模型的研究，使我們對研究對象有更深入的了解約束約束 H(z)是穩定因果移不變系統，單位脈沖響應是確定性的是穩定因果移不變系統，單位脈沖響應是確定性的 x(n)可為平穩隨機序列可為平穩隨機序列,亦可為確定性時間序列亦可為確定性時間序列,取決于取決于u(n)16 AR模型模型 (自回歸模

15、型，自回歸模型，Autogressive，全極點模型，全極點模型) MA模型模型(滑動平均模型滑動平均模型,Moving-Average,全零點模型全零點模型) ARMA模型模型(自回歸滑動平均模型自回歸滑動平均模型)pkkkqkkkzazbzAzBzH00/)()()(pkkkzazAzH0/1)(1)(qkkkzbzBzH0)()(v 基本模型基本模型17v 模型與系統模型與系統 信號模型不同于信號模型不同于FIR系統和系統和IIR系統，主要不同系統，主要不同如下：如下： 信號模型激勵源為信號模型激勵源為( (白白) )噪聲噪聲, ,其輸出為其輸出為( (平穩平穩) )隨機序列隨機序列 信

16、號模型具有兩重性信號模型具有兩重性: :本身是系統本身是系統, , 描述的是信號。描述的是信號。 因此，對信號模型來說，因此，對信號模型來說， - - 既要研究模型的系統特性既要研究模型的系統特性( (這不是主要的這不是主要的) ) - - 又要研究信號的統計特性又要研究信號的統計特性( (由模型所描述的由模型所描述的) )v 平穩性與穩定性平穩性與穩定性：系統穩定性與信號平穩性等價。：系統穩定性與信號平穩性等價。18l任何廣義隨機平穩過程都可以分解為一個隨機部分和一個任何廣義隨機平穩過程都可以分解為一個隨機部分和一個確定性部分確定性部分. 例例: 純正弦信號純正弦信號=白噪聲白噪聲(連續成分連續成分)+純正弦信純正弦信號號(離散成分離散成分)lWold分解定理分解定理:任何一個具有有限方差的任何一個具有有限方差的ARMA過程或過程或MA過程都可以表示成唯