1、1結構力學結構力學 超靜定結構的實用計算方法超靜定結構的實用計算方法彎矩分配法彎矩分配法2彎矩分配法彎矩分配法的本質及其適用范圍彎矩分配法的本質及其適用范圍 彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。 彎矩分配法的適用范圍：彎矩分配法的適用范圍： 單獨使用時，只能用于只有結點角位移而無結點線位移的結構。單獨使用時，只能用于只有結點角位移而無結點線位移的結構。彎矩分配法的基本概念彎矩分配法的基本概念 以圖示結構為例說明，所有桿件的線剛度均為以圖示結構為例說明，所有桿件的線剛度均為 ，桿長均為，桿長均為

2、，不計桿件軸向變形。，不計桿件軸向變形。il 根據位移法原理，原結構分解為根據位移法原理，原結構分解為(a)(b)兩種受力狀態。兩種受力狀態。 只有一個位移法未知量只有一個位移法未知量A結點的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結點稱為分配單元。結點的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結點稱為分配單元。qABCD原結構原結構qABCD(a)狀態狀態uAMABCD(b)狀態狀態uAM (a)狀態：只承受外荷載，不發生節結點位移 固定狀態 (b)狀態：只發生結點位移，無外荷載 放松狀態相當于原結構“先固定、后放松”32021-7-11彎矩分配法 固定狀態下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎

3、矩。正負號規定：繞桿端順時針為正。固定狀態下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎矩。正負號規定：繞桿端順時針為正。qABCD原結構原結構qABCD(a)固定狀態固定狀態uAMABCD(b)放松狀態放松狀態uAM 固定狀態內力分析固定狀態內力分析彎矩分配法是一種數值算法，正負號規定非常重要！彎矩分配法是一種數值算法，正負號規定非常重要！ 固端彎矩根據第7章位移法表7-1計算，其本質就是位移法Mp圖的計算。 21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM 結點附加剛臂上的約束力矩稱為結點不平衡力矩。正負號規定：順時針為正。結點附加剛臂上的約束力矩稱為結點不平衡力矩。正

4、負號規定：順時針為正。 結點不平衡力矩的計算：根據固端彎矩，利用結點力矩平衡條件計算。 在上述正負號規定條件下，結點不平衡力矩就是與該結點相連的所有桿件該端固端彎矩的代數和。 218ugggAABACADMMMMql42021-7-11彎矩分配法 放松狀態就是原結構承受結點不平衡力矩的反向力矩（相當于解除約束）。放松狀態就是原結構承受結點不平衡力矩的反向力矩（相當于解除約束）。qABCD原結構原結構qABCD(a)固定狀態固定狀態uAMABCD(b)放松狀態放松狀態uAM 放松狀態內力分析放松狀態內力分析 放松狀態的內力可借助轉動剛度、分配系數、傳遞系數等概念計算。放松狀態的內力可借助轉動剛度

5、、分配系數、傳遞系數等概念計算。 轉動剛度：轉動剛度：AB桿件桿件A端（又稱近端）發生單位轉角時，端（又稱近端）發生單位轉角時，A端產生的彎矩值，稱為端產生的彎矩值，稱為AB桿桿A端的轉動剛度，端的轉動剛度， 記為記為 。ABS 轉動剛度不僅與桿件的彎曲線剛度 有關，而且與桿件另一端（又稱遠端）的支承條件有關。iEI li4ABSi2BAMiAB1A 遠端為固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 遠端為鉸支座：3ABSi 遠端為定向滑動支座：ABSi5 彎矩分配法中，結點轉動在遠端產生的彎矩可通過近端彎矩乘以傳遞系數得到。2021-7-11彎矩分配法ABC

6、D(b)放松狀態放松狀態uAM 放松狀態內力分析放松狀態內力分析 傳遞系數：傳遞系數：AB桿件僅桿件僅A端發生轉角時，端發生轉角時，B端彎矩與端彎矩與A端彎矩之比，稱為從端彎矩之比，稱為從A到到B的彎矩傳遞系數，記的彎矩傳遞系數，記為為 。A BCi4ABSi2BAMiAB1A 遠端為固定支座：1 2ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 遠端為鉸支座：0ABC 遠端為定向滑動支座：1ABC 放松狀態內力（分配系數）放松狀態內力（分配系數）AA結點力矩結點力矩uAMfABMfADMfACMA結點力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM 而，;fABABAMS;fAC

7、ACAMSfADADAMS所以，uABACADAASSSM 得，uAAABACADMSSS 從而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS稱為力矩分配系數，表示桿件剛度在結點剛度中占的比例。稱為力矩分配系數，表示桿件剛度在結點剛度中占的比例。每個分配單元上，力矩分配系數之和恒等于每個分配單元上，力矩分配系數之和恒等于1，即，即 。1Why?物理含義：結點力矩平衡62021-7-11彎矩分配法qABCD原結構原結構qABCD(a)固定狀態固定狀態uAMABCD(b)放松狀態放松狀態uAM 計算過程小結計算過程小結 固定狀態，計算

8、固端彎矩和結點不平衡力矩。固定狀態，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。 固端彎矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 結點不平衡力彎矩 放松狀態，計算分配力矩和傳遞力矩。放松狀態，計算分配力矩和傳遞力矩。 桿件轉動剛度： 分配系數： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACADCCC222311;646416fffABACADMqlMqlMql 遠端傳遞力矩： 22110;6432cccBACADAMMqlMql 桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩

9、傳遞力矩72021-7-11彎矩分配法qABCD原結構原結構 計算過程小結計算過程小結 固定狀態，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。固定狀態，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。 固端彎矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 結點不平衡力彎矩 放松狀態，計算分配力矩和傳遞力矩。放松狀態，計算分配力矩和傳遞力矩。 桿件轉動剛度： 分配系數： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416fffABACADMqlMqlMql 遠端傳遞力矩： 22110;6432c

10、ccBACADAMMqlMql 桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩彎矩分配法通常列表計算結點結點桿端桿端BACDBAABADACCADAgM分配分配傳遞傳遞M終備注備注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區分82021-7-11彎矩分配法qABCD原結構原結構 彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法的物理含義： 彎矩分配法實質，是在原結構上施加約束、再解除約束的過程。彎矩分配法實質，是在原結構上施加約束、再解除約束的過程。結點結點桿端桿端BACDBAABA

11、DACCADAgM分配分配傳遞傳遞M終備注備注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32ABCDM圖圖(ql2)56418164116132施加約束(固定)解除約束(放松) 注意問題：注意問題： 彎矩分配法是數值計算方法，彎矩的方向用正負號表示，故，必須牢記正負號規定，計算過程中切勿混彎矩分配法是數值計算方法，彎矩的方向用正負號表示，故，必須牢記正負號規定，計算過程中切勿混淆和遺漏正負號。淆和遺漏正負號。 結點不平衡力矩必須反號后才能進行分配和傳遞。結點不平衡力矩必須反號后才能進行分配和傳遞。 彎矩分配法計算步驟：彎矩分配

12、法計算步驟： 計算各桿的分配系數和傳遞系數。計算各桿的分配系數和傳遞系數。 計算荷載作用下的固端彎矩。計算荷載作用下的固端彎矩。 將結點不平衡力矩反號后，進行力矩分配和傳遞。將結點不平衡力矩反號后，進行力矩分配和傳遞。 按疊加原理計算最終桿端彎矩。按疊加原理計算最終桿端彎矩。92021-7-11彎矩分配法 多結點彎矩分配法多結點彎矩分配法 【例例1】試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 固定狀態固定狀態 固端彎矩213 44,412ggBCCBMkNmMkNm 4,4uuBCMkNmMkNm 結點不平衡力彎矩3/k

13、N mACDEIEIBEIuBMuCM 放松狀態放松狀態 兩個分配單元B和C結點轉角是耦合的，如同時放松，需建立并求解聯立方程組。 為了避免求解聯立方程，將各分配單元依次逐個放松。放松C(B保持鎖定狀態),;CBCDSEISEI0.5CBCD440.50.52211此時，C結點力矩平衡，B結點不平衡力矩為-5kNm鎖住C，放松B,;BABCSEISEI0.5BABC此時，B結點力矩平衡，C結點不平衡力矩為1.25kNm50.50.52.52.51.251.251.25完成一輪分配 由于分配系數和傳遞系數不大于1且不可能全為1，故，經過彎矩分配和傳遞后，結點不平衡力矩逐漸減小。依次經過多輪分配，

14、可使結構受力和變形逐步接近實際狀態。100.0844gM0.320.16 0.162021-7-11彎矩分配法 多結點彎矩分配法多結點彎矩分配法 【例例1】試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 上述計算過程一般通過列表進行上述計算過程一般通過列表進行2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定狀態）（固定狀態）分分配配與與傳傳遞遞221（鎖（鎖B放放C）（鎖（鎖C放放B）第第1輪分配輪分配0.630.63（鎖（鎖B放放C）0.08（鎖（鎖C放放B）第第2輪分配輪分配00.020.01 0.010.04

15、0.04（鎖（鎖B放放C）0（鎖（鎖C放放B）第第3輪分配輪分配M終2.662.67 2.67-1.332.670多結點彎矩分配法是一種漸近法，多結點彎矩分配法是一種漸近法，計算結果為近似解。計算結果為近似解。為了使計算收斂速度快，通常先為了使計算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開從不平衡力矩較大的分配單元開始分配。始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：終止彎矩分配的條件一般有兩種： a）明確分配輪次。如：要求完）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計算誤差多成兩輪分配，則不管計算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計大，兩輪分配完成后即可終止計算。算。 b）明確計算精度。如：計

16、算要求）明確計算精度。如：計算要求保留到小數點后兩位，則應計算保留到小數點后兩位，則應計算至分配彎矩或傳遞彎矩小于至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個輪次分配與傳遞需注意最后一個輪次分配與傳遞需同時完成，不可以只分配不傳遞。同時完成，不可以只分配不傳遞。ACDB1.332.676M圖圖(kNm)110.0844gM0.320.16 0.162021-7-11彎矩分配法 多結點彎矩分配法多結點彎矩分配法 【例例1】試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。試用彎矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定

17、狀態）（固定狀態）分分配配與與傳傳遞遞221（鎖（鎖B放放C）（鎖（鎖C放放B）0.630.63（鎖（鎖B放放C）0.08（鎖（鎖C放放B）00.020.01 0.010.040.04（鎖（鎖B放放C）0（鎖（鎖C放放B）M終2.662.67 2.67-1.332.670ACDB1.332.676M圖圖(kNm)12豎向荷載作用下內力的近似計算方法 分層法13豎向荷載作用下的內力近似計算 在豎向荷載（vertical load）作用下，多、高層框架結構的內力可用力法、位移法等結構力學方法計算。工程設計中，如采用手算，可采用迭代法、分層法、彎矩二次分配法及系數法等近似方法計算。14常用方法分層法

18、豎向荷載作用下框架結構的受力特點及內力計算假定：（1）不考慮框架結構的側移對其內力的影響；（2）每層梁上的荷載僅對本層梁及其上、下柱的內力產生影響，對其他各層梁、柱內力的影響可忽略不計。 應當指出，上述假定中所指的內力不包括柱軸力，因為某層梁上的荷載對下部各層柱的軸力均有較大影響，不能忽略。15分層法的適用范圍 分層法一般用于結構與荷載沿高度分布比較均勻的多層框架的內力計算，對于側移較大或不規則的多層框架不宜采用16豎向荷載作用下分層計算示意圖豎向荷載作用下分層計算示意圖17（1）將多層框架沿高度分成若干單層無側移的敞口框架，每個敞口框架包括本層梁和與之相連的上、下層柱。梁上作用的荷載、各層柱高及梁跨度均與原結構相同。（2）除底層柱的下端外，其他各柱的柱端應為彈性約束。為便于計算，均將其處理為固定端。這樣將使柱的彎曲變形有所減小，為消除這種影響，可把除底層柱以外的其他把除底層柱以外的其他各層柱的線剛度乘以修正系數各層柱的線剛度乘以修正系數0.9。分層法計算要點分層法計算要點18分層法計算要點分層法計算要點（3）用彎矩分配法計算各敞口框架的桿端彎矩，在計算每個節點周圍各桿件的彎矩分配系數時，應采用修正后的柱線應采用修正后的柱線剛度剛度計算；并且底層柱和各層梁的傳遞系數均取底層柱和各