1、第一章信號與系統分析導論1.信號分類：確定信號與隨機信號、連續時間信號與離散時間信號、周期信號和非周期信號、能量信號與功率信號。2.系統分類：連續時間系統與離散時間系統、線性系統和非線性系統、非時變系統與時變系統、因果系統與非因果系統3.掌握信號周期的判斷、線性系統的判斷、時不變系統的判斷（1）判斷周期性，N、m是不可約的整數，則信號的周期為N。例1) f1k = sin(kp/6)W0 /2p = 1/12, 由于1/12是不可約的有理數， 故離散序列的周期N=12。習題1-4（2）判斷一個系統是否為線性系統，應從三個方面來判斷：1）、具有可分解性2）、零輸入線性，系統的零輸入響應必須對所有

2、的初始狀態呈現線性特性。3）、零狀態線性，系統的零狀態響應必須對所有的輸入信號呈現線性特性。例：，可分解但是是非線性的，故不是線性系統習題1-7（3）判斷系統是否為時不變系統，只需判斷當輸入激勵f(t) 變為f(t-t0)時，相應的輸出響應y(t)是否變為 y(t-t0)。注意：時不變特性只考慮系統的零狀態響應，因此在判斷系統的時不變特性時，不涉及系統的初始狀態。例y(t)=costf(t)而故不相等，是時變系統。習題1-7第二章信號的時域分析1.掌握普通信號的定義(1) 指數信號實指數信號(2) 虛指數信號Euler公式： (3) 指數信號復指數信號(4) 抽樣函數抽樣函數具有以下性質：2.

3、掌握奇異信號的定義(1) 單位階躍信號(2) 沖激信號d(t)=0 , t0 沖激信號的性質a) 篩選特性b) 取樣特性c) 展縮特性, 推論：沖激信號是偶函數。d) 沖激信號與階躍信號的關系 (3) 斜坡信號 與階躍信號之間的關系： (4) 沖激偶信號 性質： , , 例題習題2-3,2-43.連續時間信號的基本運算a) 尺度變換 f(t) f(at) a0b) 信號的翻轉f (t) f (-t)c) 時移（平移） f(t) f(t-t0)例題已知f(t)的波形如圖所示，試畫出f(6-2t)的波形。習題2-6第三章系統的時域分析1.系統響應求解方法系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應(1)系

4、統的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統的初始狀態單獨作用而產生的輸出響應。數學模型: 求解方法： 根據微分方程的特征根確定零輸入響應的形式(1) 特征根是不等實根s1, s2, , sn (2) 特征根是相等實根s1=s2=sn (3) 特征根是成對共軛復根 再由初始條件確定待定系數。例：已知某線性時不變系統的動態方程式為: 系統的初始狀態為y(0-)=1，y (0-)=3，求系統的零輸入響應yx(t)。解 系統的特征方程為系統的特征根為y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3解得 K1=6，K2=-5例：已知某線性時不變系統的動態

5、方程式為系統的初始狀態為y(0-)=2，y(0-)= -1，求系統的零輸入響應yzi(t)。（求解見課件）例：已知某線性時不變系統的動態方程式為系統的初始狀態為y(0-)=1，y(0-)=3，求系統的零輸入響應yzi(t)。（求解見課件）習題3-6（2）系統的零狀態響應當系統的初始狀態為零時，由系統的外部激勵f(t)產生的響應稱為系統的零狀態響應，用yzs (t)表示。 求解系統的零狀態響應yf (t)方法： 1) 直接求解初始狀態為零的微分方程。2) 卷積法：利用信號分解和線性時不變系統的特性求解。已知某LTI系統的動態方程式為y(t)+3y(t)=2f(t)，系統的沖激響應h(t)=2e-

6、3t u(t), f(t)=3u(t), 試求系統的零狀態響應yzs(t)。=（3）連續時間系統的單位沖激響應在系統初始狀態為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統所產生的輸出響應，稱為系統的單位沖激響應，以符號h(t)表示沖激平衡法求系統的單位沖激響應比較m（激勵）與n（響應）的大小1)由系統的特征根來確定u(t)前的指數形式.2) 由動態方程右邊d(t)的最高階導數與方程 左邊h(t)的最高階導數確定項.例：已知某線性時不變系統的動態方程式為試求系統的單位沖激響應。解：當f (t)=d(t)時, y(t)=h(t), 即動態方程式的特征根s=-3, 且nm, 故h(t)的形式為，解得A=2例：

7、已知某線性時不變系統的動態方程式為試求系統的沖激響應。解：當f (t)=時, y(t)=h(t), 即動態方程式的特征根s= -6, 且n=m, 故h(t)的形式為解得A= -16, B =3 ， 習題3-9(4)連續系統的階躍響應習題3-10,3-11(5) 卷積積分 定義 卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元： t換為得 f1()， f2()（2）反轉平移：由f2()反轉 f2()右移t f2(t-)（3）乘積： f1() f2(t-) （4）積分： 從 到對乘積項積分。注意：t為參變量。例： 卷積積分的性質1）卷積代數交換、分配、結合2）卷積的微積分性質3) 卷積的時移特性若 f

8、(t) = f1(t)* f2(t)，則 4) 展縮特性5) 奇異函數的卷積特性 習題3-142.離散系統的時域分析系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應系統的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統的初始狀態單獨作用而產生的輸出響應。數學模型:求解方法： 根據差分方程的特征根確定零輸入響應的形式，再由初始條件確定待定系數。例已知某線性時不變系統的動態方程式為: 系統的初始狀態為y-1=0， y-2= 1/2，求系統的零輸入響應yzik。解 系統的特征方程為系統的特征根為注：(1) 特征根是不等實根 r1, r2, , rn，(2) 特征根是相等實根 r1=r2=rn，(3) 特征根是成對共軛復根，解

9、得 C1=1，C2= -2習題3-22系統的零狀態響應當系統的初始狀態為零時，由系統的外部激勵f k產生的響應稱為零狀態響應，用yf k表示。 求解系統零狀態響應yf k的方法： 1) 直接求解初始狀態為零的差分方程。 2) 卷積法： 1）單位脈沖序列d k作用于離散時間LTI系統所產生的零狀態響應稱為單位脈沖響應, 用符號hk表示求解方法：等效初始條件法例若描述某離散時間LTI系統的差分方程為求系統的單位脈沖響應hk。解：hk滿足方程求等效初始條件對于因果系統有h-1=h-2=0，代入上面方程可推出可以選擇h0和h1 或h-1和h0作為初始條件注意：選擇初始條件的基本原則是必須將dk的作用體

10、現在初始條件中求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達式為代入初始條件，有解得 C1= -1，C2=2習題3-24第四章信號的頻域分析1.周期信號的傅立葉級數展開 周期信號展開為傅立葉級數條件 周期信號fT(t)應滿足Dirichlet條件，即： (1) 絕對可積，即滿足 (2) 在一個周期內只有有限個不連續點； (3) 在一個周期內只有有限個極大值和極小值。（1）連續時間周期信號可以用指數形式傅立葉級數表示為其中物理含義：周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數信號之和。（2）三角形式傅立葉級數，例1周期矩形脈沖信號的頻譜圖（3）傅里葉級數的基本性質 1）. 線性特性2）. 時移特性

11、3）. 卷積性質4. 微分特性2.傅里葉變換傅立葉正變換：傅立葉反變換：物理意義：非周期信號可以分解為無數個頻率為w， 復振幅為F(w)/2pdw 的復指數信號ejw t的線性組合。狄里赫萊條件（1）非周期信號在無限區間上絕對可積（2）在任意有限區間內，信號只有有限個最大值和最小值。（3）在任意有限區間內，信號僅有有限個不連續點，且這些點必須是有限值。例試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數由傅立葉正變換定義式，可得3.常見連續時間信號的頻譜(1) 單邊指數信號(2) 雙邊指數信號(3) 單位沖激信號(t) (4) 直流信號(5） 符號函數信號(6) 單位階躍信號u(t)(7) 虛指數信號(8)

12、 余弦信號正弦信號（9）一般周期信號（10）單位沖激序列4.傅里葉變換的基本性質1. 線性特性2. 對稱互易特性 3. 展縮特性 4. 時移特性5. 頻移特性 6. 時域卷積特性7. 頻域卷積特性 8. 時域微分特性 9. 積分特性10. 頻域微分特性 習題4-9,4-10第五章系統的頻域分析及其應用1.連續系統的頻率響應（1）虛指數信號ejwt(-t)通過連續系統的零狀態響應其中（2）.任意非周期信號通過連續系統的零狀態響應（3）連續系統的頻率響應H(jw)的定義與物理意義 或 H(jw)反映了系統對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性（4）H(jw)與h(t)的關系（5）計算H(jw) 的方法

13、由系統的動態方程式直接計算； 由系統的沖激響應的傅立葉變換計算； 由電路的零狀態頻域電路模型計算。例：已知某LTI系統的動態方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，求系統的頻率響應H(jw)。解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例：已知某LTI系統的沖激響應為，求系統的頻率響應H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關系習題5-1例：圖示RC電路系統，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態為零。求系統的頻率響應H(jw)和單位沖激響應h(t)。解：RC電路的頻域(相量)模型如右圖，由電路基本原理有由Fou

14、rier反變換，得系統的單位沖激響應h(t)為習題5-22.連續LTI系統響應的頻域分析例：已知某LTI系統的動態方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=3f (t)+4f(t)，系統的輸入激勵f(t)=e-3tu(t)，求系統的零狀態響應yf (t)。解 由于輸入激勵f(t)的頻譜函數為系統的頻率響應由微分方程可得故系統的零狀態響應yf (t)的頻譜函數Yf (jw)為（1）. 正弦信號通過系統的響應同理結論：正、余弦信號作用于線性時不變系統時，其輸出的零狀態響應y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。輸出信號的幅度y(t)由系統的幅度函數|H(jw0)|確定，輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了

15、3.無失真傳輸系統與理想濾波器 時域 頻域無失真傳輸系統應滿足兩個條件：(1)系統的幅頻響應|H(jw)|在整個頻率范圍內應為常數K，即系統的帶寬為無窮大；(2)系統的相位響應f(jw)在整個頻率范圍內應與w成正比。例：已知一LTI系統的頻率響應為 (1)求系統的幅度響應|H(jw)|和相位響應f(w)，并判斷系統是否為無失真傳輸系統。 (2)當輸入為f(t)=sint+sin3t (-twm各處為零；(2) 抽樣間隔T需滿足 或抽樣頻率fs需滿足 fs 2fm （或s 2 m） 。fs = 2fm 為最小取樣頻率，稱為Nyquist Rate.例：已知實信號f(t)的最高頻率為fm (Hz)

16、，試計算對各信號f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據信號時域與頻域的對應關系及抽樣定理得：對信號f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為4fm(Hz)； 對f(t)*f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為2fm(Hz)； 對f(t)f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為6fm(Hz)。第六章連續時間信號與系統的S域分析1. 拉普拉斯變換拉普拉斯正變換拉普拉斯反變換物理意義：信號f(t)可分解成復指數est的線性組合2.常用信號的拉普拉斯變換3.拉普拉斯變換的性質（1）線性（2）展縮特性（3）時移特性（4）卷積特性（5）乘積特性1）指數加權性質 2）線性加權性質

17、（6）微分特性（7）積分特性（8）初值定理和終值定理 4.拉普拉斯反變換部分分式展開法例采用部分分式展開法求下列的反變換 F(s)為有理真分式，極點為一階極點。三重極點F(s)為有理假分式,將F(s)化為有理真分式習題6-95.微分方程描述系統的s域分析已知 f (t)，y(0-)，y (0-) ，求y(t)。求解步驟：(1) 經拉氏變換將域微分方程變換為s域代數方程(2) 求解s域代數方程，求出Yx(s), Yf (s)(3) 拉氏反變換，求出響應的時域表示式例：系統的微分方程為y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激勵f(t)=e-tu(t)，初始狀態y(0-)=3， y

18、(0-)=2，求響應y(t)。解 ：對微分方程取拉氏變換可得 習題6-256.電路的s域模型 例：圖示電路初始狀態為vc(0-)=-E, 求電容兩端電壓 vc(t).帶解：建立電路的s域模型由s域模型寫回路方程求出回路電流電容電壓為習題6-15已知電路如圖所示，電容和電感的初始儲能都為0，激勵信號，求電容兩端電壓。解：把時域上的電路模型變換到S域，根據回路列KVL方程得：，代入已知條件整理得；，進行拉氏反變換得：7. 系統函數H(s)與系統特性(1)定義：系統在零狀態條件下，輸出的拉氏變換式 與輸入的拉式變換式之比，記為H(s)。(2) H(s)與h(t)的關系： (3)求H(s)的方法： 由系統的沖激響應求解：H(s)=Lh(t)由定義式由系統的微分方程寫出H(s)8. H(s)與系統的穩定性因果系統在s域有界輸入有界輸出(BIBO