1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精32.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算預(yù)習(xí)課本p109111，思考并完成下列問題（1）復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則是什么？共軛復(fù)數(shù)概念的定義是什么?（2)復(fù)數(shù)乘法的多項(xiàng)式運(yùn)算與實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則是否相同？如何應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題？1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1abi，z2cdi（a,b，c，dr），則z1z2（abi)(cdi)(acbd)(adbc）i。2復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1,z2，z3c，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律（z1z2）z3z1(z2z3）分配律z1(z2z3)z1z2z1z33。共軛復(fù)數(shù)已知z1abi,z2cdi，a，b，c,dr,則（1)z1，

2、z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是ac且bd.(2）z1，z2互為共軛虛數(shù)的充要條件是ac且bd0.4復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：（abi）（cdi)i（cdi0）點(diǎn)睛在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時,分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)cdi，化簡后即得結(jié)果，這個過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化,這與根式除法的分母“有理化”很類似1判斷（正確的打“”,錯誤的打“）（1）兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件（）（2)若z1，z2c，且zz0,則z1z20。()(3)兩個共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù)()答案:(1)(2)（3)2(北京高考)復(fù)數(shù)i(2i)()a12ib12ic12i d12i答案：a3若復(fù)數(shù)z11i,z23i,則z1

3、z2()a42i b2ic22i d34i答案:a4復(fù)數(shù)_。答案：i復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算典例(1）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1ai）(2i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（）a2b。c d2（2)(江蘇高考）復(fù)數(shù)z(12i）(3i），其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部是_解析(1)（1ai)（2i)2a(12a）i，要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以有2a0，12a0,解得a2.（2)（12i)（3i)3i6i2i255i，所以z的實(shí)部是5。答案(1）a（2)51兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開（2）再將i2換成1。(3）然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2常用公式（1)(ab

4、i）2a2b22abi(a,br）（2）(abi)(abi）a2b2(a，br）（3)（1i）22i。 活學(xué)活用1已知x，yr，i為虛數(shù)單位，且xiy1i，則（1i)xy的值為（)a2 b2ic4 d2i解析：選d由xiy1i得x1，y1,所以(1i)xy(1i）22i。2已知a，br，i是虛數(shù)單位若（ai）(1i)bi，則abi_.解析:因?yàn)?ai）(1i)a1（a1)ibi,所以a10,a1b，即a1，b2，所以abi12i.答案：12i復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算典例(1）若復(fù)數(shù)z滿足z（2i)117i(i是虛數(shù)單位），則z為(）a35i b35ic35i d35i（2)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為

5、純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為（）a2 b2c d。解析(1）z(2i)117i，z35i.(2)i,由是純虛數(shù)，則0，0,所以a2。答案(1)a(2)a1兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟（1）首先將除式寫為分式；(2）再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù);（3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2常用公式(1）i；（2)i；(3）i.活學(xué)活用1(天津高考)i是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為_解析：i。答案:i2計(jì)算：_.解析：法一：2i.法二:2i.答案：2ii的乘方的周期性及應(yīng)用典例(1）（湖北高考)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（）ai bic1 d1（2)計(jì)算i1i2i3i2 01

6、6_.解析（1)因?yàn)閕607i41513i3i，所以其共軛復(fù)數(shù)為i，故選a。（2)法一:原式0.法二：i1i2i3i40，inin1in2in30(nn），i1i2i3i2 016,（i1i2i3i4）(i5i6i7i8）（i2 013i2 014i2 015i2 016)0.答案（1)a（2)0虛數(shù)單位i的周期性(1）i4n1i，i4n21,i4n3i，i4n1(nn）(2）inin1in2in30（nn）活學(xué)活用計(jì)算2310_.解析:i，原式ii2i3i10i12310i55i3i。答案：i復(fù)數(shù)綜合應(yīng)用典例設(shè)z是虛數(shù)，z是實(shí)數(shù)，且12，求z|的值及z的實(shí)部的取值范圍解因?yàn)閦是虛數(shù)，所以可設(shè)

7、zxyi，x，yr，且y0。所以zxyixyixi.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)且y0，所以y0，所以x2y21,即z1.此時2x。因?yàn)?2，所以12x2，從而有x1,即z的實(shí)部的取值范圍是.一題多變1變設(shè)問若本例中條件不變，設(shè)u，證明u為純虛數(shù)證明：設(shè)zxyi，x，yr，且y0，由典例解析知，x2y21，ui.因?yàn)閤，y0,所以0，所以u為純虛數(shù)2變設(shè)問若本例條件不變，求2的最小值解：設(shè)zxyi，x，yr，且y0，由典例解析知x2y21。則22x22x22x2x2x12（x1）3。因?yàn)閤1，所以1x0。于是22(x1)3231。當(dāng)且僅當(dāng)2（x1）,即x0時等號成立所以2的最小值為1，此時zi.復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問

8、題解決方法在有關(guān)復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問題中，常與集合、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合在一起,要解決此類問題常將復(fù)數(shù)設(shè)為xyi(x，yr)的形式，利用有關(guān)條件及復(fù)數(shù)相等轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題或利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)及向量問題進(jìn)行解決 層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1復(fù)數(shù)(1i）2(23i)的值為（)a64ib64ic64i d64i解析：選d(1i）2(23i）2i(23i）64i.2（全國卷)已知復(fù)數(shù)z滿足（z1）i1i,則z(）a2i b2ic2i d2i解析：選cz11i，所以z2i，故選c。3（廣東高考)若復(fù)數(shù)zi（32i)(i是虛數(shù)單位）,則(）a23i b23ic32i d32i解

9、析:選azi(32i）3i2i223i，23i。4(1i）20(1i)20的值是（）a1 024 b1 024c0 d512解析:選c(1i）20（1i)20（1i)210（1i)210（2i)10（2i)10(2i）10(2i)100.5(全國卷)若a為實(shí)數(shù)，且3i,則a(）a4 b3c3 d4解析：選di3i，所以解得a4，故選d.6（天津高考）已知a,br，i是虛數(shù)單位，若（1i）(1bi)a，則的值為_解析：因?yàn)椋?i)（1bi）1b(1b)ia，又a，br，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2。答案:27設(shè)復(fù)數(shù)z1i，則z22z_。解析:z1i，z22zz(z2）(1i）（1i2

10、)（1i）（1i）3.答案：38若1bi,其中a,b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則abi|_.解析：a，br,且1bi，則a（1bi）(1i)(1b)(1b）i,abi2i。答案：9計(jì)算：.解：因?yàn)閕1，i，所以i1（i）1.10已知為z的共軛復(fù)數(shù),若z3i13i，求z.解：設(shè)zabi(a,br),則abi（a，br)，由題意得（abi）（abi）3i(abi）13i，即a2b23b3ai13i，則有解得或所以z1或z13i。層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1如圖，在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)a表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(）aabbcc dd解析：選b設(shè)zabi（a，br),且a0，b0，則z的共軛復(fù)數(shù)為abi

11、,其中a0，b0，故應(yīng)為b點(diǎn)2設(shè)a是實(shí)數(shù)，且r，則實(shí)數(shù)a(）a1 b1c2 d2解析:選b因?yàn)閞，所以不妨設(shè)x，xr，則1ai(1i）xxxi，所以有所以a1。3若a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，2，則a(）a2 b.c。 d1解析:選b（ai）(i)1ai，1ai|2，解得a或a(舍）4計(jì)算的值是（）a0 b1ci d2i解析：選d原式iii2i。5若z1a2i，z234i，且為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為_解析：，為純虛數(shù)，a.答案:6設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z234i（i是虛數(shù)單位）,則z的模為_解析：設(shè)zabi(a，br)，則z2a2b22abi34i，解得或z。答案：7設(shè)復(fù)數(shù)z，若z20，求純虛數(shù)a.解：由

12、z20可知z2是實(shí)數(shù)且為負(fù)數(shù)z1i。a為純虛數(shù)，設(shè)ami（mr且m0），則z2(1i）22ii0，m4，a4i。8復(fù)數(shù)z且z|4，z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,若復(fù)數(shù)0，z,對應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)a，b的值解:z(abi）2ii（abi）2a2bi.由z|4,得a2b24，復(fù)數(shù)0，z，對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成正三角形,|z|z|.把z2a2bi代入化簡得|b|1.又z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，a0，b0.由得故所求值為a，b1.（時間： 120分鐘滿分：150分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）a2i b2ic2

13、i d2i解析：選b2i.2(全國卷）若a為實(shí)數(shù)，且（2ai)(a2i）4i，則a(）a1 b0c1 d2解析:選b(2ai）（a2i）4i，4a(a24）i4i。解得a0。故選b。3若復(fù)數(shù)z滿足i，其中i是虛數(shù)單位，則z（)a1i b1ic1i d1i解析：選a(1i）ii2i1i，z1i，故選a。4設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于(）a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限解析：選b1i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知1i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為（1，1)，該點(diǎn)位于第二象限，故選b.5已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z（）a1ib1ic1i d1i解析：選d由1i,得z1i,故選d。6設(shè)復(fù)

14、數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)是，則等于（）a12i b2ic12i d12i解析：選c由題意可得12i,故選c.7已知復(fù)數(shù)zi,則z|（)ai bic.i d.i解析：選d因?yàn)閦i,所以|z|i i.8已知復(fù)數(shù)z滿足(1i)zi2 016（其中i為虛數(shù)單位），則的虛部為（）a。 bc.i di解析：選b2 0164504,i2 016i41。zi,i，的虛部為。故選b。9a，b分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，o是原點(diǎn),若z1z2z1z2，則三角形aob一定是(）a等腰三角形 b直角三角形c等邊三角形 d等腰直角三角形解析：選b根據(jù)復(fù)數(shù)加（減)法的幾何意義，知以，為鄰邊所作的平

15、行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形,故三角形oab為直角三角形10設(shè)z（2t25t3）(t22t2）i，tr,則以下結(jié)論正確的是（)az對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限bz一定不為純虛數(shù)c。對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的下方dz一定為實(shí)數(shù)解析：選ct22t2（t1)210，z對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的上方又z與對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱c項(xiàng)正確11設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z4，z8，則等于(）a1 bic1 di解析：選d設(shè)zabi（a，br），則abi，由條件可得解得因此或所以i，或i，所以i.12已知復(fù)數(shù)z(x2）yi（x，yr)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量的模為，則的最大值是（)a。 b。c。 d。解析：選d因?yàn)椋▁-2)+yi=,所

16、以（x2)2+y2=3,所以點(diǎn)(x，y)在以c（2，0）為圓心，以為半徑的圓上,如圖，由平面幾何知識-.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分把答案填在題中的橫線上)13已知復(fù)數(shù)z(52i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為_解析：復(fù)數(shù)z（52i）22120i，其實(shí)部是21。答案：2114i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)（12i)(ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析:由（12i）(ai）(a2）(12a）i是純虛數(shù)可得a20,12a0，解得a2。答案：215設(shè)復(fù)數(shù)abi(a，br)的模為，則（abi）（abi)_。解析：|abi|，(abi）(abi）a2b23。答案：316若關(guān)于x的方程x2

17、(2i）x（2m4)i0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)m_.解析：設(shè)mbi(br且b0),則x2(2i）x(2bi4)i0，化簡得(x22x2b)（x4)i0，即解得m4i。答案:4i三、解答題(本大題共6小題,共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17（本小題滿分10分)設(shè)復(fù)數(shù)zlg(m22m2）（m23m2)i（mr）,試求m取何值時？（1)z是實(shí)數(shù). (2)z是純虛數(shù)（3）z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第一象限解：（1)由m23m20且m22m20，解得m1或m2,復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)(2）當(dāng)實(shí)部等于零且虛部不等于零時,復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)由lg（m22m2)0，且m23m20，求得m3,故當(dāng)m3時，復(fù)數(shù)z為純

18、虛數(shù)（3）由lg(m22m2）0,且m23m20,解得m2或m3，故當(dāng)m2或m3時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第一象限18(本小題滿分12分）已知(12i)43i，求z及.解：設(shè)zabi(a，br),則abi.（12i)(abi)43i，（a2b）（2ab)i43i。由復(fù)數(shù)相等，解得解得z2i.i。19(本小題滿分12分)已知z1i,a，b為實(shí)數(shù)（1）若z234,求|；（2)若1i，求a，b的值解：(1)（1i)23（1i)41i，所以|。(2)由條件,得1i，所以（ab)(a2)i1i，所以解得20(本小題滿分12分)虛數(shù)z滿足z1,z22z0，求z.解：設(shè)zxyi(x，yr，y0),x2y21。則z22z（xyi)22(xyi）(x2y23x)y（2x1)i.y0，z22z0，又x2y21。由得zi。21（本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|，z2的虛部是2。(1)求復(fù)數(shù)z；（2)設(shè)z，z2，zz2在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為a，b，c，求abc的面積解:（1)設(shè)zabi（a，br），則z2a2b22abi，由題意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)當(dāng)z1i時，z22i，zz21i，所以a(1，1），b