1、第8章最優風險資產組合下面的數據可用于第 1至第8題： 一位養老基金經理正在考慮三種共同基金。第一種是股票基金，第二種是長期政府債券與公司債券基金，第三種是回報率為 8% 的以短期國庫券為內容的貨幣市場基金。這些風險基金的概率分布如 下：名 稱期望收益率(% )標準差(% )股票基金(s)2030債券基金(b)1215基金回報率之間的相關系數為0.10。1. 兩種風險基金的最小方差資產組合的投資比例是多少？這種資產組合回報率的期望值與標準差 各是多少？2. 制表并畫出這兩種風險基金的投資機會集合，股票基金的投資比率從 0%到100%，按照20%的幅 度增長。3. 從無風險回報率到機會集合曲線畫

2、一條切線，你的圖表表現出來的最優資產組合的期望收益與標準差各是多少？4. 計算出最優風險資產組合下每種資產的比率以及期望收益與標準差。5. 最優資本配置線下的最優酬報與波動性比率是多少？6. 投資者對他的資產組合的期望收益率要求為 14%，并且在最佳可行方案上是有效率的。a. 投資者資產組合的標準差是多少？b. 投資在短期國庫券上的比率以及在其他兩種風險基金上的投資比率是多少？7. 如果投資者只用兩種風險基金進行投資并且要求 14%的收益率，那么投資者資產組合中的投資 比率是怎樣安排的？把現在的標準差與第 6題中的相比，投資者會得出什么結論？8. 假設投資者面對同樣的機會集合，但是不能夠借款。

3、投資者希望只由股票與債券構成期望收益率為24%的資產組合。合適的投資比率是多少？由此的標準差是多少？如果投資者被允許以無風險收 益率借款，那么投資者的標準差可以降低多少？9. 股票提供的預期收益率為18%，其標準差為22%。黃金提供的預期收益率為10%，標準差為30%。a. 根據黃金在平均收益率和波動性上的明顯劣勢，有人會愿意持有它嗎？如果有，請用圖形表示這樣做的理由。b. 由上面的數據，再假設黃金與股票的相關系數為 1，重新回答a問題。畫圖表示為什么有人會 或不會在他的資產組合中持有黃金。這一系列有關期望收益率、標準差、相關性的假設代表 了證券市場的均衡嗎？10. 假設證券市場有很多股票，股

4、票 a與股票b的特性如下：股票期望收益率(% )標準差(%)a105b1510相關系數=-1假設投資者可以以無風險收益率 rf貸款。則rf的值為多少 (提示：設想建立股票 a與股票b的無風險 資產組合)？11. 假設所有證券的期望收益率與標準差為已知 (包括無風險借貸利率)，這種情況下所有投資者將 會有同樣的最優風險資產組合(正確還是錯誤？)。12. 資產組合的標準差總是等于資產組合中資產的標準差的加權平均(正確或錯誤？)。13. 假設投資者有一個項目：有 70%的可能在一年內讓他的投資加倍， 30%可能讓他的投資減半。 該投資收益率的標準差是多少？14. 假設投資者有100萬美元，在建立資產

5、組合時有以下兩個機會：a. 無風險資產收益率為 12%/年。b. 風險資產收益率為30%/年，標準差為40%。 如果投資者資產組合的標準差為 30%，那么收益率是多少？下面的數據可用于第 15至第17題：h&a公司為多經理管理的 w養老基金管理著 3 000 萬美元的股票資產組合。 w養老基金的財務副 主管杰森瓊斯 (jason jones) 注意到h&a在w養老基金的六個股票經理人中持續保持著最優的記錄。 在過去的5年中有4年h&a公司管理的資產組合的表現明顯優于標準普爾 500指數，唯一業績不佳的一 年帶來的損失也是微不足道的。h&a公司是一個“倒行逆施”的管理者。該公司盡量避免在對市場的

6、時機預測上作任何努力，它 把精力主要放在對個股的選擇上，而不是對行業好壞的評估上。六位管理者之間沒有明顯一致的管理模式。除了 h&a之外，其余的五位經理共計管理著由 150種以上的個股組成的2.5億美元的資產。瓊斯相信h&a可以在股票選擇上表現出出眾的能力，但是受投資的高度分散化的限制，達不到高 額的收益率。這幾年來， h&a公司的資產組合一般包含 4050 種股票，每種股票占基金的 2% 3%。 h&a公司之所以在大多數年份里表現還不錯的原因在于它每年都可以找到 10到20種獲得高額收益率的 股票。基于以上情況，瓊斯向w養老基金委員會提出以下計劃：讓我們把h&a公司管理的資產組合限制在 20

7、種股票以內。 h&a公司會對其真正感興趣的股票投入加倍 的精力，而取消其他股票的投資。如果沒有這個新的限制， h&a公司就會像以前那樣自由地管理資產組合。 基金委員會的大多數成員都同意瓊斯的觀點，他們認為 h&a公司確實表現出了在股票選擇上的卓越能力。但是該建議與以前的實際操作相背離，幾個委員對此提出了質疑。請根據上述情況回答下列問題。15. a. 20 種股票的限制會增加還是減少資產組合的風險？請說明理由。b. h&a公司有沒有辦法使股票數由 40種減少到20種，而同時又不會對風險造成很大的影響？ 請說明理由。16. 一名委員在提及瓊斯的建議時特別熱心。他認為如果把股票數減少到 10種，h&

8、a公司的業績將會更好。如果把股票減少到 20種被認為是有利的。試說明為什么減少到 10種反而不那么有利了(假設w養老基金把h&a公司的資產組合與基金的其他資產組合分開考慮 )。17. 另一名委員建議，與其把每種資產組合與其他的資產組合獨立起來考慮，不如把 h&a公司管 理的資產組合的變動放到整個基金的角度上來考慮會更好。解釋這一觀點將對委員會關于把 h&a公司 的股票減至10種還是20種的討論產生什么影響。下面的數據可以用于第18到第20題：股票之間的相關系數如下： corr(a，b)0.85；corr(a，c)0.60；corr(a，d)0.45。每種股票 的期望收益率為8%，標準差為20%

9、。18. 如果投資者的全部資產現在由a股票組成，并且只被允許選取另一種股票組成資產組合，投資 者將會選擇(解釋投資者的選擇)：a. bb. cc. dd. 需要更多的信息19. 第18題中的回答會使得投資者的風險承受能力更大還是更小？請解釋。20. 假設投資者除了可以多投資一種股票外，還可以投資于短期國庫券，短期國庫券的收益率為8%。投資者對第18、第19題的答案會改變嗎？21. 下面哪一種資產組合不屬于馬克維茨描述的有效率邊界？選擇資產組合期望收益(%)標準差(%)aw1536bx1215cz57dy92126. a、b、c三種股票具有相同的期望收益率和方差，下表為三種股票收益之間的相關系數

10、。根 據這些相關系數，風險水平最低的資產組合為：名稱abc股票a+1.0股票b+0.9+1.0股票c+0.1-0.4+1.0a. 平均投資于a，b。 b. 平均投資于a，c。 c. 平均投資于b，c。 d. 全部投資于c。27. a、b、c三種股票的統計數據如下表：股 票 收益標準差abc0.400.200.40收益相關系數abc1.000.900.501.000.101.00收益標準差股票a b c僅從表中信息出發，在等量a和b的資產組合和等量b和c的資產組合中作出選擇，并給出理由。 下表為第28、第29題中所需的年收益率(10年為基準)：(單位：%)名 稱20304050607080901

11、987年代年代年代年代年代年代年代年代1996年大公司股票6.98-1.25 9.1119.41 7.845.9017.607.6415.30 小公司股票-1.517.2820.6319.0113.728.7512.468.0511.11 長期政府債券1.574.60 3.590.26 1.146.6311.506.79 9.31 中期政府債券1.493.91 1.701.11 3.416.1112.015.60 8.23 短期國庫券1.410.30 0.371.87 3.896.29 9.002.92 5.48 通貨膨脹率-0.40-2.04 5.362.22 2.527.36 5.101.

12、99 3.68 19261929年。 19901996年。 資料來源：表 5-2中的數據。28. 將上表數據填入電子數據表，計算各類資產收益率和通脹率的序列相關系數，以及和各類資 產之間的相關系數。說明計算數據所揭示的內容。29. 將表中的10年期收益率轉化為年收益率，重復第28題中的計算和分析。答案：1. 機會集合的參數為e(rs)=20%，e(rb)=12%， s=30%， b=15%， =0.10根據標準差和相關系數，我們可以推出協方差矩陣 注意cov(rs，rb)=s b：債券股票債券22545股票45900最小方差資產組合可由下列公式推出：222wmin(s)=b -cov(b，s)

13、/ s+b -2cov(b，s)=(225-45)/(900+225-245)=0.173 9wmin(b)=0.826 1最小方差資產組合均值和標準差為：e(rmin)=0.173 9 20+0.826 112=13.39%2222min =w ss+w bb+2wswb cov(s，b)1/2=0.173 92900+0.826 12225+20.173 9 0.826 1 451/2=13.92%2.股票(%)債券(%)預期收益率標準差0.00100.0012.0015.0017.3982.6113.3913.92最小方差20.0080.0013.6013.9440.0060.0015.

14、2015.7045.1654.8415.6116.54切線資產組合60.0040.0016.8019.5380.0020.0018.4024.48100.000.0020.0030.003.投資機會集切點最小方差cml風險資產 的有效邊界e(r)圖形近似點：最小方差資產組合13.4%13.9%切線資產組合15.6%16.5%4. 最優風險資產組合中的股票的比例由下式給出：222ws=e(rs)-rfb-e(rb)-rfcov(b, s)/e(rs)-rfb+e(rb)-rfs-e(rs)-rf+e(rb)-rf cov( b, s)=(20-8)225-(12-8)45/(20-8)225+(

15、12-8)900-20-8+12-845=0.451 6wb=0.548 4 最優風險資產組合的均值和標準差為： e(rp)=0.451620+0.548 412=15.61%p=0.451 62900+0.548 42225+20.451 6 0.548 4 451/2=16.54%5. 最優資本配置線的酬報與波動性比率為e(rp)-rf/ p=(15.61-8)/16.54=0.460 16. a. 如果你要求你的資產組合的平均收益率為 14%，你可以從最優資本配置線上找到相應的標準 差。資本配置線的公式為：e(rc)=rf +e(rp)-rf/ p c=8+0.460 1 c令e(rc)

16、等于14%，可以求出最優資產組合的標準差為 13.04%。b. 要求出投資于國庫券的比例，我們記得整個資產組合的均值為 14%，是國庫券利率和股票與債券的最優組合 p的平均值。讓y表示該資產組合的比例，在最優資本配置線上的任意資產組合的均值為：e(rc)=(l-y)rf+ye(rp)=rf+ye(rp)-rf=8+y(15.61-8)令e(rc)=14%，可求出：y=0.7884，1-y=0.211 6，即國庫券的比例。 要求出我們對每種基金投資的比例，我們用 0.788 4乘以最優風險性資產組合中的股票和債券的 比例：整個資產組合中股票的比例=0.788 4 0.451 6=0.356 0整

17、個資產組合中債券的比例=0.788 4 0.548 4=0.432 47. 僅用股票基金和債券基金來構造均值為 14%的資產組合，我們必須求出投資于股票基金的適當 比例ws，而wb=1-ws即投資于債券基金的比例。資產組合的均值為：14=20ws+12(1-ws)=12+8ws有：ws=0.25因此，投資比例分別為25%投資于股票，75%投資于債券。資產組合的標準差為： p=(0.252900+0.752225+20.250.7545)1/2=14.13%。 與用國庫券和最優資產組合構造的資產組合的 13.04%的標準差相比，這一結果是相當大的了。8. 在沒有機會借錢的情況下，你想構建一個均值

18、為 24%的資產組合。因為這超過了股票的 20%的 均值，你必須賣空債券，債券的均值為 12%，使用賣空收入來買入額外的股票。在下圖中的 q點即是你 的風險性資產組合的圖形表示。無風險資產機會集qp標準差(%)投資機會集rqcml切點最小方差風險資產 的有效邊界點q是均值為24%的股票/債券組合。用ws表示股票的比重， 1-ws表示債券的比重，則有：24=20ws+12(1-ws)=12+8wsws=1.50，1-ws=-0.50因此，你必須賣空等于你全部資金的 50%數量的債券，并將是你全部資金的 1.50倍的資金投資于 股票。該資產組合的標準差為：q=1.502900+(-0.50)222

19、5+2(1.50)(-0.50)451/2=44.87%如果你允許以8%的無風險利率借錢，達到24%的目標的方法就是，將你的資金 100%地投資于最優 風險性資產組合，即在下圖中，投資點從資本配置線上向外移動至右邊的 p點，向上到r點。r是最優資本配置線上的點，其均值為 2 4 %。使用最優資本配置線的公式可以求出相應的標準差：e(rc)=8+0.460 1 c=24令e(rc)=24，有： c=34.78%，這要比你不能以 8%的無風險利率借款情況下的標準差 44.87%要小得多。在最優資本配置線上的 r點的資產組合的組成是怎樣的呢？在資本配置線上任意一資產組合的均 值為：e(rc)=rf+

20、ye(rp)-rf這里y是投資與最優風險性資產組合p的比例，rp是該資產組合的均值，等于15.61%。24=8+y(15.61-8)y=2.102 5這意味著你在資產組合p中每投入1美元自有資金，你將再另外借入1.102 5美元，并將其也投入到 資產組合p中。9. a.最優cal股票p黃金標準差(%)即便看起來股票要優于黃金，黃金仍然是一種極富吸引力的資產，可以作為資產組合的一部分來持有。如果黃金和股票之間的相關性足夠低，它將被作為資產組合最優切線資產組合中的一個元 素持有。b. 如果黃金與股票的相關系數為+1，則不持有黃金。最優的資本配置線將由國庫券和股票構成。 因為股票和黃金的組合的風險

21、/收益集合將畫出一條負斜率的直線 (見下圖)，則股票資產組合 將優于它們。當然，這種情況不會永遠持續下去。如果沒有人想要黃金，則金價會下跌，它 的預期收益率就會上升，直至它成為一種富于吸引力的值得持有的資產。股票黃金rf標準差(%)10. 因為a和b完全負相關，所以可以構建一個無風險的資產組合，它的收益率在均衡條件下等于 無風險利率。要求出該資產組合的構成比例 (wa投資于a，wb=1-wa投資于b)，令標準差等于零。由于 完全負相關，資產組合的標準差簡化為p=abswa a-wb b0=5wa-10(1-wa)wa=0.666 7該無風險資產組合的預期收益率為：e(r)=0.666 710+

22、0.333 315=11.67%因此，無風險利率也應該是11.67%。11. 錯。如果借款利率不等于貸款利率，則視個人的偏好而定 (也就是他們的無差異曲線)，借款者 和貸款者可能有不同的最優風險資產組合。12. 錯。資產組合的標準差等于各構成成分的標準差的加權平均值只有在所有資產都完全正相關 的特殊情況下才成立。否則，如資產組合的標準差公式所示，資產組合的標準差要小于其構成成分的 各資產的標準差的加權平均值。資產組合的方差則是協方差矩陣中各元素的加權和，權重為資產組合 中所占的比例。13. 概率分布為概率收益率(%)0.71000.3-50均值=0.7100+0.3(-50)=55% 方差=0

23、.7(100-55)2+0.3(-50-55)2=472 5 標準差=4 725 1/2=68.74%14. p=30=y =40y y=0.75e(rp)=12+0.75(30-12)=25.5%15. a. 將資產組合限制在 20種股票而不是 4050種股票將增加資產組合的風險，但是可能增加得 并不多。如果，例如， 50種股票都有相同的標準差 ，且兩兩之間的相關性都相同，即相 關系數 相同（兩兩之間的協方差為2)，則一個等權數的資產組合的方差為 (見附錄 8a， 式8a-4)：2p=(1/n) 2+(n+1)/n2第二項中 n的減少造成的影響可能相當小 (因為49/50接近于19/20，且

24、2比 2小，但是第一項的字母系數為20而不是50。例如，如果 =45%且 =0.2，則50只股票的標準差為20.91%，當僅 有20只股票時，標準差將上升到 22.05%。如果預期收益率增長得足夠多，這個增長是可以接 受的。b. h&a公司可以通過確保它在其資產組合中的 20種股票，以相當的分散性來控制風險的上升， 這要求在剩余的股票間維持一較低的相關性。例如，在 (a)部分中， =0.2，資產組合風險的 增長是很小的。在實際中，這意味著 h&a公司需要將其資產組合分散到很多個行業上；僅 僅集中在少數一些行業將會導致被囊括進來的股票間具有較高的相關性。16. 由于分散化而減少風險的收益不是資產

25、組合中證券數量的線形函數。相反，來自新增的分散化 的邊際收益在你求最小分散化時是最重要的。將 h&a公司的投資限制在10種而不是20種，使得它的資 產組合增加的風險，要比從30種降為20種大得多。在我們的例子中，將股票數量限制在10種將使標準差 增加到23.81%。從20種股票變為10種股票導致的標準差1.76%的增長要大于從50種股票變為30種而導致 的1.14%的標準差的增長。17. 這一點很有意義，因為委員會會考慮整個資產組合的波動性。因為 h&a公司的資產組合僅僅 是6個充分分散化的資產組合中的一個且小于平均值，集中于少數幾種證券對于整個基金的影響是很 小的。因此，讓它去做股票選擇工作

26、可能更有利。18. c. 直覺上，我們注意到既然所有的股票都有相同的預期收益率和標準差，我們希望選擇可以 使風險最小的股票。即與股票a的相關性最小的股票。更一般地說，我們注意到當所有的股票有相同的預期收益率時，對任一風險厭惡投資者的最優資 產組合是整個方差最小的資產組合 (g)。當限制在a和另一種股票之間時，目標即為找到包含 a的任意 兩種股票組合的g，選擇具有最小方差的那一個。兩種股票， i和j，在g中的權重為：222wmin(i)=j -cov(i，j)/ i +j -2cov(i，j )wmin(j)=1-wmin(i) 因為所有的標準差都等于20%， cov(i，j)=i j =400

27、 wmin(i)=wmin(j)=0.5直覺的結果是有效組合邊界定理的應用，也就是整體方差最小的資產組合與其他任何處于有效組 合邊界上的資產的協方差都相同且等于它自身的方差 (否則，增加分散化將進一步減少方差 )。在這種 情況下，g(i，j)的標準差簡化為：min(g)=200(1+ (i，j)1/2這使我們直接地推出了直覺的結果，即理想的加入股票是與 a的協方差最小的股票，也就是 d。 最優的資產組合比例是等比例地投資于 a和d，而標準差為17.03%。19. 不變，至少只要他們不是風險偏好者。風險中性投資者不會在乎他們所持有的資產組合，因 為所有的資產組合的收益率都是8%。20. 不變。當

28、收益率為8%時，風險資產處在有效邊界上。因此，最優資本配置線從無風險利率到g。這里最好的g也具有最小的方差。和通常一樣，最優的整體資產組合視風險厭惡程度而定。21. d。資產組合y是無效率的。因為另一種資產組合要優于它。例如，資產組合 x就有更高的預期 收益率和更低的標準差。27. 我們不知道預期收益是多少，因此我們只考慮減少波動性。資產組合 c和a有相等的標準差， 但是組合c和組合b的協方差比組合a和組合b的協方差要小，因此由 c和b組成的資產組合的總體風險 要小于由a和b組成的資產組合。28. 重新排表(將行變為列)，計算相關系數，得下表。年代大公司 股票小公司 股票長期公司 債券長期政府 債券名義利率中期政府 債券國庫券通脹206.98%-1.51%2.05%1.57%1.49%1.41%-0.40%30-1.25%7.28%6.95%4.60%3.91%0.30%-2.04%409.11%20.63%2.70%3.59%1.70%0.37%5.36%5019.41%19.01%1.0