1、1 矩矩 陣陣 論論 電電 子子 教教 程程 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 Department of Mathematics 2 矩陣的分解矩陣的分解 Department of Mathematics 3 12 12 12 12 0 0 r rrm r rrn 設(shè)設(shè) ， 是是 的特征值，的特征值， 是是 的的 特征值，它們都是特征值，它們都是實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)。如果記如果記 m n r AC i i H AA H A A 4.5 矩陣的奇異值分解與極分解矩陣的奇異值分解與極分解 一,矩陣的奇異值分解矩陣的奇異值分解 因?yàn)橐驗(yàn)?與與 都是半正都是半正 定的定的Herm

2、ite-矩陣矩陣 H AA H A A HH rankAAArankArankA 特征值特征值 與與 之間有如下關(guān)系。之間有如下關(guān)系。 i i Department of Mathematics 4 定義定義1:我們稱我們稱: 為矩陣為矩陣 的的正奇異值正奇異值，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱奇異值奇異值。 0,1,2, iii ir A 定理定理1：設(shè)設(shè) ，那么，那么 m n r AC 0,1,2, ii ir 即即: 與與 的非零特征值相等的非零特征值相等. AA H H AA Department of Mathematics 5 12 (1)00 00 011 (2) 200 A A 例例1 1 ：求下列

3、矩陣的奇異值求下列矩陣的奇異值 Department of Mathematics 6 解：解： （1 1）由于）由于 500 000 000 H AA 顯然顯然 的特征值的特征值 為為5，0，0，所以，所以 的奇異值為的奇異值為 H AA 5A （2）由于）由于 20 04 H AA 顯然顯然 的特征值為的特征值為2，4，所以，所以 的奇異的奇異 值為值為 。 H AAA 2,2 Department of Mathematics 7 定義定義2:設(shè)設(shè) , 若若 則稱則稱A與與B酉等價(jià)酉等價(jià). nm CBA , SBTAtsUTUS nnmm . , 定理定理2:若若 , 且酉等價(jià)且酉等價(jià),

4、 則則A與與B有相同的正有相同的正 奇異值奇異值 nm CBA , 定理定理3：設(shè)設(shè) ， 是是 的的 個(gè)奇?zhèn)€奇 異值，那么存在異值，那么存在 階酉矩陣階酉矩陣 和和 階酉矩陣階酉矩陣 使得使得 m n r AC 12r Ar m Vn U H V OO O UA Department of Mathematics 8 其中，其中， 1 2 r 12 0 r 且滿足且滿足 我們稱此定理為我們稱此定理為奇異值分解定理奇異值分解定理。 稱表達(dá)式稱表達(dá)式 H V OO O UA 為矩陣為矩陣 的的奇異值分解式奇異值分解式 。 A 如何求此分解表達(dá)式？以下給出步驟如何求此分解表達(dá)式？以下給出步驟: De

5、partment of Mathematics 9 證明：記證明：記 的特征值為的特征值為 H AA 1212 0 rrrm 因?yàn)橐驗(yàn)?是正規(guī)陣，所以是正規(guī)陣，所以 H AA m m UU 222 12 (,0,0) = HH r H UAA Udiag O OO 令令 ， 其中其中 是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣。則：矩陣。則： 12 ,UU U 1 Umr 2 U()mnr Department of Mathematics 10 1 12 2 1 12 2 , , H HHH H H HH H U UAA UAAU U U U AA UAA U U 1112 2122 HHHH HHHH

6、 UAA UUAA U UAA UUAA U = H O OO 比較后得到：比較后得到： 11 HHH UAA U （1） 12 HH UAA UO （2） 21 HH UAA UO （3） 22 HH UAA UO （4） Department of Mathematics 11 令令 ，則，則 11 HH VA U 1 1111 HHHH V VUAA U 由（由（1）知）知 ，所以，所以， 是次酉陣是次酉陣 11 H r V VI 1 V 即即 ，所以，存在，所以，存在 ，使得：，使得： 1 n r r VU () 2 nn r n r VU 12 , n n VV VU 所以所以 1

7、12 2 , H H H U UAVAV V U 1112 2122 HH HH UAVUAV UAVUAV 所以，所以， 1111 HHHH UAVUAA U 由（由（4） 2222 () () HHHHH U AA UA UA UO 22 HH UAA UO （4） Department of Mathematics 12 21 H UAVO 所以所以 22 , H UAVO 從而：從而： 2 H A UO 2 H UAO 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?11 HH VA U 所以，所以， ，得出，得出 11 HH VA U 1 1 HH UAV 所以所以 12 H UAVO H V OO O UA H O

8、 UAV OO Department of Mathematics 13 1, 求出求出 的全部特征值的全部特征值 ,則則 為為A的正奇異值的正奇異值, AAAA HH , i ii 2, 求酉矩陣求酉矩陣 ,使得使得: mm UU 0 , 0 ,0 , 0 , 21 22 2 2 1 rr H diagUUAA 4, H V OO O UA 3, 設(shè)設(shè) ,則則 為次酉陣為次酉陣, 于是求于是求 ,使得使得 HHU AVUUU 1121 ),( )( 2 rnn rn UV nn UVVVV 121 ),( 1 V Department of Mathematics 14 例例1 ：求下列矩陣

9、的奇異值分解表達(dá)式求下列矩陣的奇異值分解表達(dá)式 00 00 21 A 解解 :（1）容易計(jì)算容易計(jì)算 的特征值為的特征值為5，0，0，所以，所以 的奇異值為的奇異值為 。下面計(jì)算。下面計(jì)算 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向 量，解得分別與量，解得分別與5，0，0對(duì)應(yīng)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征對(duì)應(yīng)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征 向量向量 H AAA 5 H AA Department of Mathematics 15 123 100 0 ,1 ,0 001 由這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣由這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣 ，所以有，所以有U 100 010 001 V U Department of Mathem

10、atics 16 00 10 01 1 U 令令 HHU AV 11 12 55 21 55 U V 5 1 5 2 5 2 5 1 00 00 05 100 010 001 H V OO O UA Department of Mathematics 17 練習(xí)練習(xí)：求下面矩陣的奇異值分解式：求下面矩陣的奇異值分解式 101 (1)010 101 011 (2) 200 Department of Mathematics 18 2 2 21 , HH A AHAAH 使得使得: 且這樣的分解式是唯一的。同時(shí)有且這樣的分解式是唯一的。同時(shí)有: 稱分解式稱分解式 為矩陣為矩陣 的的極分解表達(dá)式。極分解表達(dá)式。 12 AH UUH A 二二,矩陣的極分解矩陣的極分解 定理定理1:設(shè)設(shè) ，那么必存在酉矩陣，那么必存在酉矩陣 與正定的與正定的H-矩陣矩陣 n n n AC 12 ,HH n n UU 1